考点13 解斜三角形及应用举例
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考点13 解斜三角形及应用举例
1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A
）3-
（B
）3 （C
（D
）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.
【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.
【规范解答】选C.由正弦定理知
sin sin a b A B = 知sin sin b A
B a
=
10215
=
=
32
<
，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.
2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111
,,13115
， 则此人能（ ）
（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形
【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则
S a =?13
121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，
由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作
出一个钝角三角形.
【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若
余弦值为正，则三角形为锐角三角形．
3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）
（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形
（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．
【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得
110
23
1152)13()11()5(2cos 222222-
=??-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．
4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5
sin 13
B =
，3
cos 5
ADC ∠=
，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.
【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。在三角形ABD 中用正弦定理求AD.
【规范解答】由cos ∠ADC=
53>0知，B<2π.由已知得cosB=1312,sin ∠ADC=5
4 ， 从而 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin ∠ADCcosB-cos ∠ADCsinB=.65
33
135********=?-?
由正弦定理得 ,sin sin BAD BD B AD ∠=所以 AD=.2565
3313
533sin =?
=∠BAD
BD
5.（2010·重庆高考文科·Ｔ18）设△ABC 的内角A,B,C 的对边长分别为,,a b c ，
且2223334b c a +-
=.
（1）求sin A 的值.
（2）求
2sin()sin()
441cos2A B C A
ππ
+++-的值. 【命题立意】本小题考查解三角形的基础知识，考查余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换和求值，考查运算求解能力，考查方程的思想.
sin sin BAD BD B AD ∠=
【思路点拨】（1）先用余弦定理求出角A的余弦值，再求正弦值.（2）熟练应用有关的三角函数公式, 进行三角恒等变形.
【规范解答】（Ⅰ）由余弦定理得：
222
cos
2
b c a
A
bc
+-
=
，又因为222
333
b c a
+-=
，所以
222
3
b c a
+-=
，所以
3
cos
2
bc
A
bc
==
因为0Aπ
<<
，所以
1
sin
3
A===，即sin A的值是
1
3
.
（Ⅱ）
2sin()sin()
44
1cos2
A B C
A
ππ
+++
-
2sin()sin()
44
=
1cos2
A A
A
ππ
π
+-+
-
2
2sin()sin()
44
2sin
A A
A
ππ
+-
=
2
)
2222
2sin
A A A A
A
+
=
2
(sin cos)(sin cos)
2sin
A A A A
A
+-
=
22
2
sin cos
2sin
A A
A
-
=
22
2
17
()7
339
122
2()
39
--
===-
?
.
【方法技巧】将余弦定理公式中的部分式子看作一个整体，采用整体代入、化简的方法.
6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１6）设函数()2
2
cos2cos,
32
x
f x x x R
π
??
=++∈
?
??
.
（1）求()
f x的值域.
（2）记ABC
?的内角A，B，C的对边长分别为,,
a b c，若()
f B=1，
a的值.
【命题立意】本小题考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用及函数sin()
y A x b
ωφ
=++
?的性质，同时考查正、余弦定理及其应用及运算求解能力.
【思路点拨】把函数()
f x化为一个正弦（或余弦）函数求得值域，再根据()1
f B=求出角B；最后利用正弦定理或余弦定理求a的值.
【规范解答】（1）
22
()cos cos sin sin cos1
33
f x x x x
ππ
=-++
1cos cos 1
2x x x =-++
15cos 1sin()126
x x x π=+=++， 因为5
sin()[1,1]6
x π+∈-，所以()[0,2]f x ∈，因此()f x 的值域是[]0,2 .
（2）因为()1f B =，所以5sin()116B π+
+=，即5
sin()06
B π+=， 又因为0B π<<，所以5511666B πππ<+<，所以56B ππ+=，6
B π
=.
（方法一）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2
320a a -+=，解得1a =或2.
（方法二）由正弦定理sin sin b c B C =得sin 2
C =，所以3C π=或23π；
当3C π
=
时，2
A π
=
，所以2a ==；
当23C π=时，6
A π=，所以1a b ==；故a 的值是1或2.
【方法技巧】运算能力与公式应用、变形技巧是解答关键.
