高考理科数学试题及答案999

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目

要

求

的

。

1.

31i

i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}

2

40x x x m B =-+=．若{}1A

B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的

最小

值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐

近线被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

23

10. 若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．

32 B ．155 C ．105

D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是．

15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

2.

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法 新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

）

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

（1） 求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）

已知函数3

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

30()2e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知3

3

0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3

3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112

-==-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得23

43C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A

【解析】取渐近线b

y x a =

，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为22

23b a b =

+ 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角

（异面线所成角为π02?

? ??

?，）

可知1152MN AB =

=

，112

2NP BC ==，

作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1

2

MQ AC =

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??

=+-???-= ???

，7=AC

则7MQ =

，则MQP △中，22112

MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP

+-∠=??

又异面线所成角为π02?

? ??

?，，则余弦值为10．

11．A 【解析】()()21

21x f x x a x a e -'??=+++-???

， 则()()3

2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()

2PA PB PC PD PA ?+=?，

要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值， 又3

23PA PD AD +==?

=， 则2

233

24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， P

D C

B

A

则min 332242

PD PA ?=-?=-． 解析法：

建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()

03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()

3PA x y

=--，，

()

1PB x y =---，，

()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

则其最小值为33242??

?-=- ???

，此时0x =，3y =．

13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???

?=+-∈ ????

???，

令cos x t =且[]01t ∈， 则当3

t =时，()f x 取最大值1． 15．

2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12

n n n S +=

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-，

如图，M 为F 、N 中点，

l F

N M C B

A

O

y

x

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =

又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6

NF NM MF =+=

17.

【解析】（1）依题得：2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15

cos 17

B =

， （2）由⑴可知8sin 17

B =． ∵2AB

C S =△， ∴1

sin 22ac B ?=， ∴18

2217

ac ?=， ∴17

2ac =

， ∵15cos 17

B =

， ∴22215217

a c

b a

c +-=，

∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，

∴2361715b --=，

∴2b =．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

（2）

由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=

，8

5 2.3517

?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1

2

EF AD ∥．

又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==

，∴1

2

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，

(00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，

∴MBM '△为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，OC =

，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，3CM a '=

，3

1OM a '=-．∴3100M a ??'- ? ???

，，． 2

22

231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ??'- ? ???，，，26102M ??

- ? ???

，， 2611AM ??=- ? ???

，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116

0y z +

=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，

(001)n =，，．

∴10

cos ,m n m n m n

?<>=

=

?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10

． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，

(0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?，

∴2M x y ?

?

???

，，又M 在椭圆上． ∴2

2122x += ???

，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

⑵设点

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()

2

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，

∴2

13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3

Q y y x =

?-，

因为直线l 与OQ l 垂直．

∴3l Q

k y =

故直线l 方程为3

()P P Q

y x x y y =

-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1

3

P Q P y y x x -?=-， ∴1

3

P Q P x y y x =-?+，

∵33P Q P y y x =+，

∴1

(33)13

P P x x x =-++=-，

若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11

ax g x a x x

-'=-

=

， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1

x a

=． 当10x a <<

时，()0g x '<，()g x 单调减；当1

x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??

<= ???；

若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??

<= ???；

若1a =，则()()min 110g x g g a ??

=== ???

，()0g x ≥．

综上，1a =．

⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()121

2x h x x x

-'=-=

，0x >． 令()0h x '=得1

2

x =

， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1

2

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．

所以，()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

．

因为()

22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??

∈+∞ ???

，，

所以在102?? ???，和12??

+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点．

设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，

，因为()f x '在102??

???

，上单调减，

所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01

2

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．

因为，()f x '在12??

+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，

2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．

所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -?

?∈ ??

?，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>．

因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01

4

f x <． 因此，()201

e 4

f x -<<

． 22．

【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，

，， 则0||OM OP ρρ==，．

解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为

()

2

224x y -+=．()0x ≠

⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．

||OA 为定值．

∴当高最大时，AOB S △面积最大，

如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：()()()

2

2

5

5

33

4a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+= ∴()()2

32a b b ab α??++-=??

∴()()3

32a b ab a b +-+=

∴()()

3

23a b ab

a b +-=+

由均值不等式可得：()()3

2

232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3

2232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()3

3

324

a b a b ++-≤

∴

()3

124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题期末考试数学试题分类汇编数列

一、填空题

1、（常州市高三上期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且124

9

a a +=，3456a a a a +++＝40，则

789

9

a a a ++的值为

2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末）若公比不为1的等比数列}{n a 满足

13)(log 13212=?a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +?++的值为

3、（南京、盐城市高三上期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若

6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲

4、（南通市海安县高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(?1，0)，Q(2，1)，直线l ：

0=++c by ax 其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值

范围是；

5、（苏州市高三上期末）已知{}n a 是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n+5项的和为Tn ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲

6、（泰州市高三第一次模拟）已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足

11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲

7、（无锡市高三上期末）对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈，且

1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =

8、（扬州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，52

3a a =，则该数列的前5项的

和为▲

9、（镇江市高三第一次模拟）Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若Sn S2n ＝n ＋14n ＋2，则a3

a5＝________．

填空题答案

1、117

2、26

3、20

4、

5、5或6

6、(,2)-∞-

7、8

8、31

9、【答案】3

5

．

【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前n 项和，考查学生的运算能力，难度中等．

【解析】由Sn S2n ＝n ＋14n ＋2可得，()

()111212122212n n n n n a a a a n n a a a a n +++==

+++，当1n =时，112223

a a a =+，212112,a a d a a a ==-=，

311511233455

a a d a a a d a +===+． 二、解答题

1、（常州市高三上期末）已知等差数列{}n a 的公为d 为整数，且22k a k =+，2

2(2)k a k =+，其

中k 为常数且*k N ∈。

（1）求k 及n a ；

（2）设11a >，{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的首项为1，公比为q （q ＞0），前n 项和为n T ，若存在正整数m ，使得

2

3m

S T S =，求q 。 2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末）已知各项均为正数的数列}{n a 的首项

11=a ，n S 是数列}{n a 的前项和，且满足：).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.

（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若2

1

=

λ，求n S . 3、（南京、盐城市高三上期末）设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,

,i a a a 中的最

大项为i A ，该数列后m i -项12,,

,i i m a a a ++中的最小项为i B ，

(1,2,3,

,1)i i i r A B i m =-=-.

（1）若数列{}n a 的通项公式为2n

n a =，求数列{}i r 的通项公式；

（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；

（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是

等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.

4、（南通市海安县高三上期末）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且

数列}{

n

n

a S 是等差数列。 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设)(3

lg *

N n a b n n n ∈=

，问：m k b b b m k ,(,,1均为正整数，且)1m k <<能否成等比数列？若能，求出所有的k 和m 的值；若不能，请说明理由。 5、（苏州市高三上期末）已知数列{}n a 满足：11

2

a =

，113n n n a a p nq -+-=?-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围.

6、（泰州市高三第一次模拟）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前

n 项和．

（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为1

3

-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设n n n

a

c b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之

积．

7、（无锡市高三上期末）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(),n n b n a a q b b n N *++-=-∈。

（1）若123,1,2n b n a q =-==，求数列{}n a 的通项公式；

（2）若111,2a b ==且数列{}n b 为公比不为1的等比数列，求q 的值，使数列{}n a 也是等比数列；

（3）若1,()n n a q b q n N *==∈且(1,0)q ∈-，数列{}n a 有最大值M 与最小值m ，求M m

的取值范围。

8、（扬州市高三上期末）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*

N m ∈），则称数列{}

m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.

（1）已知2n a n =，且2

)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；

（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；

（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*

N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d

（0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.

9、（镇江市高三第一次模拟）已知数列{an)的各项都为自然数，前n 项和为Sn ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有Sn ＝(1＋λ)an －λ恒成立．

(1)求λ值，使得数列{an)为等差数列，并求数列{an)的通项公式；

(2)若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k

i ＝k ai ＝2 016，求k. 解答题答案 1、

2、（1）令1n =，得22

1a λ

=

+． 令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()

324

121a λλλ=

+++．…………2分

由2

2

13a a a =，得(

)()2

2241121λλλλ??

= ?

??++++，因为0λ≠，所以1λ=．………4分 （2）当12λ=

时，11111

2

n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+， 所以

11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112

n n n n S S a a ++-=++，………………………6分 所以数列1n n S a ??????

+是以2为首项，公差为12的等差数列，

所以

()11

212

n n S n a =-?++， ……………………………………………………8分 即3122n n n S a ??

= ???

++，①

当2n ≥时，113122n n n S a --??

= ???

++，②

①②得，132

22

n n n n n a a a -=

-++，……………………………………………10分 即()()112n n n a n a -=++，所以()1221

n n a a

n n n -=++≥， ………………………12分

所以2n a n ??

????+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. ……………………14分

代入①得2351226n n n n n S a +??

=-= ???

+.……………………16分

3、解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i

i A =，12i i B +=， 所以1222i i i

i r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分

（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B < 可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,

,1i m =-，所以{}n a 单调递增， ……7分

则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ………10分

（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2

n

n c =-. ………12分

下证数列{}n a 满足题意.

证明：因为1()2

n

n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，

所以1()2

i

i i A a i ==-，1

111()2

i i i B a i ++==+-， ……………14分

所以1

111()2

i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，

因为2

121111

[1()

][1()]()02

22

i i i i i r r ++++-=-----=>，

所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分 4、

5、解：（1）0q =，113n n n a a p -+-=?，∴2112a a p p =+=

+，321

342

a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得2

1114222p p ????

+=+ ? ?????

，解得0p =或1p =. ………………3分

当0p =时，1n n a a +=，∴1

2

n a = 符合题意； ………………………4分

当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12

1

1

1131133

32

2132n n n ----+++

+=+=?-，

∴

1

3n n

a a +=符合题意.………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，

∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-

=

()()21

1331212

n n q -++++-++

+-????=()1

1312

n n n q -??--??. ………………8分