三角形概念
三角形概念
1、三角形按角进行分类:直角三角形锐角三角形钝角三角形。
2、三角形按边进行分类：不等边三角形等腰三角形(特殊的有等边三角形)
3、等腰三角形两个底角相等，两腰的长度相等。顶角可以为锐角、钝角或直角，但底角不能为直角或钝角。
4、等边三角形三个角都相等，三条边也都相等。三个角都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。
5、任何一个三角形最多有一个钝角或一个直角，最少有2个锐角，最
多有三个锐角。
6、有一个角是直角的等腰三角形叫等腰直角三角形，底角45°。
7、由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。8、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
9、四边形容易变形，三角形不容易变形，所以三角形具有稳定性。10、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。两点间线段长度小于曲线长度。
11、三角形任意两边的和大于第三边。
12、任意直角三角形的内角和是180°
13、四边形的内角和是360°
14、多边形的内角和＝180o×边数－360o或多边形的内角和＝180o×（边数－2）
14、
三角形的概念
三角形的概念 预习单 一、选择题 1、下列各组线段中，不能构成三角形的是（ ） (A) 1.5cm,2.5cm,4cm (B)2cm,4cm, 5cm (C)2cm,2cm,2cm (D)2cm,2cm,2cm 2、在ABC ?中，已知 90=∠-∠A B ,那么ABC ?是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）无法确定 二、填空题 3、已知在ABC ?中， 30=∠B ,? =∠50C ,那么=∠A 度。 4、已知在ABC ?中，? =∠+∠120B A ，那么=∠C 度。 5、已知等腰三角形的顶角等于? 40，那么这个等腰三角形的两个底角等于 度。 6、已知在ABC ?中，AB=4，AC=6，那么边BC 的长度的取值范围是 。 7、已知ABC ?是等腰三角形，AB=5cm,AC=8cm,那么BC= cm. 三、简答题 8、已知ABC ?中，,C B A ∠=∠+∠试判断ABC ?的形状，请说明理由。 9、如图，已知在ABC ?中，? =∠50ABC ,? =∠70ACB ,延长CB 到D ，使BD=AB ，延长BC 到E ，使CE=AC ，求DAE ∠的度数。 D 学习任务单 【课前练习】 1、已知五条线段的长度是1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，那么任取其中三条线段，能构成 个三角形。 2、已知在ABC ?中，AB=3，BC=7，那么第三边AC 长度的取值范围是 。 3、已知在ABC ?中，AB=3，AC=7，AD 是边BC 上的中线，那么中线AD 长度的取值范围是 。 4、已知等腰三角形的周长为20，如果腰长为x, 底边长为y ，那么y 与x 的函数解析式是 ，定义域是 。 5、已知在ABC ?中，?=∠25A ,? =∠70B ,那么=∠C 度。 6、如图，已知在ABC ?中，AD 平分BAC ∠,交边BC 于点D ，如果?=∠45B ,? =∠70BAC ，那 么=∠ADC 度。 【例题选讲】 一、选择题 1、已知三角形的两边长分别是3和5，那么第三边a 的长的取值范围是（ ） （A ）53< 11、三角形及有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角，等于和它不相邻的两个角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】 例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的围是（） A. D. 分析： 又∠C＝2∠B 又∵∠A C。 例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x，3x 考点1 ：三角形的定义 1、如图所示，图中三角形的个数共有（） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 2、若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 A B C E D （1题图）（2题图）（3题图）考点2：三角形的三边关系 3、如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得15 = OA 米，10 = OB米，A、B间的距离不可能是（） A．5米B．10米C． 15米D．20米 4、一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是 ( ) A．14 B．15 C．16 D．17 5、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可 能是（） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6、若△ABC的三边分别为a、b、c，且0 ) )( (> - - + -m c b a c b a，则整数m应为。 7、已知a,b,c为ΔABC的三条边，化简()2 a b c b a c --+--=错误！未指定书签。 8、已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且b a>，那么这个三角形的周长L的取 值范围是（） A、b L a3 3> >；B、a L b a2 ) (2> > + ；C、 a b L b a+ > > +2 6 2；D、b a L b a2 3+ > > - 10、在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（） A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19 11、若 ABC中，∠B为钝角，且AB=8，BC=6，则下列何者可能为AC之长度？（） A．5 B． 8 C．11 D． 14 A B O 三角形的有关概念与性质 课时目标 1. 了解三角形的有关概念及三角形的分类； 2. 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质； 3. 