人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质

分式

第 1 节 分式的基本概念和性质

【知识梳理】

1．分式的定义

（1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式．

（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．

（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．

（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B

A

的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．

2．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．

（2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

3．分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

4．分式的基本性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

（2）分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．

【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题

1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．

2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．

3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．

①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．

②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．

（3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

6．通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．

（2）通分的关键是确定最简公分母．

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．

（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

8．最简公分母

（1）最简公分母的定义：

通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

【诊断自测】

1、用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为_____的形式。如果除式B 中______，该式叫做分式。

2、()

x x x -=--121 3、化简

（1）mc

mn 1510- （2）y

x x xy y -+-2442

2 4、分式y

x ，当字母x,y 满足___________时，值为1.当x ，y 满足_______时，值为-1. 【考点突破】

类型一：分式的概念

例1、下列代数式中，属于分式的是（ ）

A ．﹣3

B ．

C ．

D ．﹣4a 3

b 答案：C

解析：解：A 、3是整式，故A 错误；

B 、a ﹣b 是整式，故B 错误；

C 、是分式不是整式，故C 正确；

D 、﹣4a 3b 是整式，故D 错误；

故选：C ．

例2、下列各式（1﹣x ），

，，+x ，，其中分式共有（ ）个． A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案：A

解析：中的分母含有字母是分式．故选A．

类型二：分式有意义的条件

例3、若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x=3

答案：C

解析：分式有意义时，分母x﹣3≠0，据此求得x的取值范围．

依题意得：x﹣3≠0，

解得x≠3，

故选：C．

例4、如果分式有意义，则x的取值范围是（）

A．全体实数 B．x≠1 C．x=1 D．x＞1

答案：B

解析：∵分式有意义，

∴x﹣1≠0，

解得：x≠1．

故选：B．

例5、若分式有意义，则a的取值范围是．

答案：a≠1

解析：直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案．

解：分式有意义，则a﹣1≠0，

则a的取值范围是：a≠1．

故答案为：a≠1．

类型三：分式的基本性质

例6、如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍

答案：B

解析：把中的x和y都扩大到5倍，就是用5x代替x，用5y代替y，代入后看所得到的式子与原式有什么关系．

，

即分式的值不变．

故选B．

例7、把分式中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变原来的 D．不改变

答案：D

解析：分子、分母的x、y同时扩大2倍，即，根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选D．

例8、把分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）

A．不变 B．为原分式值的10倍

C．为原分式值的D．为原分式值的

答案：C

解析：根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的结果不变，可得答案．分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值变为原分式的，

