川大离散数学习题6

习题6

1.设A={1，2，3，4}，B=A×A。确定下述集合是否为A到B的全函

数或部分函数。

(1) {(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.

(2) {(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.

(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.

解：

（1）、全函数

（2）、不符合单值

（3）、全函数

要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y 与之对应。

2.判别以下关系中那些是全函数。

(1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。

(2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。

(3){(S1,S2)|S1,S2?{a,b,c,d}且S1 S2=?}。

(4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}.

(5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}.

解：

(1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5}

不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。

(2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}

部分函数，n1=0时无定义

(3) {(S1,S2)|S1, S2?{a,b,c,d}且 S1? S2= ?}

不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。

(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}

不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。

(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}

全函数

3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。

解：（略）

4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。

解: 可以定义n n个二元关系，n！个全函数

5.设，证明：。

证明：b∈f(A)-f(C)?b∈f(A)∧ b?f(C)

?(?x)[x∈A ∧ x?C ∧ f(x)=b]

?(?x)[x∈A-C ∧ f(x)=b]

?b∈f(A-C)

所以f(A)-f(C)?f(A-C)

7.设f：X→Y，A和B是X的子集。

证明，()()(),()()()

?=????

f A B f A f B f A B f A f B

证明：

（1）y∈f(A∪B)

?(?x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]

?(?x)[x∈A ∧ f(x)=y]∪(?x)[x∈∪B ∧ f(x)=y]

?y∈f(A)∪y∈f(B)

∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)

（2）y∈f(A∩B)

?(?x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]

?(?x)[x∈A∧f(x)=y]∩(?x)[x∈B∧f(x)=y]

?y∈f(A)∩y∈f(B)

∴f(A∩B)?f(A)∩f(B)

8.确定下例映射是否单射、满射或双射：

（1）f1:N→R,f1(n)=ln n.

（2）f2:N→N,f2(n)为不超过n的素数数目。

（3）f3:N?N→N,f3(n,n)=(n+1).

（4）f4:R→R,f4(x)=x2+2x-15.

（5）f5:Z→Z,f5(x)=1+2x3.

（6）A是集合，f6:2A?2A→2A?2A,f6(x,y)=(x y,x y).

（7）f7:R?R→R,f7(x,y)=x+y. F8:R?R→R,f8(x,y)=xy.

解：

(1)单射

(2)满射，非单。如f(5)=f(6)=3

(3)非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。

(4)非单,非满。

(5)单,非满。如： 1+2x3=5无解。

(6)非单: ({a}?{b}, {a}?{b}) = ({a,b}??, {a,b}??)

非满: (x ? y,x ? y)=({a}, {a,b})无解。

(7) f7: 非单,满，如： f(1,3)=f(2,2)

f8: 非单,满，如： f(1,3)=f(3,1)

9.设X是有限集合，f：X→X。证明：

(1)如果f是单射时，f必是双射。

(2)如果f是满射时，f必是双射。

证明：

(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s

时f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；

又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射

∴f必是双射。

(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存

在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,

当t≠s时，f(t)≠f(s)。

∴f必是双射。

10. 设f是有限集X上的一个函数，满足?x∈X，f2（x）=x。证明：

f 是双射。 证明：

设x,y 是有限集X 上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f 2(x)= f 2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f 是双射。

11.设f:A →B ，g ：B →2A ，满足?b ∈B ，g （b ）={x ∈A|f(x)=b}.证明：当f 为满射时g 为单射。问g 为单射时，f 是否必是满射？ 证：

1）对任意b 1、b 2∈B ，且b 1≠b 2。 ∵f(x)是满射

∴1122,12a a A f(a )b ,f(a )b ?∈==、使得

)b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211??∈∈，且的定义，由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如

为单射即与函数的定义相矛盾，g(x)), g(b )g(b 21≠∴。

不一定是满射

并不能保证为单射时，对）而)x (f ,)b (g ,B b )(2∴≠∈?φx g

12. 设A 和B 都是有限集合，试确定A 到B 有多少个单射？多少个满射？多少个双射？ 解：

设A 、B 中元素个数分别为：m 、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n m

,双射个数为：n!或m!

13.设有函数f，g，h：R→R，这里f(x)=2x，g(x)=x2+x-1，h(x)=x-2。写出f g，g f h，h h g。

解：f g=f(g(x)) =2x2+2x-2

g f h= (g(f(h(x))) = 4(x-2)2+2(x-2)-1

h h g= (h(h(g(x))) = x2+x-5

14. 设f，g，h都是集合A上的函数。如果f=g，是否必有h f=h g 或f h=g h？

解：

（1）∵f=g，则对于所有x∈A，都有f(x)=g(x),

所以，对于所有的x∈A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))

即h。f=h。g

（2）∵h。f=h。g则，h(f(x))=h(g(x)),

当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；

当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个

元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种

情况下f≠g

综上，当h。f=h。g时，f不一定等于g

15. 设f，g是实数集R上的函数，其中f(x)=x2+2，g(x)=2x-1。确定f g和g f是否满射、单射或双射？

解：f。g=(2x-1)2 +2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的函数，则f。g不是单射，不是满射，也不是双射；

g。f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f(x)=f(-x)，所以，g。f不是单射，不是满射，也不是双射。

