2018北京市中考数学试卷(附答案解析)

2018年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为

A ．

B ．

C ．

D ．

2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A ．||4a >

B ．0c b ->

C ．0ac >

D ．0a c +>

3．方程组3

3814x y x y -=??-=?

的解为

A ．1

2x y =-??=?

B ．1

2x y =??=-?

C ．2

1x y =-??=?

D ．2

1x y =??=-?

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m ，则FAST 的反射面积总面积约为 A ．327.1410m ?

B ．427.1410m ?

C ．522.510m ?

D ．622.510m ?

5．若正多边形的一个外角是60?，则该正多边形的内角和为

A ．360?

B ．540?

C ．720?

D ．900?

6．如果a b -=22()2a b a

b a a b

+-?

-的值为

A B ． C ． D ．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A．10m B．15m C．20m D．22.5m

8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6

-）时，表示

-，3左安门的点的坐标为（5，6

-）；

②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示

广安门的点的坐标为（12

-，6

-）时，表

示左安门的点的坐标为（10，12

-）；

③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示

广安门的点的坐标为（11

-，5

-）时，表

示左安门的点的坐标为（11，11

-）；

④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），

表示广安门的点的坐标为（16.5

-）

-，7.5

时，表示左安门的点的坐标为（16.5，

16.5

-）．

上述结论中，所有正确结论的序号是

A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．下图所示的网格是正方形网格，BAC

∠．（填“>”，“=”或“<”）

∠________DAE

10

在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______．

11．用一组a ，b ，

c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____，b =______，c =_______．

12．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=?，50ACD ∠=?，则ADB ∠=

________．

13．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，

3AD =，则CF 的长为________．

14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交

车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 15．某公园划船项目收费标准如下：

低为________元．

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，

28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．

求作：PQ，使得PQ l

∥．

作法：如图，

①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB=_______，CB=_______，

∴PQ l

∥（____________）（填推理的依据）．

18

．计算：0

4sin45(π2)|1|

?+--．

19．解不等式组：

3(1)1

9

2

2

x x

x

x

+>-

?

?

?+

>

??

．

20．关于x的一元二次方程210

ax bx

++=．

（1）当2

b a

=+时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平

分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若AB =，2BD =，求OE 的长．

22．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，

D ，连接OP ，CD ．

（1）求证：OP CD ⊥；

（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=?，70CBA ∠=?，2OA =，求OP 的长．

23．在平面直角坐标系xOy 中，函数k

y x

=

（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线1

4

l y x b =

+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，

OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．

①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；

②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．

24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ

并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组

对应值；

（21），

（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当APC

△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050

≤，

x<

x<

≤，5060

≤，90100

x<

x

≤≤）；

≤，7080

≤，8090

6070

x<

x<

≤这一组是：

b．A课程成绩在7080

x<

70 71 71 71 76 76 77 78 78.578.5 79 79 79 79.5

c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

（1）写出表中m的值；

（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．

26．在平面直角坐标系xOy中，直线44

=+与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线

y x

23

y ax bx a

=+-经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作⊥交DG的延长线于点H，连接BH．

EH DE

（1）求证：GF GC

=；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．

已知点A（2

-）．

-），C（6，2

-，6），B（2

-，2

（1）求d（点O，ABC

△）；

（2）记函数y kx

=，=（11

k≠）的图象为图形G，若d（G，ABC

x

-≤≤，0

△）1直接写出k的取值范围；

（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC

=，直接写出的取值

△）1

范围．

2018年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识

2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A ．||4a >

B ．0c b ->

C ．0ac >

D ．0a c +>

【答案】B

【解析】∵43a -<<-，∴34a <<，故A 选项错误；

数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确； ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误；

∵0a <，0c >，a c >，∴0a c +<，故D 选项错误．

【考点】实数与数轴

3．方程组3

3814x y x y -=??-=?

的解为

A ．1

2x y =-??=?

B ．1

2x y =??=-?

C ．2

1x y =-??=?

D ．2

1x y =??=-?

【答案】D

【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D 选项同时满足两个方程，故选D ． 【考点】二元一次方程组的解

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m ，则FAST 的反射面积总面积约为 A ．327.1410m ? B ．427.1410m ? C ．522.510m ? D ．622.510m ?

【答案】C

【解析】5714035249900 2.510?=≈?（2m ），故选C ． 【考点】科学记数法

5．若正多边形的一个外角是60?，则该正多边形的内角和为

A ．360?

B ．540?

C ．720?

D ．900?

