2016-2017年考研数学二真题及答案
2016考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α
1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值
范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα
α2
1
1
2
1
1x x ~
)cos (-是
α
2
阶无穷小，由题意可知???
??>>121α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐
近线x y = 应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 4．曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222
122t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2
=
+=
)
'("y y K ，曲率半径
10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,33
310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ，
31313
33
020
2
2
=+-
-=-=→→→x
x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim )
(arctan tan lim
lim
ξ
． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u 及02222=??+??y
u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小
值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是
0=??=??y
u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是
极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 （A ）2
)(bc ad - （B ）2
)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +-
【详解】
200000000
00000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(32132110
01αααααα=???
?
? ??=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当???
?
?
??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性
无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?
∞
-=++125
21
dx x x ．
【详解】
?
?∞
-∞-∞-=??? ??--=+=++=++111228324212121415
21πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则
=)(7f ．
【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，
即x x x f 22
-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4
7
22=
+++z y x e
yz
确定的函数，则=??
? ??2121,|dz ．
【详解】设4
7
22-+++=z y x e
z y x F yz
),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，
当21=
=y x 时，0=z ，21-=-=??z x F F x z ，2
1
-=-=??z y F F y z ，所以=??
? ??2121,|dz dy dx 21
21--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．
【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，
2
0π
=
=y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(02
2
--
=-
x y π
π
，即.2
2π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．
【详解】质心坐标20
113
51211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范
围是 ． 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--?+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
11222121
1
2
2
1
1
2
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2=C ， 即
3
2
313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322
2222211212)
()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得
4
3
21121212120222
22222-
==+=+++=++=++??????
????D D
D D
dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x x e y e z y
z
x z 222224)cos (+=??+??．若
0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x
z e u f x
z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x
x x cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==??+?? 由条件x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=??+??， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*． 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(．
将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==
C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0；
（2）
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0．
（2）令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且??
? ??+-=?x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a
=-+≤??
? ?
?+
?
．从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ，
[]b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1
))
ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??
?11111111101
01
，
111=??
?
??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）
已知函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．
【详解】
由于函数),(y x f 满足)(12+=??y y
f ，所以)(),(x C y y y x f ++=22
，其中)(x C 为待定的连续函数．
又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
．
令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212
．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=??dx x x dx y V
22．（本题满分11分）
设???
?
?
??---=3021111
04321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
??
??
? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，
得到方程组0=AX 同解方程组
???
??==-=43
424132x
x x x x x
得到0=AX 的一个基础解系????
??? ??-=13211ξ．
（2）显然B 矩阵是一个34?矩阵，设????
??
?
??=44
4
333222
111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：
???
?
?
??-------→????? ??------→???
?
?
??-----→????? ??---=14131
001312010162100114131000101110001
43211011
3
4
001011
1
0001
432
1100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
??????? ??-+?
?????
? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ，??????? ??-+??????? ??--=??????? ??1321043624321c y y y y ，??
??
???
??-+??????? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为
????
??
?
?
?++-+-++-+-----=32
132
1321321
313431212321162c c c
c c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵???????
??111111
111
与????
?
?
?
??n 00200100 相似．
【详解】证明：设=A ???????
??111111
111 ，=B ????
?
?
?
??n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
11
1
1
1
11111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)( ，
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；
而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且???
?
?
?
?
?
?00 λ~A ；
100
2
010--=---=
-n n n
B E λλλλλ
λ)(
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；
2017考研数学二真题及答案
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
（1）若函数??
?
??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax
x
x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=
ab 。 )(B 2
1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。
【答案】)(A
【解】a
ax x f x 21
cos 1lim
)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，
因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2
1
=
ab ，应选)(A 。 （2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）
)
(A ?
->1
10)(x f 。 )
(B ?
-<1
10)(x f 。
)(C ??
->10
1
)()(dx x f x f 。 )(D ??-<10
1
)()(dx x f x f 。
【答案】)(B
【解】取12)(2
-=x x f ，显然
?
