-正弦定理和余弦定理高考题
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考点16 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则
2sin cos cos A A B +=（ ）
(A)-
12 (B)1
2
(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.
由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =
所以222
sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．
二、填空题
2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ? 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的等差数列，
则ABC ?的面积为_______________.
【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ?的面积.
【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么
所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102
1
=???=
? ABC S 【答案】153
3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，
?∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，
ABD ?然后在中，由正弦定理解得AD.
【精讲精析】在ABC ?中，由余弦定理易得
2223
cos 22223
AC BC AB C AC BC +-===????30,30.C B ABD ∴∠=?∴∠=??在中，
, 2.
1sin sin 22AD AB AD AD B ADB =∴∴=∠由正弦定理得： 24.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=?60，则边AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】3求得AC ，然后再用余弦定理求得AB . 【精讲精析】在ABC ?中，由面积公式得11
sin 2sin 6022
S BC CA C AC =
??=???? 3
3,2,AC AC =再由余弦定理，得： 222221
+2cos 2222242
AB BC AC AC BC C -??=+-???
=＝，2AB ∴=. 【答案】2
5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） 在
ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .
【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC +，统一角变量，然后求最大值. 【精讲精析】 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得
3
2,sin sin sin 3a c AC
A C B
====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=?， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+?-＝2sin C +
314(
sin )4sin 232C C C C +=+7+)C ?=(其中3tan )?= ∴当90C ?+=?时，2AB BC +取最大值为7.
【答案】76.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1
sin 2
ABC S AB BC B ???＝求得三角形的面积. 【精讲精析】设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-，得21
492525()2
a a =+-??-，
解得3a =，11
sin 35sin12022
ABC S ac B ?∴=
=????153= 【答案】
153
4
7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ?中，若5,,tan 24
b B A π
=∠=
=，
则sin A = ；a = . 【思路点拨】先利用切化弦和平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】
22
sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22
A A A A A =∴=
∴+= 25(0,),sin 5A A π∈∴=
又.252
=，所以10a =25
2108.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ?中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】由正弦定理得，
1232
a =，所以523a =. 【答案】
52
3
三、解答题
2.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长，3，212cos()0B C ++=，求cosB.
【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.
【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得
,2
3
sin ,21cos ,0cos 21===-A A A
再由正弦定理得，.2
2sin sin ==
a A
b B