【答案】C

【解析】由题意，正多边形的边数为360660n ?

=

=?

，其内角和为()2180720n -??=?． 【考点】正多边形，多边形的内外角和．

6．如果a b -=22()2a b a

b a a b

+-?

-的值为

A B ． C ． D ．

【答案】A

【解析】原式()2

222222

a b a b ab a a a b a a b a a b -+--=?=?=--，∵a b -=∴原式=．

【考点】分式化简求值，整体代入．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A．10m B．15m C．20m D．22.5m 【答案】B

【解析】设对称轴为x h

=，

由（0，54.0）和（40，46.2）可知，

040

20

2

h

+

<=，

由（0，54.0）和（20，57.9）可知，

020

10

2

h

+

>=，

∴1020

h

<<，故选B．

【考点】抛物线的对称轴．

8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6

-，3

-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6

-）；

②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示

广安门的点的坐标为（12

-，6

-）时，表

示左安门的点的坐标为（10，12

-）；

③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示

广安门的点的坐标为（11

-，5

-）时，表

示左安门的点的坐标为（11，11

-）；

④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），

表示广安门的点的坐标为（16.5

-，7.5

-）

时，表示左安门的点的坐标为（16.5，

16.5

-）．

上述结论中，所有正确结论的序号是

A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④

【答案】D

【解析】显然①②正确；

③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③

正确；

-，

④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18

-）”的基础上，将所有点向右9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18

平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．

【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．下图所示的网格是正方形网格，BAC

∠．（填“>”，“=”或“<”）

∠________DAE

【答案】>

【解析】如下图所示，

△是等腰直角三角形，∴45

AFG

∠>∠．

FAG BAC

∠=∠=?，∴BAC DAE 另：此题也可直接测量得到结果．

【考点】等腰直角三角形

10在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．

【答案】0

x≥

【解析】被开方数为非负数，故0

x≥．

【考点】二次根式有意义的条件．

11．用一组a，b，c的值说明命题“若a b

<”是错误的，这组值可以是a=_____，

<，则ac bc

b=______，c=_______．

【答案】答案不唯一，满足a b

-

<，0

c≤即可，例如：，2，1

【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【考点】不等式的基本性质

12．如图，点A，B，C，D在O上，CB CD

∠=

=，30

CAD

∠=?，50

∠=?，则ADB

ACD

________．

【答案】70

【解析】∵CB CD =，∴30CAB CAD ∠=∠=?，∴60BAD ∠=?，

∵50ABD ACD ∠=∠=?，∴18070ADB BAD ABD ∠=?-∠-∠=?．

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理

13．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，

3AD =，则CF 的长为________．

【答案】

10

3

【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==，AB CD ∥，90ADC ∠=?，

在Rt ADC △中，90ADC ∠=?

，∴5AC ==， ∵E 是AB 中点，∴11

22

AE AB CD ==， ∵AB CD ∥，∴

12AF AE CF CD ==，∴21033

CF AC ==． 【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定

14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交

车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

地“用时不超过45分钟”的可能性最大．

【答案】C

【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．

【考点】用频率估计概率

15．某公园划船项目收费标准如下：

低为________元．

【答案】380

【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380

++=（元）【考点】统筹规划

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．

【答案】

【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从下图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．

【考点】函数图象获取信息

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，

28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．

求作：PQ，使得PQ l

∥．

作法：如图，

①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长

线于点B；

②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画

弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：∵AB =_______，CB =_______，

∴PQ l ∥（____________）（填推理的依据）．

【解析】（1）尺规作图如下图所示：

（2）PA ，CQ ，三角形中位线平行于三角形的第三边．

【考点】尺规作图，三角形中位线定理

18

．计算：04sin 45(π2)|1|?+--．

【解析】

解：原式4112=+-=． 【考点】实数的运算

19．解不等式组：3(1)1

922

x x x x +>-??

?+>??．

【解析】解：由①得，2x >-，

由②得，3x <，

∴不等式的解集为23x -<<．

【考点】一元一次不等式组的解法

20．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=．

（1）当2b a =+时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的

根．

【解析】（1）解：由题意：0a ≠．

∵()2

2242440b a a a a ?=-=+-=+>，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：

解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．

【考点】一元二次方程

21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平

分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若AB =，2BD =，求OE 的长．

【解析】（1）证明：∵AB CD ∥

∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥

∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD Y 是菱形

（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．

∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，1

2

OB OD BD ==， ∴1

12

OB BD =

=． 在Rt AOB △中，90AOB ∠=?．