导数在函数单调性中的应用——分类讨论专题复习

高三二轮复习函数单调性讨论（文科压轴第（1）问）

一、解答题

1．已知函数，．讨论的单调性；

【解】：Ⅰ，．

当时，，在上是单调增函数；

当时，．

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上是单调增函数，当时，在上单调递增，在上单调递减；

2．已知函数．试讨论函数的单调性；

【解】：1，

时，在恒成立，故在递增，

时，由，解得：，由，解得：，故在递减，在递增；

3．已知函数（a＞0）．讨论函数f（x）的单调性；

【解】：（1）解：．①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，

解得；

由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．

②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或；

由f'（x）＞0，得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为．

4．已知函数．

当时，求函数的单调增区间；

若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；

【解】：当时，．

则

令，得，即，解得：或．

因为函数的定义域为，

所以函数的单调增区间为．

由函数．因为函数在上是增函数，所以

对恒成立

即对恒成立．所以即实数a的取值范围是．

5．设函数．

当为自然对数的底数时，求的极小值；

若在上为单调增函数，求m的取值范围．

【解】：（1）由题设，当时，，则，（）∴当，，在

上单调递减，当，，在上单调递增，当时，取得极小值，，∴的极小值为2.

（2）因为在上为单调增函数，所以对于恒成立，即对于恒成立，进而

6．已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【解】：（1）的定义域为，，

①当时，，所以的减区间为，无增区间.

②当时，令得；令得；所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.

综上可知，当时，的减区间为，无增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

7．设函数．求函数的单调区间和极值．

【解】：由，得，

当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值；

当时，由，得或舍去．

．

函数在处取得极小值，无极大值．

综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；

当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，

函数有极小值，无极大值．

8．已知函数．(1)求的单调区间；

【解】：（1）.

当时，由，得，，∴函数的递减区间是；

当时，由得，∴当时，；当时，.

∴函数的递增区间是，递减区间是；

综上，当时，函数的递减区间是；

当时，函数的递增区间是，递减区间是．

9．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.

【解】：（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，函数的单调递增区间为.

当时，由，得或（舍去），

则由，得，由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上.

由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意；

当时，在处取得极大值也是最大值，所以.

令，所以.

在上，，是减函数.

又，所以要使得，须，即.

故的取值范围为.

10．已知函数．讨论函数的单调性；

【解】：（1）定义域为，

令得或，则且

①当时，此时在上单调递增;

②当时，在和上单调递增，在上单调递减；

③当时，在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．11．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x+m+=，

m≥0时，f′（x）＞0，故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；

m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为：△=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

12．已知函数.（1）讨论函数的单调性；

【解】：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x+m+=，

m≥0时，f′（x）＞0，故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；

m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为：△=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

13．设函数.

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求满足条件的的最大整数值.（参考值：，，）.

【解】：（1），由于函数在上单调递减，所以在上恒成立.

.即.

（2）由题意得，.

令，，则.

令，，则.

当时，，在上单调递增.

，.

使得，即.

当时，，在上递减；

当时，，在上递增.

..

14．已知函数，，试讨论的单调性；

【解】：（Ⅰ）.

若，则，在上单调递增；

若，则必有一正一负两根，且正根为.

当，，在上单调递增；

当，，在上单调递减.

综上可知，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

15．已知函数，当时，求的单调区间；

【解】：（1）f'（x）＝xe x﹣ax＝x（e x﹣a）

当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增；

当0＜a≤1时，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．

（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii）当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xe x﹣ax＝x（e x﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；

当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；

当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．