掌握三角形的内角和定理以及外角的性质. 知识精要 1. 三角形的主要概念 （1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. （2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角. （3）三角形的表示方法：三角形用符号“?”表示，三角形ABC可记作“?ABC” 或“?BCA”或“?ACB”. （4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角. 2. 三角形的分类 （1）按角来分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； （2）按边来分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）； 注：等边三角形（正三角形）是特殊的等腰三角形. 3. 三角形中的主要线段 （1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个 角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）三角形的中线：联结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形 的中线. （3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶 点和垂足之间的线段叫做三角形的高. （4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高. 注意：①三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三 角形），可以在外部（钝角三角形），也可以在三角形的边上（直角三角形）. ②三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，三条中线交于三角形内部 一点，三条高线所在直线交于一点. ③三角形的角平分线、中线、高线都是线段. ④三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形. 4. 三角形的基本要素及基本性质 三角形有三个顶点、三个角、三条边共九个要素. （1）三角形边与边的关系： ①三角形中任意两边之和大于第三边； ②三角形中任意两边之差小于第三边； ③直角三角形中，斜边大于直角边. （2）三角形角与角的关系： ①三角形内角关系：三角形的内角和等于?180 ②三角形的外角性质： 三角形的外角和等于?360 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 新初二等腰三角形基本 概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 个性化教学辅导教案 教师姓名 学生姓名 上课时间 学科 数学 年级 新初二 教材版本 浙教 课称名称 等腰三角形基本概念与性质 教学目标 1、认知目标： ⑴使学生理解掌握等腰三角形的性质定理及其推理。 ⑵学会运用等腰三角形的性质解决有关证明和计算问题； 2、能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力； 教学重点 教学难点 课 堂 教 学 过 程 - 等腰三角形(★★★) 1、掌握等腰三角形的判定级基本性质； 2、会运用‘‘三线合一’’性质进行解题； 知识结构 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出 等腰三角形的概念和性质 （★★★）已知：如图，ABC ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证： DCB 2B AC ∠=∠。 A 1 2 D B C E 3 解析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。 证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB = 所以BAC 2 1 21∠= ∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠ 又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠ 所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余） 27课时《三角形概念和性质》复习教案 教学目标：1.复习三角形的有关概念，会画三角形的角平分线、中线、高、中位线。 2.加深对三角形的内角和定理及其推论的理解，并能灵活运用三角形性质解决 题。 3．通过练习逐步培养学生应用技巧和探究问题的能力。 教学重点：三角形三条线、三角形的三边关系、内角和及外角的性质的应用。 教学难点：综合应用三角形的概念和性质解决问题。 教学过程： 一．情境创设 三角形是最简单的多边形，你还记得我们学过三角形的哪些概念和性质吗？（引出课题） 二．基础知识梳理 1.三角形分类 （1） (2) 2. （1）三角形中边之间有什么关系？ （2）三角形的内角和为多少度？三角形的外角与其内角有什么关系？ 3.三角形中的重要线段 （1）一个三角形有几条中线？它们交点有什么性质？这个交点叫三角形的什么心？ （2）三角形有几条角平分线？它们的交点有什么性质？这个交点叫三角形的什么心？（3）三角形有几条高线？它们的交点与三角形有什么位置关系?这个交点叫三角形的什么心？ （4）一个三角形有几条中位线，它们有什么性质？它与三角线中线有什么区别？ 说明：三角形的中线、高线、角平分线都是。（填“直线”、“射线”或“线段”） （引导学生回顾并口述，教师根据学生的口答用多媒体同步展示） 二．课堂互动 考点1 ：三角形的定义 例1：（09柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 A C E D 思考：若过A 点有4条线段，则图中有几个三角形？过A 点有5条线段，则图中共有几个三角形？过A 点有n 条线段呢？ 练习：若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 考点2： 三角形的三边关系 例1.