-<1
1
0)(x f ，应选)(B 。
（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）
)(A 当0sin lim =∞
→n n x 时，0lim =∞
→n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞
→n n n x x 时，0lim =∞
→n n x 。
)(C 当0)(lim 2
=+∞
→n
n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞
→n n x 。 【答案】)(D
【解】令A x n n =∞
→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞
→A A x x n n n 得0=A 。
（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x
+=+'-''的特解可设为=*
y （ ）
)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。
【答案】)(C
【解】特征方程为0842
=+-λλ，特征值为i 222,1±=λ。
对方程x e y y y 284=+'-''，特征形式为x
Ae y 21=；
对方程x e
y y y x
2cos 842=+'-''，特解形式为)2sin 2cos (22x C x B xe y x +=，
故方程)2cos 1(842x e y y y x
+=+'-''的特解形式为 )2sin 2cos (22x C x B xe Ae
y x x
++=*
，应选)(C 。
（5）设),(y x f 具有一阶偏导数，且对任意的),(y x 都有0)
,(,0),(??y
y x f x y x f ， 则 （ ）
)(A )1,1()0,0(f f >。 )(B )1,1()0,0(f f <。 )(C )0,1()1,0(f f >。 )(D )0,1()1,0(f f <。
【答案】)(D 【解】
0)
,(>??x
y x f 得),(y x f 关于x 为增函数，从而),0(),1(y f y f >； 由
0)
,(
y x f 得),(y x f 关于y 为减函数，从而)1,()0,(x f x f >， 由),0(),1(y f y f >得)0,0()0,1(f f >；
由)1,()0,(x f x f >得)1,0()0,0(f f >，故)1,0()0,1(f f >，应选)(D 。
（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v =，三块阴影部分面积的数值依次为3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ）
)(A 100=t 。 )(B 20150<
【答案】 【解】
（7）设A 为3阶矩阵，),,(321ααα=P 为可逆矩阵，使得????? ??=-2000100001
AP P ，则
=++)(321αααA （ ）
)(A 21αα+。 )(B 322αα+。 )(C 32αα+。 )(D 312αα+。
【答案】)(B
【解】由????? ??=-2000100001
AP P 得????
? ??=200010000P AP ，
于是()323232121112,,0111200010000111)(ααααααα+=???
?
?
??=????? ??????? ??=????? ??=++P AP A ，
应选)(B 。
（8）已知矩阵???
??
??=????? ??=????? ??=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）
)(A A 与C 相似，B 与C 相似。 )(B A 与C 相似，B 与C 不相似。 )(C A 与C 不相似，B 与C 相似。)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。
【答案】)(B
【解】C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，
由???
?? ??-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；
由???
?
? ??-=-1000000102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，
应选)(B 。
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） （9）曲线)2
arcsin 1(x
x y +=的斜渐近线为________。 【答案】2+=x y 。 【解】1)2
arcsin 1(lim lim
=+=∞→∞→x
x y x x ， 21
1
2
arcsin 1lim )(lim =-+=-∞→∞→x
x x y x x ，斜渐近线为2+=x y 。
（10）设函数)(x y y =由参数方程???=+=t y e t x t sin ,确定，则____|0
22==t dx y
d 。 【答案】8
1
-
。 【解】t
e t dt dx dt dy dx dy +=
=1cos //， 32022)
1(cos sin )1(1)1(cos )1(sin /)1cos (|t t t t t t t t t e t e t e e e t e e t dt dx e t
d dx y d +++-=++-+-=+==， 则81|0
22-==t dx
y d 。 （11）
________)1()
1ln(0
2
=++?+∞
dx x x 。
【答案】2。 【解】
)11
()1ln()
1()1ln(00
2??
+∞+∞
++-=++x d x dx x x 2|111)1(1|1)1ln(0020=+-=++++-
=∞
++∞∞+?x
dx x x x
（12）设函数),(y x f 具有一阶连续的偏导数，且dy e y x dx ye y x df y
y
)1(),(++=，
0)0,0(=f ，则_______),(=y x f 。
【答案】y
xye
【解】由)()1(),(y
y
y
xye d dy e y x dx ye y x df =++=得
C xye y x f y +=),(，
再由0)0,0(=f 得0=C ，故y
xye y x f =),(。
（13）
_______tan 1
1
0=?
?y dx x x
dy 。
【答案】1cos ln -
【解】1cos ln |cos ln tan tan tan 101
0010110-=-===?????x xdx dy dx x
x dx x x dy x y 。
（14）设矩阵????? ??--=11321214a A 的一个特征向量为???
?
? ??211，则________=a 。
【答案】1-=a 。
【解】由???
?
?
??=????? ??????? ??--21121111321214λa 得
??
?=+=λ
λa 23,
1，解得1-=a 。 三、解答题
（15）（本题满分10分）求3
0lim x
dt e t x x
t x ?
-+
→。
【解】
?
?
?
--=-==-x
u x x
u x u
t x x
t
du e u e du e u dt e t x 0
0，
则3
03
03
0lim
lim lim
x
du e u x
du e u e x
dt e t x x u x x
u
x
x x
t
x ???-+
→-+
→+
→=?
