数学建模例子详解-电梯控制问题
电梯控制问题
在高为100米的观光塔内装有一电梯，问如何确定控制策略（电梯的动力），才能使游客从塔底到塔顶所化时间最少？
一、建模假设
1.假设电梯装满人后的总质量为m 。
2.为了使乘客乘电梯感到舒适，假设电梯运行的加速度1a ≤，且在从塔底到塔顶的
整个过程中只有一个加速过程和一个减速过程。
3.假设电源提供的动力和电梯本身的设备在1a ≤时不受限制。
4.假设重力加速度为g （常数）。
5.假设电梯在塔底时10,(0)100t
x ==-米，12(0)(0)x x =&，电梯运行到塔顶时
f
t t =（待求），
112()0,()()0f f f x t x t x t ===&。其中1()x t 表示位移，表示
2()x t 速度。坐标系如图1
6.假设电梯提供的动力为()u t 。 二、模型的建立
根据假设问题的数学模型是：在控制条件
1
21
212()()(0)100,(0)0
()0,()01
f f u m
g x t x t a m
x x x t x t a -?
===???=-=??==?≤??&&& （1）
之下，使总时间 0
[]f
t f J u dt t ==?
（2）
达到最小。
三、模型求解 1.模型的转化
该问题是一双积分系统的时间最优控制问题。令
1()u mg
u t m
-=，则系统的状态 方程为：
1221
()()
()x t x t x t u =??
=?&& （3） 或矩阵形式为：
11122010()()001x x X t u t x x ????????
==+????????????
??
??&&& （4） 即 1()()()X t AX t Bu t =+& （5）
其中0
10,0
01A B ????
==?
???????
。 初始条件为：1000(0),()00f X X t -????
==????
????
（6） 控制约束为：1
11u -≤≤ （7）
性能指标为：10
[()]f
t J u t dt =
?
（8）
现求最优控制*1()u t ，把系统从初态100(0)0
X -??=??
??
转移到终态0()0f X t ??=????
使
[]f
t f
J u dt t ==?达到最小。
2．模型求解
该问题是有约束条件的泛函极值问题，由极小值原理 确定最优控制。
哈密尔顿函数为：
111[,,]=1[()()] =1+()()T T T
T
T
H u x t F f AX t Bu t X t A u t B λλλλ
=++++ （9）
要使H 全局最小，即1()T
u t B λ使最小，而11()1u t -≤≤，故可得最优控制为
12()sgn[]=sgn[()]T u t B t λλ=-- （10）
由协态方程得： T H
A X
λλ?=-
-?& （11） 即
1
112200010λλλλλ??????
??=-=????????-??????
????
&& （12） 故
121()0,()t t λλλ==-&& （13）
所以
11221(),()t c t c c t λλ==- （14）
由此可得
*121()sgn()1u t c c t =--=± （15）
在2()__t t λ平面上，2()t λ是一直线，其四种形状以及相应的*
1()u t 如图所示。
由此可见，可供选择的最优控制有下列四种：
a. *
1()1,0f
u t t t =<< b. *
1()1,0f
u t t t =-<<
c
*
1
1, 0() 1, s
s f
t t u t t t t -<
<
*
1
1, 0()1, s
s f
t t u t t t t <
-<
切换次数最多一次，切换时间为s t ，由该问题的实际推断可得：
*
1
1, 0()1, s
s f
t t u t t t t <
-<
又因为1()
()u t mu t mg
=+，故 *
(g + 1), 0()(1), s
s f m t t u t g m t t t <
由假设2，可设电梯 在AB 段加速运行，在BO 段减速运行，切换点为B 点。则AB
段的加速度为：
*1()(1)1, 0s u t mg g m mg a t t m m
-+-===<<
同理，BO 段的加速度为：
*2s ()(1)1, t f
u t mg g m mg a t t m m
---===-<<
又因为
21221()1110022
s s s s s x t a t t h ha t t ==?
??-+=-=?? 且
2
10012
s h h h t =-+???=?? 由1()0f
x t =&得：
2f s t t =
由2
2221()()()221s f s f s f s h x t t t a t t t t a ?=-+-??=??=-??
及212
21()1110022
s s s s s x t a t t h ha t t ==???-+=-=??得： 2
100122s
f s
h h h t t t =-+???=??=?? 故50(10(20(s f h t t ===米),秒),秒)。
由此可得所求的最优控制为：
*
(1), 010
()(1), 1020
g m t u t g m t +<
从塔低到塔顶所用的最少时间为20f t =秒。