反比例函数中的面积问题专题课程教案

教学过程

一、复习预习

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反

比例函数值的大小比较； 2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。

、知识讲解

k1 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（y kx 1或xy k ）（ k 为常数， k __________________________________ 0）的

x 函数叫做反比例函数．

k 2．反比例函数的性质：反比例函数y＝k

（ k≠0）的图象是 ___ ___ ．当 k>0 时，两分

x

支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y随 x 的增大而；当 k<0时，两分

支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而．

3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为 _ ；反比例函数还是___ 图

形，它有两条 ___ ，分别是直线 __ ________ ．

k

4．在双曲线 y ＝k上任取一点 P 向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于

x

k

5．因在反比例函数的关系式y＝k（ k≠0）中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也

x

就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组 x、y 的值或图象上任意一点的坐标，

然后代入 y＝k中即可求出__ 的值，进而确定出反比例函数的关系式．

x

k

6、利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题。设 P 为双曲线y k 上任意一

x

点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的

k

的矩形 PMON的面积为 S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy| y k, xy k,s k 。从而得：

x

结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值

|k| 。

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可

得出对应的面积的结论为：

k

结论 2：在直角三角形 ABO中，面积 S= 。

2

结论 3：在直角三角形 ACB 中，面积为 S=2|k| 。 结论 4：在三角形 AMB 中，面积为 S=|k| 。

考点 /易错点 1

: 一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。 考点 /易错点 2

反比例函数图像对称性 （轴对称与中心对称） 的应用， 能相应的得到一些点的坐标的结论时 要注意坐标符号的变化。

三、例题精析

题型归类：

题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数 k ）

【例题 1 】

k

【题干】 如图，直线 OA 与反比例函数 y （k 0） 的图象在第一象限 x 交于 A 点， AB ⊥ x 轴于点 B ，△ OAB 的面积为 2，则 k ＝ ．

反比例函数与一次函数的结合

答案】 k=4

k

解析】 由图象知 ,k>0, 由结论及已知条件得 2， ∴ k=4

2

BC 的中点 F 、 E ，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 k

【答案】 k=2

【解析】 连结 OB ，∵E 、F 分别为 AB 、BC 的中点

∴

k

k k

而

s OCE s OAF ，由四边形 OEBF 的面积为 2 得

2 ，解得 k=2 。 2

2 2

评注：第①小题中由图形所在象限可确定 k>0 ，应用结论可直接求 k 值。第②小题首先应用

三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。 题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积

例题 3 】

题干】 在反比例函数 y 4

的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ）

x

例题 2 】

题干】 如图，已知双

y k

（k 0）（ x 0）经过矩形

x

答案】 B

【解析】 因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故

S=4，对于 B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故

于 D ： S=4 故选（ B ） 题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论

例题 4 】

题干】 k

已知一次函数 y=kx+b （k ≠o） 和反比例函数 y= 的图象交于点 A （1，1）． 2x （1） 求两个函数的解析式；

（2） 若点 B 是 x 轴上一点，且△ AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标．

【答案】 解：

k

（ 1）∵点 A （1， 1）在反比例函数 y 的图象上，∴ k=2，∴反比例函数的

解析式为： 1

y 。设一次函数的解析式为： y=2x+b ，∵点 A （ 1， 1）在一次函数

y=2x+b x 的图象上，∴

b=-1 ，∴一次函数的解析式为 y=2x-1 。

（2）如图，∵点 A （ 1， 1）， ∴∠ AOB=45°，∵△ AOB 是直角三角形，∴点 B 只能在 x 轴 正半轴上，①当∠ OB 1A=90°时，即 B 1A ⊥OB 1，∵∠ AOB 1=45°，∴ B 1A=OB 1，∴ B 1（ 1，0）；② 当∠ OAB 2=90°时，∠ AOB 2=∠ AB 2O=45°， ∴B 1起 OB 2的中点，∴ B 2（2，

B 、

C 、

D 的面积易求。对于 A ：

4

3 6 ；对于 C ：S=4，对

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0），综上可知， B 点坐标为（ 1， 0）或（ 2，0）。

例题 5 】

k

题干】 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 M 、N 两点． x （1） 求反比例函数和一次函数的函数关系式．