故选：C．

类型四：约分

例9、化简的结果是（）

A．B．C．D．

答案：A

解析：解：==．

故选：A．

例10、化简的结果是（）

A.﹣1 B．1 C．D．

答案：D

解析：==；

故选D．

例11、化简﹣1结果正确的是（）

A．B．C．D．

答案：C

解析：先把的分子、分母进行因式分解，再约分，然后通分即可得出答案．﹣1=﹣1=﹣=．

故选C．

类型五：最简分式

例12、下列分式中，最简分式是（）

A． B．

C．D．

答案：A

解析：解：A、原式为最简分式，符合题意；

B、原式==，不合题意；

C、原式==，不合题意；

D、原式==，不合题意，

故选A

例13、下列分式中，最简分式是（）

A．B．C．D．

答案：B

解析：解：A、原式=，所以A选项错误；

B、是最简分式，所以B选项正确；

C、原式=，所以C选项错误；

D、原式=，所以D选项错误．

故选B．

例14．将下列分式分别化成最简分式：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

答案：

解析：（1）原式=2mn2；

（2）原式=﹣；

（3）原式=；

（4）原式=2x+2y．

类型六：通分

例15、把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（）

A．x﹣y B．x+y C．x2﹣y2D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）

答案：C

解析：确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

分式，，的分母分别是（x﹣y）、（x+y）、（x+y）（x﹣y）．

则最简公分母是（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2．

故选：C．

例16、分式，，的最简公分母是（）

A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1）C．a2+1 D．（a﹣1）4

答案： A

解析：

=，，=，

所以分式，，的最简公分母是（a﹣1）2（a+1）2．

即（a2﹣1）2

故选：A．

例17、对分式，通分时，最简公分母是（）

A．4（a﹣3）（a+3）2 B．4（a2﹣9）（a2+6a+9）

C．8（a2﹣9）（a2+6a+9）D．4（a﹣3）2（a+3）2

答案：A

解析：确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

分式与的最简公分母是4（a﹣3）（a+3）2，

故选A．

例18、通分：

（1），

（2），．

答案：见解析

解析：（1）∵两个分式分母分别为4a2b，6b2c未知数系数的最小公倍数为3×4=12，∵a，b，c的最高次数为2，2，1，

∴最简公分母为12a2b2c，

将，通分可得：和；

（2）x2﹣x=x（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴最简公分母是x（x﹣1）2，

==，

==．

总结：本题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：

（1）系数取各系数的最小公倍数；

（2）凡出现的因式都要取；

（3）相同因式的次数取最高次幂．

类型七：综合应用

例19、已知x2﹣3xy=y2，求代数式的值．

答案：见解析

解析：∵x2﹣3xy=y2，

∴x2﹣y2=3xy，

∴原式===．

例20、若x 2﹣2xy+y 2=0，求

的值．

答案：见解析

解析：∵x 2﹣2xy+y 2=0，

∴（x ﹣y ）2=0，

则x=y ，

故原式==． 【易错精选】

1、若2

1--x x 有意义，则x 满足_________ 2、张萌将分式进行通分，则这两个分式的最简公分母为（ ）

A ．2（x+y ）（x ﹣y ）

B ．4（x+y ）（x ﹣y ）

C ．（x+y ）（x ﹣y ）

D ．4（x+y ）2 3、当x= 时，分式

的值为0．

4、x 取什么值时，分式

； （1）无意义？

（2）有意义？

（3）值为零？

【精华提炼】

1、确定最简公分母的方法是：

①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

2、分式有意义的条件、分式的值为零的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义?分母为零；

（2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．

【本节训练】

训练【1】当x 时，分式有意义．

训练【2】把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的2倍

C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的

训练【3】己知a=2b，c=5a，求代数式的值．

基础巩固

一．选择题

1．下列各式中是分式的是（）

A．6B．2x C．D．x+y

2．当分式没有意义时，x的值是（）

A．2B．1C．0D．﹣2

3．在式子，，，，，10xy﹣2，中，分式的个数是（）A．5B．4C．3D．2

4．若=，则a的取值范围是（）

A．a＞0且a≠1B．a≤0C．a≠0且a≠1D．a＜0

5．已知分式，下列分式中与其相等的是（）

A．B．C．D．

二．填空题

6．已知x2﹣5x﹣2016=0，那么的值为．

7．已知：a2+4a+1=0，且=3，则m的值为．

8．若代数式的值等于0，则x=．

三．解答题

9．在下列括号内填上使等式成立的分子或分母：

（1）===

（2）=

（3）=

（4）=

（5）1﹣m=﹣

（6）=

（7）=﹣3．

10．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：①

②

③

④．

11．将下列各式通分：

（1）与；

（2）与；

（3）与；

（4），与．

12．当x取何值时，分式的值为零．

13．通分（1）和；

（2）和；

（3）和；

（4）和．

14．约分：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

15、已知y=，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．

巅峰突破

1、已知a+b=2ab，且ab+a+b≠0，求的值．

2、（1）当x=﹣1时，求分式的值．

（2）已知a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，求的值．

3、已知：，

（1）若A=，求m的值；

（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；

（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．

4、分式的定义告诉我们：“一般的，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式”，我们还知道：“两数相除，同号得正”．请运用这些知识解决问题：

（1）如果分式的值是整数，求整数x的值．

（2）如果分式的值为正数，求x的取值范围．

5、是否存在实数x，使分式的值比分式的值大1？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

【诊断自测】

1、B A

，含有字母

2、()x x

x x --=--2121

3、

（3）c n

mc mn

321510-=-

（4）y

x y x x xy y -=-+-22442

2

4、相等且不为0，互为相反数

【易错精选】

1、x ≥1且x ≠2

2、解：分式的分母分别是2x+2y=2（x+y）、4x﹣4y=4（x﹣y），故最简公分母是4（x+y）（x﹣y）．

故选B．

3、解：∵分式的值为0，

∴x﹣2=0，

解得：x=2．

故答案为：2．

4、

【本节训练】

1、解：由题意得，1﹣x≠0，

解得x≠1，

故答案为：≠1．

2、解：x、y都扩大2倍，==，

所以，分式的值不改变．

故选A．

3、解：a=2b，c=5a，可得c=10b，

==．

4、解：（1）当分母（x﹣2）（x+3）=0时，即x=2或x=﹣3时，分式无意义；（2）当分母（x﹣2）（x+3）≠0时，即x≠2且x≠﹣3时，分式有意义；（3）当分子x﹣5=0，即x=5时，分式的值为零．

基础巩固

一、选择题：

1、解：这个式子分母中含有字母，因此是分式．

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．

故选C．

2、解：当分母x﹣2=0，即x=2时，分式没有意义．

故选A．

3、解：，，10xy﹣2，这4个式子分母中含有字母，因此是分式．

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．

故选B．

4、解：∵=，

∴==，

∴a＜0，

故选：D．

5、解：=﹣=，

故A正确．

故选：A．

二、填空题

6、解：∵x2﹣5x﹣2016=0，

∴x2﹣5x=2016，

∴

=（x﹣2）2﹣

=（x﹣2）2﹣

=（x﹣2）2﹣x

=x2﹣5x+4

=2016+4

=2020．

故答案为：2020．

7、解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，

=

=

=

==3

即（﹣56﹣4m）a﹣14﹣m=（﹣12m+96）a﹣3m+24，∴﹣56﹣4m=﹣12m+96，﹣14﹣m=﹣3m+24，

解得m=19．

故答案为19．

8、解：由题意可得：x2﹣9=0且2x﹣6≠0，

解得x=﹣3，

故答案为：﹣3．

三、解答题

9、解：（1）===；

（2）=；

（3）==；

（4）==；

（5）1﹣m=﹣（m﹣1）=﹣；

（6）=；

（7）=﹣3．

10、解：①原式=；

②原式=；

③原式=；

④原式=．

11、解：（1）=，=；

（2）=，=；

（3）=，=；

（4）=，=，=．

12、解：∵分式的值为0，

∴，

解得x=﹣．

13、解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，

故=，=；

（2）两式的最简公分母为6x2y，

故=，，

（3）两式的最简公分母为8ab2c2，

故=，，

（4）两式的最简公分母为y2﹣1，

故=，．

14、解：（1）=；

（2）=﹣；

（3）==；

（4）==；

（5）===．15、解：当＜x＜1时，y为正数；

当x＞1或x＜时，y为负数；

当x=1时，y值为零；

当x=时，分式无意义．

巅峰突破

1、解：∵a+b=2ab，且ab+a+b≠0，

∴=

=

=

=﹣．

2、（1）

=

=

=

（2）a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，|b﹣1|≥0，

∵a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，

∴a﹣2=0，b﹣1=0，