(完整版)相遇问题整理

应用题—行程问题（相遇、流水行船）知识点：

1.相遇问题是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是：两个运动的物体，同时从两地相对而行，越行越近，到一定的时候二者可以相遇。

2.相遇问题的数量关系：

速度和×相遇时间=两地路程

两地路程÷速度和=相遇时间

两地路程÷相遇时间=速度和

3.解题时，除掌握数量关系外，还要根据题意想象实际情景，画线段图来帮助理解和分析题意，突破题目的难点。

4.流水行船问题

船速：船在静水中的速度；

水速：水流速度；

顺水速度：船顺水航行的实际速度；

逆水速度：船逆水航行的实际速度；

行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程=顺水速度×时间

逆水路程=逆水速度×时间

行船问题中的两个基本关系式：

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

例1

一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

解：设原速度是1.

％后，所用时间缩短到原时间的这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.

用原速行驶需要

同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的

如果一开始就加速25％，可少时间

现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间

真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

答：甲、乙两地相距270千米.

练习：1.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

解：设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2

速度比值：

这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.

时间比值：6：5

这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时。

原来时间就是=1×6=6小时。

同样道理，车速提高30％，速度比值：1：（1+30%）=1：1.3

时间比值：1.3：1

这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3÷0.3=13/3

所以前后的时间比值为（6-13/3）：13/3=5：13。所以总共行驶了全程的5/（5+13）=5/18

2.兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远？

答案：180×2÷（90-60）=12（分钟）

12×60+180=900（米）

答：他们家离学校900米。

例2

甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

答案：第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，

通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，

所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

练习：1.甲乙两地的公路长195千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时30千米，途中乙车出现故障，修车用了1小时，两车从出发到相遇经过了几小时？

答案3（小时）

乙车出故障修车1小时看成是甲车先走1小时

解：甲车1小时行的路程=45×1=45千米

路程和=195-45=150千米

速度和=45+30=75（千米每小时）

相遇时间=150 ÷75

=2（小时）

2+1=3（小时）

答：两车从出发到相遇经过了3小时。

2. 从A 城到B 城，甲汽车用6小时，从B 城到A 城，乙汽车用4 小时。现在甲、乙两车分别从A 、B 两城同时出发相对而行，相遇时甲汽车行驶了96千米， A 、B 两城相距多远？

答案：240千米

速度比：4：6=2：3. 路程比：2：3. 24032296=+?

÷）（千米

例3

甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

答案：解：那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差

所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。

练习：1.甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A 地，丙一人从B 地同事相向出发，丙遇到乙后两分钟又遇到甲，AB 两地相距多少米？

答案：

丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲,

２分钟甲、丙两人的相遇路程=甲乙两人的追及路程

=(50+70)×2=240(米), 甲乙的追及时间=甲丙的相遇时间=240÷（60-50）=24(分) 两地距离=甲丙相遇路程

=(60+70)×24=3120(米)

２.甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟80米,60米,50米.甲,乙两人从A地,丙一人从B地相向出发,如果在两地同时而行,乙丙比甲丙迟2分钟相遇.AB两地的距离是多少米?

答案：设AB两地的距离是x米

x/(60+50)-x/(80+50)=2

x/110-x/130=2

130x-110x=28600

20x=28600

x=1430

AB两地的距离是1430米

例４

如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端

Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相

遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问，这个圆周的长是多少?

解：如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬

行了半个圆周，其中从Ａ点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从Ａ点出发的应爬行8×

3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18(厘米)，一个圆周长就是：

(8×3—6)×2=36(厘米)

答：这个圆周的长是36厘米。

练习：１.某体育场的环形跑道长400m,甲、乙二人在跑道上练习跑步,已知甲的速度为 250m/min,乙的速度为290m/min,在两人同时从同一地点同向出发,经过多长时间两人才能再次相遇?

答案：乙的速度比甲快,所以再次相遇的时候情况是乙正好比甲多跑一圈,也就是400m,

设Xmin后两人再次相遇,列式：乙跑的路程-甲跑的路程=400米290X-250X=400

X=10min

答：10分钟后两人再次相遇.

２.甲乙两人骑自行车从一环形公路的同一地点同时出发，背向

行驶，甲行一圈要６０分钟，在出发４５分钟后两人相遇，甲立即调转车头，与乙再次相遇需要多少分？

例５

甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲车同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗共跑了多少米？

【答案】2500米。

【解析】狗行驶的时间就是甲乙两人的相遇时间，抓住相遇时间=路程和÷速度和。

解：路程和=1000米

速度和=120+80=200（米每分）

相遇时间=1000÷200

=5（分钟）

这5分钟狗一直在跑

所以狗行驶的路程=500×5=2500米。

答：狗共跑了2500米。

练习：１.甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？

答案

31.5×2÷12=5.25（小时）

5.25-4.5=0.75（小时）

31.5÷0.75=42（千米）

答：甲车每小时行42千米。

从图上可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了两个31.5千米，即63千米，由题意可知，甲车每小时比乙车多行12千米，就可求出两车的相遇时间，即63÷12＝5.25(小时)，已知甲车行驶4.5小时到达西站，可求出甲车从西站返回到与乙车相遇共用了5.25-4.5=0.75（小时），共行了31.5千米，进而运用公式“路程÷时间=速度”求出甲车每小时行31.5÷0.75=42（千米）。

２.甲乙两人相向而行,甲以每小时8千米的速度由A地出发到B 地走了15千米后,乙以每小时10千米的速度由B地出发,结果在两地中点相遇,A、B两地相距多少千米?