（2） 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．

k

【答案】 解：（ 1）∵ y 的图象经过 N （﹣ 1，﹣ 4），∴ k=xy= ﹣ 1×（﹣ 4）=4．∴反比例

x

44

函数的解析式为 y 。又∵点 M 在 y 的图象上， ∴ m=2．∴ M （ 2，2）．又∵直线

y=ax+b

xx

题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积

例题 6 】 【题干】如图，已知 A （ 4, n ）, B （2, 4）是一次函数 y kx b 的图像和反比例函数 y 的 x 图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及三角形 AOB 的面积．

图象经过 M ， N ，

∴一次函数的解析式为 y=2x ﹣2；

2）由图象可知：反比例函数的值>一次函数的值的 x

的取值范围是 x<﹣ 1 或 0

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( 2) 是 直 线 与 轴 的 交 点 ， 当 时 ， 点

评注：对于例 4、例 5、例 6 类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数 解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。

题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题

例题 7 】

【题干】 已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数 y (x>0)图象上五个整数点(横、纵坐

x

标均为整数) ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作 四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形(阴影部分) ，则这五个橄榄形的面 积总和是

(用含 π 的代数式表示)

【答案】∵ x,y 为正整数， ∴x=1,2,4,8,16 ，即 A 、B 、C 、D 、E 五个点的坐标为 (1,16) 、(2,8) 、

(4,4) 、(8,2) 、 (16,1) ，因五个橄榄形关于 y=x 对称，故有

答案】解：(1) B(2, 4) 在 y m

上

m 8 ． 反比例函数的解析式为：

点 A( 4,n)在 y 8

上

x

，

解之得

A( 4,2) 。 经过

一次函数的解析式为：

S= =13π-26 。

【答案】 解：（ 1） y=-x+8 与 y=k/x 联立已知 k>0， x2 -8x+k=0 ， 64-4k>0 ，

得 0

（2）设两个交点横坐标为 x 1 和 x 2 ，根据 x 2-x 1=6 以及 x2-8x+k=0 ，（ x 2+x 1）2-4x

1x 2

=36，由 韦达定理 x 1+x 2 =8； x 1x 2=k 解得 k=7。

例题

8 】

题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等 例题 7 】

题干】 如图，一次函数 y=－ x+8 和反比例函数 k

y （x>0 ）的图象在第一象限内

有两个

不同的公共点 A （x 1，y 1） 、B （x 2，y 2）． （1） 求实数 k 的取值范围． （2） 若△ AOB 的面积 S △ AOB =24，求 k 的值．

题干】如图，已知：一次函

数：

y x 4 的图像与反比例函

数：y 2(x 0) 的图像分x

别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x 轴、y 轴

作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；

（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x 取何值时，S1的最大值；

（2）观察图形，通过确定x 的取值，试比较S1、S2的大小．

2

答案】解：(1) S1 x( x 4) x24x =

（2）∵S2 2，由S1 S2可得：x24x 2 ，x24x 2 0，∴ x 2 2。通过观察图像可得：当x 2 2 时，S1 S2。当0 x 2 2或x 2 2 时，S1 S2 ；

当2 2 x 2 2 时，S1 S2 。

四、课堂运用

基础】例 1 、2 变式

k

1.如图，矩形ABOD的顶点A 是函数y （k 0）与函数y x （k 1）在第二象限的交

x

点，AB x轴于B，AD y轴于D，且矩形ABOD的面积为 3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y 轴上一动点，且，求点P的坐标．

答案 解：（ 1）由图象知 k<0，由结论及已知条件得 -k=3

3

∴反比例函数的解析式为 y ，一次函数的解析式为 y

x 2

x

（ 3） 设 点 P 的 坐 标 为（ 0， m ） 直 线 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 M （ 0， 2）

， PM

9

1 9

1

∴ m 92

或 m

12

，∴点 P 的坐标为（ 0， 2

9

）或（ 0， 1

2

）。

分 析 依据图象及结论求 k 值是本题的关键，只有求出 点的坐标，然后才能解决第③小问。

2. 例 3 变式

k 代值，才能通过解方程组求 A 、C 两

3

如图，点 A 、 B 是双曲线 y 上的点，分别经过 A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线