为了估计池塘岸边A 、B 两点的距离， 小方在池塘一侧选取一点O ，测得OA=15米， OB=1O 米，A 、B 间的距离不可能是（ ） A ． 5米 B ．10米 C ．15米 D ．20 米 归纳：已知三角形的两边，则第三边的取值范围是：两边之差〈第三边〈两边之和 例2、在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ） A 、1＜A B ＜29 B 、4＜AB ＜24 C 、5＜AB ＜19 D 、9＜AB ＜19 引导学生归纳解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，（或作三角形的中位线），这也是一种常见的作辅助线的方法。 练习1.已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+A B 三角形基本概念与性质 一、考点梳理 1、 三角形的边、角关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. （3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. （1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离 相等. （3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 3、等腰三角形 性质：（1）两底角相等(等边对等角). (2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一) (2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 4、多边形的内角和等于()01802?-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲 5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）. A ． 5 B ． 6 C ．11 D ． 16 6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）. A ．1cm ，2cm ，4cm B ．4cm ，6cm ，8cm C ．5cm ，6cm ，12cm D ．2cm ，3cm ，5cm 7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）. A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________ 11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ） A ．120o B ．135o C ．140o D ．144o 12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或20 A M N B C 图1 四年级数学奥数班第十二次课教学设计 一．教学内容 三角形的定义、特征及分类 二．教学目标 1 根据日常生活中的实例让学生初步把握三角形的概念，学习三角形各部分的名 称强化对三角形定义的理解 2演示准确画三角形高的步骤，通过动手实践，探索三角形三边之间的大小关系3通过图片展示，展现三角形稳定性在生活中的运用，感受数学与生活的联系 4 能正确的按不同方法对三角形进行分类，在探索图形特征的过程中提高观察能力和动手操作能力 三．教学重点 三角形定义的理解及三角形分类的方法 四．教学难点 理解等边三角形和等腰三角形之间的关系 五．教学准备 教案、三角板、直尺、纸条 六教学过程 1作业检查及讲解，对作业情况进行评比奖励 2 课程导入 提问“老师知道同学们生活中最擅长的就是观察了，那有没有哪位同学告诉我，你平时都注意到哪些东西是由三角形构成的呢？举手，老师将奖励答得最多的同学两张贴纸”展示一组有关三角形的图片，分享我在生活中见到的三角形 3新课讲解 （1）理解三角形定义 如板书所示：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫三角形 对比分析 未封闭未首尾依次相连在同一直线上 （2）三角形的性质 a高的画法：以量课桌为例，桌面到地面的距离叫做桌子的高，那么，三角形的高就是地面平行的一边与顶点的垂直距离 做一做：任意在本子上画一三角形，做出它的一个高 b三角形稳定性 探究实验：准备一个四边形画框，用力拉动，画框变成平行四边形，（结论：四边形不具有稳定性）再在中间加一根木条，变成两个三角形，画框固定了（得出结论：三角形具有稳定性） c认识三角形三边的关系 案例观察：小明有三条路去学校，路线一：小明走中间一天直接到学校；路线二：小明从家先到邮局再去学校；路线三：小明从家先到商店，再去学校，请问那条最近？你知道为什么吗？（附板书）得出结论：三角形两边之和大于第三边 实践验证：剪出长度分别为6、7、8 ；4、5、9；3、6、10cm的三组纸条，看看能否摆出完整的三角形？ (3)三角形的分类 按角度分：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形 按边长分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 七课堂总结 这节课我们学习了三角形以及与它密切相关的性质，并且能够按照不同的方法对它进行分类，那么呢，三角形在我们的生活中运用十分广泛，所以呀，希望同学们课后能多多观察，在下节课上课之前呢，老师将请同学们给大家分享自己新的发现 八作业布置 P141赛点题库1、2 P149考点题库5 中考数学复习（24）：三角形的有关概念1 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+262 D 、b a L b a 23+>>- 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ） A 、1＜A B ＜29 B 、4＜AB ＜24 C 、5＜AB ＜19 D 、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。 略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE ∴∠D ＝21∠ABC ，∠E ＝2 1 ∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝2 1 （∠ABC ＋∠ACB ）＝530 ∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。 （1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠P ＞∠A ； （2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。 n m ? l l 问题一图 C B A C B A 分析与结论： （1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ； （2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此 例2图 E D C B A 第一讲：三角形的基本定义 一、认识三角形 1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。 如图，三角形ABC 表示为△ABC ，与点A 相对的边可表示为线段a ；直角三角形ABC 可表示为Rt △ABC 2、三角形的分类 (1)按角分 ① 锐角三角形：三个内角均为锐角 ② 直角三角形：有一个角是直角 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角 (2)按边分 ① 不等边三角形：三边均不相等 ② 等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形) 3、三角形的基本性质： (1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b ＜c ＜a+b (2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180° (3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 (4)直角三角形的两个锐角互余。 (5)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和。（三角形的一条边与另一条边延长线组成的角，叫做三角形的外角） 4、三线： (1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段；三角形一共有三条中线，交于三角形内部一点 (2)三角形的角平分线：三角形内角的角平分线交对边于一点，这点与角的顶点间的线段；三角形共有三条角平分线，交于三角形内部一点。 (3)三角形的高线：从三角形的顶点向对边作垂线，垂线段叫做三角形的高。三角形共有三条高线，锐角三角形三高交于三角形内部一点，直角三角形三高交于直角顶点，钝角三角形三边的延长线交于三角形外部一点 请画一个钝角三角形的三条高 A B C a b c 典型例题一：三角形角的关系 例1：已知：如图1,D 是BC 上一点, ∠C ＝62°,∠CAD ＝32°,则 ∠ADB ＝ 度. 此题的依据： 例2：（2013?湘西州）如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD ＝ 度 例3：（2013?昭通）如图3，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1＝ 度 例4：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=900－∠B ， ④∠A=∠B=1 2 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 典型例题二：三角形三边的关系 例1：以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A 、4cm 、5cm 、6cm B 、2cm 、3cm 、5cm C 、4cm 、4cm 、9cm D 、12cm 、5cm 、6cm 例2：（2013?南通）有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数是 例3：为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）。 A ．5m B ．15m C ．20m D ．28m 例4：一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的 周长为 变式训练 1、已知ABC △的三边长a b c ，，，化简a b c b a c +----的结果是（ ） Ａ．2a Ｂ．2b - Ｃ．22a b + Ｄ．22b c - 2、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________． 3、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和8cm 则它的周长是__________． 典型例题三：三角形的稳定性： 三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 14.1 三角形的有关概念（2）[三角形的分类] 第一组14-3 1、如果三角形的一个外角是锐角，那么这个三角形是（） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形 2、已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于6，则它的周长等于（） A、12或15 B、12 C、15 D、12或15 3、下列说法错误的是（） A、三角形的三条角平分线交于一点 B、三角形的三条中线交于一点 C、三角形的三条高交于一点 D、钝角三角形的高不是交于一点 4、等腰三角形的周长为24cm，腰长为x cm，则x的取值范围是（） A、x>12 B、x<6 C、6 11、已知△ABC 是等腰三角形。 （1）如果AB=6cm ，BC=12cm ，那么AC 的长度是多少？ （2）如果AB=6cm ，BC=9cm ，那么AC 的长度是多少？ 12、已知线段AB 。 （1）如图14-3-2，以AB 为腰，画等腰直角三角形ABC ，这样的三角形可以画几个？ （2）如图14-3-3，以AB 为底边，画等腰直角三角形ABC ，这样的三角形可以画几个？ 