=-
3
22
3lim 0==-+→x e x x x 。 （16）（本题满分10分）
设函数),(v u f 具有二阶连续的偏导数，)cos ,(x e f y x
=，求0|=x dx dy ，022|=x dx
y d 。
【解】
21sin f x f e dx dy x '?-'=，)1,1(|10f dx
dy
x '==； )sin (sin cos )sin (22212121112
2f x f e x f x f x f e e f e dx
y d x
x x x ''?-''-'?-''?-''+'=， 则
)1,1()1,1()1,1(|211102
2f f f dx y
d x '-''+'==。 （17）（本题满分10分）求∑=∞→+n
k n n k
n k 1
2)1ln(lim
。 【解】?∑∑+=+=+=∞→=∞→10112)1ln()1ln(1lim )1ln(lim dx x x n k
n
k n n k n k n k n n
k n
dx x
x x x x d x ??++--+=+=1021
0210211)1(21|)1ln(21)()1ln(21 4
12ln 2121412ln 21)111(212ln 2110=-+-=++--=
?dx x x 。 （18）（本题满分10分）
已知函数)(x y 由方程02333
3
=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值。 【解】02333
3
=-+-+y x y x 两边对x 求导得
0333322='+-'+y y y x ，令0='y 得1,121=-=x x ，对应的函数值为01=y ，12=y ； 0333322='+-'+y y y x 两边再对x 求导得
033662
2
=''+''+'+y y y y y x ，
由02)1(>=-''y 得1-=x 为极小点，极小值为0=y ； 由01)1(<-=-''y 得1=x 为极大点，极大值为1=y 。 （19）（本题满分10分）
设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导且0)1(>f ，0)
(lim
0<+
→x
x f x 。 证明：（I ）方程)(x f 在)1,0(内至少有一个实根；
（II ）方程0)()()(2
='+''x f x f x f 在)1,0(内至少有两个不同的实根。
【证明】（I ）由0)
(lim
0<+→x
x f x 得0)0(=f ，
又存在0>δ，当),0(δ∈x 时，0)
( x f ，即当),0(δ∈x 时0)( 于是存在),0(δ∈c ，使得0)( 因为0)1()( 所以由罗尔定理，存在)1,0(),0(0?∈x ξ，使得0)(='ξ?， 而)()()()(2 x f x f x f x '+''='?，故0)()()(2 ='+''ξξξf f f ， 即0)()()(2 ='+''x f x f x f 在)1,0(内至少一个实根。 （20）（本题满分11分） 已知平面区域}2|),{(2 2 y y x y x D ≤+=，计算二重积分??+D d x σ2 )1(。 【解】由对称性得 ????+=+D D d x d x σσ)1() 1(22 ， 令? ??==θθsin , cos r y r x （θπθsin 20,0≤≤≤≤r ），则 ????+=+θ πθθσsin 20 230 2)cos ()1(dr r r d d x D ???+=+=20 220 4 2 2 42sin 4sin cos 8)sin 2sin cos 4(π π π θθθθθθθθθd d d ?????+-=+-=20 220 620 420 220 42sin 4sin 8sin 8sin 4sin )sin 1(8π π π π π θθθθθθθθθθθd d d d d 4 52214)221436522143(8π πππ= ??+???-??=。 （21）（本题满分11分）设)(x y 是区间)2 3 ,0(内的可导函数，且0)1(=y 。点P 是曲线 )(:x y y L =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点),0(P Y ，法线与X 轴相交 于点)0,(P X ，若P P Y X =，求L 上的点的坐标),(y x 满足的方程。 【解】切线为)(x X y y Y -'=-， 由0=X 得y x y Y P '-=； 法线为)(1 x X y y Y -'- =-， 由0=Y 得y y x X P '+=。 由P P Y X =得 y y x y x y '+='-，整理得 x y x y dx dy +-=，即11 +-=x y x y dx dy ， 令u x y =，则11+-=+u u dx du x u ，整理得112++-=u u dx du x ， 分离变量得 x dx du u u -=++2 11，积分得 C x u u +-=++ln arctan )1ln(2 1 2， 由0)1(=y 得0=C ，故),(y x 满足的方程为x x y x y ln arctan )1ln(2122-=++。 （22）（本题满分11分）设3阶矩阵),,(321ααα=A 有三个不同的特征值， 且2132ααα+=。 （I ）证明：2)(=A r （II ）若321αααβ++=，求方程组β=AX 的通解。 【证明】（I ）设A 的特征值为321,,λλλ， 因为A 有三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，即存在可逆矩阵P ，使得 ???? ? ? ?=-32 1 1 λλλAP P ， 因为321,,λλλ两两不同，所以2)(≥A r ，