段，若 x

S 阴影 1，则 S 1 S 2

．

答案

上 的 点 ，分 别 经过 A 、B 两点 向 x 轴、y 轴 作 垂线 段，

x

的 性 质 得 两 个矩 形 的 面积 都 等 于 |k|=3 ， ∴ S 1+S 2=3+3-1 × 2=4 ． 故 填 空 答 案：4．

分析

欲 求 S 1+S 2， 只 要 求 出 过 A 、 B 两点向 x 轴 、 y 轴作 垂 线 段 求 出 与 坐 标 轴 所

形

成 的矩形的 面 积 即 可 ， 而 矩 形 面积为双 曲 线 y=

3 的 系数 k ， 由 此 即 可 求 出 S 1+S 2．

x

此题难度较大，考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义．

例题 4、5 变式

3. 若一次函数 y=2x 1 和反比例函数 y= k

的图象都经过点 (1 ，1) ．

2x

(1) 求反比例函数的解析式；

(2) 已知点 A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点 A 的坐标。 (3) 利用 (2) 的结果，若点 B 的坐标为 (2 ，0) ，且以点 A 、 O 、 B 、P 为顶点的四边形是平行 四边形，请你直接写出点 P 的坐标．

解 ：∵ 点 A 、 B 是 双 曲 线 y=

则根据反比例函数的图象

答案

kk 解：（1）∵反比例函数 y= 的图象经过点（ 1，1），

∴1= ，解得 k=2，∴反比例函数的2x 2

1 解析式为 y= ；

x

2）解方程组，∵点 A 在第三象限，且同时在两个函数图象

13

上，∴A（， -2 ）；（ 3） P1（，-2），

55

P2（，-2 ），P3（，2）。

22

巩固】

1. 如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2 m的图象相交于点A（2，3）和

点B，x

与x 轴相交于点C（8， 0）．

（1）求这两个函数的解析式；（2）当x 取何值时，y1>y2．变式：当x>0 时，比较y1和

y2 的大小。

答案

解：（1）把A（ 2，3）代入y2 m，得m=6。∴反比例函数的

解析式为

x y2 6。把A( 2，

x

2k+b=3 3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得

2k+b=3，解得

y1= 1x+4 。

2

∴一次函数的解析

6 y x 2）由题意得 x ，解得 x1

y

1x+4 y1

2

y 1

y 1 y 2；当 2

y 1>y 2。

分析

m

（ 1）将 A 、B 中 的 一 点 代 入 y 2=

x

，即 可求出 m 的值，从 而得到 反比例函数解析式，把 A （2，3）、C （8，0） 代 入 y 1 =kx+b ， 可 得 到 k 、 b 的 值 ；

2）根据图象可直接得到 y 1>y 2时 x 的取值范围．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象 与不等式的 关系是解题的关键 ．

2. 如图，直线 与反比例函数 y m

（ <0）的图象相交于点 A 、点 B ，与 x 轴 x 交于点 C ，其中点 A 的坐标为（－ 2，4），点 B 的横坐标为－ 4。

1）试确定反比例函数的关系式； （ 2）求△ AOC 的面积 .

答案

6 ， x 2 2

1 。∴从图象可得， 当 x <0或 2< x <6 时， y

2

3 y 1>y 2。变式：当 0< x < 2 和 x 6 时，

∴反比例函数解析

式为

8 y= 。

x

（2）∵ B点的横坐标为 -4 ，∴y= ，∴y=2 ∴B（-4 ，2）。∵点 A（ -2 ，4）、点 B（ -4 ，2）

4

在直线 y=kx+b 上，∴ 4=-2k+b ， 2=-4k+b ，解得 k=1 ， b=6。∴直线 AB为

y=x+6。

11

与 x 轴的交点坐标 C（ -6 ， 0），∴ S△AOC= CO?y A= × 6× 4=12。

22

分析

k 主

要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数y＝

x

中k 的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定

所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的

1

|k| ．

2

1

3.如图，⊙A和⊙B都与x 轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y 的图

象上，x

则图中阴影部分的面积等于 .

答案设圆 A 的圆心 A 的坐标为（x,y），由图可知， x=y，

11

∵A点在反比例函数y 图象上，∴ x ，解得 x=1 从而所求面积为π。xx

解：1）∵点 A（-2 ，

4）在反比例函数图象上，4=k′ -2 ，∴ k′=-8，

要正确理解k 的

几何意义．图象上的点与

原点直角三角形面积S 的关

分析

根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可

求解．

本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键．

【拔高】

1. 如图，一次函数 y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于 A．B两点，与反比例函数 y ＝m的

x

图象在第二象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D．若 OB＝2，OD＝ 4，△ AOB 的面积为 1．

(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；

(2) 直接写出当 x<0 时，kx＋b－m>0 的解集．

x

答案

解：（ 1）∵OB=2，△AOB的面积为 1，∴ B（﹣ 2， 0）， OA=1，

∴A（0，﹣1）

1

b 1 k 1

∴ ，∴ 2 ，∴ y x 1

2k b 0 b 12