13、已知等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分成12和15两部分，求此三角形的腰长。 14、在等腰三角形ABC 中，已知其周长为20cm ，腰长为8cm ，求三角形另外两边的长度。 15、用一根长为100的铁丝折成一个三角形，使它的三边之比是7：8：10，求三边的长。能折成比为1：2：3的三段吗？请说明理由。 16、一个等腰三角形的三边长分别为6cm 、(2x ?2)cm 、(5x ?8)cm ，求等腰三角形的三边长。 17、在三角形ABC 中，三条边都是整数，且AB=4，BC=9。 （1）写出AC 所有的可能； （2）若△ABC 是不等边三角形，则AC 的长度有几种可能？ 18、如图14-3-4，在四边形ABCD 中，已知O 是AC 和BD 的交点，AC+BD 的和与四边形的周长哪个大？请说明原因。 19、已知△ABC 的周长为28cm ，AB =(2x ?1)cm ，BC =(x +6.5)cm ，AC =(2x ?5)cm ，求三角形三边的长。 20、如图14-3-5，P 是△ABC 内任意一点，求证：AB +AC >PB +PC 。 B A C 图 14 - 3 - 2 图 14 - 3 - 3 B A C 图 14 - 3 - 4 C B P A 图 14 - 3 - 5 教学过程 一、复习预习 二、知识讲解 考点/易错点1 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. S S ABE ?? 基础。 考点/易错点2 三角形边角关系、性质的应用 三、例题精析 【例题1】 【题干】锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?< 又∠C ＝2∠B ，∴?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?< 三角形及其有关概念拓展 【例题解析】 例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. B. C. D. 例2．在中，三个内角的度数均为整数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A 。则∠B 的度数为 。 思路点拔：设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组。 练习：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 例5. 如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 变式. 如图 =________。（“希望杯”邀请赛试题） 例6（2010安徽蚌埠）在ABC ?中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=?ABC S ，则四边形DCEF 的面积为________。 变式：（1）如图（a ），求证： C （a ） （2）如图（b ），若，求 的度数。 （3）如右图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的大小。 例9 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。 例10 已知：三角形的三边长为3，8，，求x 的取值范围。 变式：1、已知一个等腰三角形的三边长分别为x ，，，其周长为________ 2、已知等腰三角形的周长为12，那么它的腰长a 的取值范围是 。 例11 （1）已知如图（a ），在中， 于D ，AE 平分 ，则 与 有何数量关系？ C 1认识三角形 第1课时三角形的概念及其角的关系 教学目标 【知识与技能】 进一步认识三角形的有关概念及其基本要素，掌握三角形内角和定理和直角三角形中两锐角的关系. 【过程与方法】 通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力. 【情感态度】 让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 三角形的相关概念；内角和定理；直角三角形两锐角关系的探究和归纳. 【教学难点】 三角形角之间的关系的应用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.如何表示线段、射线和直线？ 2.如何表示一个角？ 【教学说明】复习与回顾学生以前学习的几何图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等知识,为认识三角形概念、表示法、三要素、边的关系的学习奠定了基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：三角形的相关概念. 1.能从下图中找出4个不同的三角形吗？ 2.与同伴交流各自找到的三角形. 3.这些三角形有什么共同的特点？ 【归纳结论】 三角形定义：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 4.三角形包含哪些元素呢？这些元素如何表示呢？ 5.我们在前面学习了角、平行等，为了书写方便，使用了角、平行的符号.那么三角形可以用什么样的符号表示呢？ 【归纳结论】 三角形的三要素： 边：（如图） 三边AB、BC、AC，也可以用a、b、c来表示. 顶点：（如图） 三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C. 内角：（如图） 三个内角，∠A，∠B，∠C. 6.三角形的表示法： “三角形”用符号“△”，如图的三角形记作：△ABC（或△BCA或△CBA等）. 注：顶点字母与顺序无关 【教学说明】在提问学生的基础上，得出三角形的定义，培养学生的语言表达能力；在学生操作及交流的基础上，得出三角形的三要素及三角形的表示法. 探究2：三角形的内角和定理 每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个或几个角的和为180°.为什么是180°.通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？ 一．选择题（共19小题） 1．（2016秋?期末）如图所示，以BC为边的三角形共有（） A．1个B．2个 C．3个D．