答案：甲每小时8千米,乙每小时10千米,说明乙比甲每小时多行2千米,

甲乙两人在两地中点相遇,说明甲乙两人所行路程相同,

甲先出发,走了15千米,乙比甲每小时多行2千米,

所以乙要用时间15/2=7.5小时才能将所行路程补上,

从而A 、B 两地相距：10*7.5*2=150千米.

例６

一只轮船的速度是每小时3600米，船在水的流速为30米／分钟的河里航行，从下游的一个港口到上游的某地，再返回到原港口，共用了3小时20分，则这条船从下游港口到上游某地共航行了多少米？

【答案】3600米／小时=60米／分钟——静水速度；60+30=90（米／分钟）——顺水速度；60-30=30（米／分钟）——逆水速度；顺水速度：逆水速

度=90∶30=3∶1 说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为：1∶3 往返总共用时3小时20分=200分钟

那么顺水航行所用的时间为（分钟）全程：（60+30）×50=4500（米）答：这条船从下游港口到上游某地共航行4500米。

练习：１.一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。求这艘小船的静水速度和水流速度。

【答案】两次航行顺流的路程差：33-24=9（千米）；逆流的路程差：14-11=3（千米）；顺流速度：逆流速度=9：3=3：1；顺流航行33千米与逆流航行33÷3=11（千米）时间相同则逆流速度：（11+11）÷12005013?=+

11=2（千米／小时）；顺流速度：2×3=6（千米／小时）；静水速度：（6+2）÷2=4千米／小时）；水流速度：（6-2）÷2=2（千米／小时）答：小船在静水中的速度为4千米／小时，水流速度为2千米/小时。

２.游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公里．两条游船同时从同一个地方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回．结果，1小时以后它们同时回到出发点，忽略船头掉头时间．在这1小时内有多少分钟这两条船的前进方向相同？

【答案】解：设1小时顺流时间为x分钟，则逆流时间为（60-x）分钟，故x：（60-x）=5：7．

解得x=25，

所以60-x=35．

35-25=10（分钟）．

答：有10分钟这两条船的前进方向相同．

课后作业：

1、甲、乙两人同时从相距39千米的两地相向而行，甲步行每小时行3千米，乙骑自行车每小时行10千米。多少小时后他们在途中相遇？

答案：39÷（3+10）=3（小时）

2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

答案：行程问题中的环形相遇问题，抓住相遇时间=路程和÷速度和解：路程和400×2

速度和（5+3）米每秒

相遇时间=（400×2）÷（5+3）=100秒

3、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。问甲、乙两地之间相距多少米？

【答案】 40×3=120（米）

120-15=105（米）

答：甲、乙两地之间相距105米。

4、甲、乙两车的速度比是3:5，两车同时从东、西两站相向而行，在离中点20千米处相遇。相遇后分别按原速继续行驶，当乙车到达东站时，甲车距西站还有多少千米？

【答案】64千米

速度比3:5，那么时间一定时，路程比是3:5. 全长为

千米）

(

160

20=

千米）

(

)

160=

５、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行

56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。求东西两地的距离是多少千米？

答案

（56+48）×[32×2÷（56-48）]

=104×（64÷8）

=104×8

=832（千米）

答：东西两地间的距离是832千米。

６、甲车与乙车同时从A、B两地相对开出，经过12小时相遇。相遇后甲车又行了8小时到达B地。乙车还要行多少小时到达A地？

【答案】12÷8＝1.5

12×1.5＝18（小时）

18－8＝10（小时）

答：乙车还要行10小时到达A地。

７、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙同时在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲、乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。

【答案】6650米

6650

)

+米）

(

35=

100

)

(

分）

(

100

)

８、一列快车从甲站到乙站要5小时，一列慢车从乙站到甲站要8小时，两车同时出发，相遇时离两站中点84千米。求甲乙两站的路程。【答案】728千米

速度比：8：5. 路程比：8：5.

?）

）

（

（千米

84=

728

5-8

９、一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变，客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米，客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度。

【答案】0.1千米

船在静水中的速度为每分钟5÷10=0.5（千米）。客船、货船与物品从出发到共同相遇所需的时间为50÷0.5=100（分钟）。客船掉头时，它与货船相距50千米。随后两船作相向运动，速度之和为船速的2倍，因此从调头到相遇所用的时间为50÷（0.5+0.5）=50（分钟）。于是客船逆水行驶20千米所用的时间为100-50=50分钟，从而船的逆水速度是每分钟20÷50=0.4（千米），水流速度为每分钟0.5-0.4=0.1（千米）

１０、一只木船第一次顺流航行56千米，逆流航行20千米，共用去12小时，第二次用同样的时间顺水航行40千米，逆流航行28千米，求船在静水中的速度。

【答案】6千米

（56-40）÷（28-20）=2 逆流航行20千米的时间，顺水可航行40千

（56+20×2）米，所以12小时顺水可航行（56+20×2）千米，顺水速度：

÷12=8（千米/时）逆水速度：8÷2=4（千米/时）船在静水中的速度：（8+4）÷2=6（千米/时）