函数解析式的求法

鄢陵一高王连霞

教学目标：

使学生明确待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，并会用这些方法求函数解析式重点、难点：

重点：待定系数法求函数解析式。难点：换元法与配凑法求函数解析式

教学方法：讲练结合法

学情分析

学生已熟悉用待定系数法求一次、二次函数解析式，但用换元法和配凑法求函数解析式并不熟悉，特别是求出函数解析式后要注明函数定义域易被学生忽视，所以通过讲、练要解决好这些问题，特别要使学生明确函数定义域是函数概念中重要组成部分。

教学设计：

新课引入→用待定系数法求函数解析式→用换元法与配凑法求函数解析式→课时小结→随堂练习

教学过程：

1、新课引入：

①复习提问：求函数定义域的关键是什么？函数三要素是什么？（求函数定义域的关键是确定使函数有意义的条件。函数三要素是对应法则、定义域与值域）

②导入新课：如何根据条件，求出函数对应法则即函数解析式是函数又一重要问题。板书课题：《求函数解析式》

2、用待定系数法求函数解析式

例1：已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

例2：求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7

分析：这两个例题的共同点，所求的函数类型已定，都是一次函数。这种函数解析式用什么方法来求？

（待学生回答后，老师继续讲）如何剥掉抽象的对应法则符号成了解答这两题的关键，如例1：若设f (x)=ax+b(a ≠0)则f(x+1)=? f(x-1)=?

如例2：设f(x)=ax+b(a ≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解答由学生作出解答）

例1.解：设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得：

3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+7

例2.解：设f(x)=ax+b （a ≠0) 依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7

∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+1

评注：待定系数法是一种重要的数学方法，它适用于已知所求函数的类型，求此函数。

3、用换元法与配凑法求函数解析式

例3：已知f( x +1)=x+2x ，求f(x)的解析式

分析：是否知道所求函数f(x)的类型？（待学生回答后，老师继续讲）若把x +1看作一个整体，该用什么方法作？（待学生回答，让学生作出解答）

解1：令t=x +1≥1 则x=2)1(-t ∴ f(t)= 2)1(-t +2(t-1)= 2t -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1)

解2：由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1)

学生容易忽视函数的定义域，就此例题向学生发问：

师问：f(x)= 2x -1与f(x)= 2x -1 (x ≥1)是否是同一函数？那么求函数解析式后是否要注明函数定义域评注：(1) f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。

(2) 求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。

例4：已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0

分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键（由老师讲解）

解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3 ∴ f(x)= 2x -2x-3

f(x+1)= 2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4 ∴ 2x -4=0 x=±2

解2：f(x-1)= 2x - 4x ∴f(x+1)=f[（x+2)-1]= 2)2(+x - 4(x+2)= 2x - 4 ∴2x - 4=0， x=±2

解3：令x-1= t+1 则x=t+2 ∴f(t+1)= 2)2(+t -4(t+2)= 2t - 4

∴ f(x+1)= 2x - 4 ∴2x - 4=0 ∴ x= ±2

评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将 f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

4、课时小结：

待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。

随堂练习：

1、已知f(x+1 )= 2x+1 ，求f(x)解析式。

2、设函数F(x)=f(x)+g(x) 其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是2x的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F （x) 的解析式。

课外作业：

1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

2、设f(x)=22x-3x+1,g(x-1)=f(x) ,求g(x)及f [g(2)].