4个 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【解答】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC， 故选C． 【点评】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 2．（2017?鱼峰区模拟）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解． 【解答】解：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm． 则（x+1）+x+（x﹣1）=12， 解得：x=4， 则最短的边长是：4﹣1=3cm． 故选B． 【点评】本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键． 3．（2016秋?临河区期中）如图，图中三角形的个数为（） A．3个B．4个 C．5个D．6个 【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【解答】解：图中的三角形为：△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，有5个三角形， 故选（C）． 【点评】本题主要考查了三角形的概念，解题时注意：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 4．（2017?）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（） A．120°B．80°C．60°D．40° 【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4， ∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x， 14.1三角形的有关概念 教学目标 通过观察和比较三角形的边角的特征，理解三角形的分类，初步体会分类思想 教学重点及难点 三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想. 教学流程设计 教学过程设计 一、 复习引新 角可以分为哪几类？有哪几类？（锐角、直角和钝角）那么三角形可以分为几类呢？又有哪几类呢？今天我们就一起研究三角形的分类.（板书课题：三角形的分类） [说明]：这里选择角的分类作为复习内容，是为了让学生回忆角可以分为锐角、直角和钝角，为学习新知做好准备. 二、师生互动，引导探索 1．出示六个三角形. （1）（2）（3） 提问：请仔细观察每个三角形的内角，说说他们各有几个锐角、直角或钝角？ 指明几个学生回答. 出示表格并根据学生的回答填写①号三角形. 提问：你会照样子填一填吗？ 如图： ①②③④⑤⑥ 2 锐角 个数 直角 1 个数 钝角 个数 学生独立完成表格，并交流. 2．三角形的分类 提问：观察上表，这些三角形可以分为几类？怎样分？4人小组 交流讨论. 交流讨论结果： 学生可能出现的分类： （1）全锐三角形，一钝二锐三角形，一直二锐三角形 （2）锐角三角形，钝角三角形，直角三角形 教师：你们分的都没有错，那么哪种分法是最合理最科学的呢？ 再次组织学生讨论，教师适时点拨：三个角中最多只能有一个直角或钝角， 所以因该是分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形. 出示各类三角形的含义： 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； 有一个角是直角的三角形是直角三角形； 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形. [说明]：在研究三角形的分类的过程中，让学生通过观察，思考，讨论自主的探索并掌握，教师在学习过程发挥的是组织作用、引导作用，培养学生主动学习和探索的习惯. 引出定义： （1）锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形 （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形 （3）钝角三角形三角形：有一个角是钝角的三角形 小结： 三角形按角来分类为：锐角三角形 直角三角形 全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ； 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 三角形及有关概念 1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?< 6.已知三角形的两边分别为5和 7 ，则第三边x 的范围是（ ） A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定 7.已知：P 为边长为1的等边?ABC 内任一点。 求证： 3 2 2<++ 10. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围。 11. 已知：?ABC 中，AB BC =，D 点在BC 的延长线上，使AD BC =，∠=BCA α， ∠=CAD β，求α和β间的关系为？ A B C D α β 12. 如图，?ABC 中，∠∠ABC ACB 、的平分线交于P 点，∠=?BPC 134，则∠=BAC （ ） A. 68° B. 80° C. 88° D. 46° A B C P 13. 已知：如图，AD 是?ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。 求证：()∠= ∠-∠EAD C B 1 2 A B C D E有关三角形和概念经典习题
三角形性质及概念重点考点归纳
初中数学7三角形的有关概念与性质(学生)
新初二等腰三角形基本概念与性质
三角形概念性质教案
三角形基本概念与性质
三角形的定义、特征及分类
2012中考数学复习(24)：三角形的有关概念1
第一讲三角形基本概念
三角形及其性质(基础)知识讲解
14.1 三角形的有关概念(2)
三角形的概念及基本性质-教案
三角形及其有关概念(学生版)
三角形的概念及其角的关系
三角形的概念与内角和
沪教版(上海)数学七年级第二学期-14.1 三角形的有关概念 教案
全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解
有关三角形及其概念经典习题