16.设f和g都是函数。证明：

(1) 当g f为单射时，f必为单射；

(2) 当g f为满射时，g必为满射；

(3) 当g f为双射时，g为满射，f为单射。

证明：设f: A→B, g: B→C。

（1）（反证法）设f不是单射，存在x1≠x2∈A,且f(x1)=f(x2)，即：g f(x1)= g(f(x1))= g(f(x2))= g f(x2),与g f为单射矛

盾。因此，f必为单射。

（2）对于任意z∈C，由于g f为满射，那么存在x∈A使得g f(x)=z，因此存在y=f(x)∈B,使得z=g(y)，因此g是满射。

（3）由（1）、（2）可得证。

17. 设A={1，2，3，4}。

π =π2，π2 π=π3，（1）找出一个A上的非单位置换的置换π，计算π

以及π-1。

（2）若A上置换π满足π π=（1），称π为幂幺置换，求出A上的全部幂幺置换。

解：(提示，按照定义求解即可)

（1）任定义π为：(2,1,3,4)

（2）（略）

18. 计算有限集合X可以定义出多少个函数f，使得f=f-1。

解：（略）

19.证明下列集合A 和B 等势。 1) A=(0,1),B=(-2,2). 2) A=(-∞,+∞),B=(0,+∞).

3) A=(0,1),B=(41，21

).

4) A=N, B= {(m, n) |m 、n ∈N ∧ m ≤n}. 证明：（思路：想办法构造一个双射函数即可） （1）f(x)=2tan(-

x 2

π

4

π

) (2）（略）

(3)f(x)=)6

3

sin(2

1

π

π+x

(4)(略)

20.设A ～B ，C ～D 。证明：A ?C ～B ?D 。 证明：（略）

21.证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ?B 也是可数集。 证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ×B 也是可数集。 证明：设A={a 1,a 2,…,a n ｝ B={b 1,b 2,…,b n ,…}

令B i ={(a i ,b 1),(a i ,b 2),…,(a i ,b n ),…} (i≤n),则

A ×B= , 因为

B 为可数集，所以B i 为可数集。A ×B 为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。

1k

i

i B =

设C m ={c m1,c m2, …,c mn , …} 当m=2时，

构造双射f:N →C 1∪C 2,

N 1 2 3 4 5 6 … n -1 n … f(N) c 11 c 21 c 12 c 22 c 13 c 23 … c 1(n/2) c 2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。

假设m=k-1(k ≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D 。

则m=k 时，可以构造类似的双射g:N →D ∪C k ,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A ×B 是可数集。 补充：

1. 设A 和B

是两个有限集合，它们的元数都是n ，则B A →:σ是单射

的充分必要条件是σ为满射

证 必要性，当σ是单射时，)(A σ的元数是n ，而B B A ,)(?σ的元数也是n ，故B A =)(σ，因此B A →:σ是满射。

充分性，若B A →:σ为满射时，有B A =)(σ，则)(A σ的元数为n ，A 的元数也是n ，n 个原象对应n 个象，即不同元素对应不同的象，因此σ是A 到B 的单射。

2．设R 为实数集，,),(,:,),(,:y x y x R R R y x y x R R R ?=→?+=→?ττσσ又试证明σ和τ都是满射，而不是单射。

证 对于任意R a ∈，可以使y x a +=成立的y x ,有无数对，且R R y x ?∈),(，也就是说值域R 中每个元素都有无数原象在R R ?中，所以σ是满射，而不是单射。 对于任意R a ∈，能使y x a ?=成立的y x ,也不止一对实数存在。例如6=a ，而3,2==y x ，或???==,2,3y x ，即象集中每一元素都有原象，而且原象不唯一，所以τ是满射，而不是单射。 证毕。

欲证一个映射为单射时，按定义一般有两种方法，一是任取b a ,属于定义域，b a ≠且，能证得)()(b a σσ≠。另一种方法是：取)()(b a σσ=属于值域，证得b a =。

3. 设为R 实数集，5)(,4)(,2)(3

2-=+=-=x x x x x x ?τσ都是R R →的映射。 （1） 求στ?，τσ?，并分别判定是否为R R →的满射，单射，双射？ （2） 问1

-?是否存在？如果存在，试求出来。

解 （1）因为

4)(,2)(2

+=-=x x x x τσ 所以

242)2())((())((2

22+=+-=-==?x x x x x τστστ 按照开口向上的抛物线确定，στ?不是满射，也不是单射，更不是双射。

1482)4()2())((())((222++=-+=-==?x x x x x x στστσ

同样以开口向上的抛物线确定，τσ?不是满射，不是单射，也不是双射。 （3） 因为R R →映射5)(3-=x x ?是双射，故1

-?存在，315)(+=-x x ?。

4．设映射B A →:σ，C B →:τ，τσ,都是双射，求证111)(---?=?τσστ。

证 由于τσ,都是双射，因此τσ,均可逆，分别存在逆映射，

B C A B →→--:,:11τσ故复合映射A C →?--:11τσ。

因为τσ和都是双射，所以στ?也是双射，且C A →?：στ，则στ?必有

逆映射

C A →?-：）（1

στ 既然11--?τσ与1

-?）（στ都是C 从A 到的映射，对于任意C c ∈，设

a b b c ==--)(,)(11ττ，则有a b a c c ===?-----)())(())((11111τστσ

而 c b a a ===?)())(())((τστστ

可得出a c =?-)(1

）（στ 因此))((11c --?τσ=)(c c

由于C c ∈是任意的，故有1

-?）（στ=11--?τσ证毕。