7.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ17） 已知ABC ?的内角A ，B 及其对边a
，b
满足
cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
【命题立意】本小题主要考查考生处理三角形边角关系问题的能力，能否通过恰当使用正弦定理、余弦定理以及三角形中的三内角间的关系将有关边角确定，是否掌握处理有关三角形边角关系的一般方法.本题突出考查三角恒等变形，两角和与差的正余弦公式及三角中的运算技巧. 【思路点拨】利用正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，将cot cot a b a A b B +=+变形为B A B A cos cos sin sin +=+，移项后利用两角和的正弦求解，注意到π<+
【规范解答】由B b A a b a cot cot +=+及正弦定理得
B A B A cos cos sin sin +=+, B B A A sin cos cos sin -=-,
从而4
cos sin 4sin
cos 4
sin
cos 4
cos
sin π
π
π
π
B B A A -=-, )4
sin()4sin(B A -=-
π
π
.
又π<+
故B A -=
-
4
4
π
π
,
2
π
=
+B A ,
所以2
π
=
C .
【方法技巧】巧妙利用正弦定理进行边化角并注意到π<+
-
4
4
π
π
.
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1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)解析 (2)
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案 班级 姓名 设计者 日期 课题：§1.2应用举例（第一课时 测量距离问题） 课时： 3课时 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 一、课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 二、讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
解斜三角形应用举例(第一课时) 教案
解斜三角形应用举例（一） ●教学目标 （一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. （三）德育目标 通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. ●教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法 启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. ●教具准备 投影仪、三角板、幻灯片 第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A） ［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）. ［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 第二张：例3、例4（记作§5.10.1 B） ［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.
考点13 解斜三角形及应用举例
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点13 解斜三角形及应用举例 1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A ）3- （B ）3 （C （D ）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质. 【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB. 【规范解答】选C.由正弦定理知 sin sin a b A B = 知sin sin b A B a = 10215 = = 32 < ，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键. 2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111 ,,13115 ， 则此人能（ ） （A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形 【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则 S a =?13 121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=， 由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作 出一个钝角三角形. 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若
解三角形应用举例练习高考试题练习
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.
解斜三角形及应用举例练习
一、选择题(每小题6分，共36分) 1．(陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 ( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 【解析】 由正弦定理得6sin 120°＝2 sin C ， ∴sin C ＝1 2 . 又∵C 为锐角，则C ＝30°， ∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D. 【答案】 D 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π 3，b ＝1，△ABC 的面 积 3 2 ，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C.3 2 D. 3 【解析】 由已知得：12bc sin A ＝12×1×c ×sin 60°＝3 2?c ＝2，则由余弦定理可得：a 2 ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3?a ＝ 3. 【答案】 D 3．某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为 ( ) A ．15米 B ．5米 C ．10米 D ．12米 【解析】 如图，设塔高为h ， 在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°， 则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中， ∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，
在△OCD 中， ∠OCD ＝120°，CD ＝10， 由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 【答案】 C 4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定 【解析】 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝ 6×222＝32 . ∵c ＞a ，∴C ＞A ＝45°， ∴C ＝60°或120°， ∴满足条件的三角形有2个， 即m ＝2.∴a m ＝4. 【答案】 A 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b ＝3， 则角C 的值为 ( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 【解析】 由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3，
高中数学-解三角形应用举例练习及答案
高中数学-解三角形应用举例练习 一、选择题 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小 二、 填空题
最新解三角形应用举例练习题
解三角形应用举例练习题 一、选择题 1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为() A.3B．2 3 C．23或 3 D．3 2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为() A．23km B．32km C.15km D.13km 3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是() A.14 B．214 C.15 D．215 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于() A．135°B．90° C．45°D．30° 6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里 C．10海里D．103海里 二、填空题 7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离
为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km. 8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________． 9. (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题
解三角形应用举例
东方中学教案 1．知识与技能： 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法： 通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观： 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。
修改简记教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角 为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ） 答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
解三角形应用举例
第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.
解斜三角形应用举例三 实习作业
解斜三角形应用举例三 实习作业 一、实际问题： （一）测量底部不能到达的某物体的高度 问题1：试设计一种方案，测量一山顶上的电视塔的顶部与地面的距离。 问题2：测量如图所示小河两岸,A B 两点之间的距离。 （二）测量都不能到达的两点之间的距离 问题3：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N 但不能到达，试设计一种方案，测量M ， N 之间的的距离。 （1）提示小题：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达。在河岸边选取相距 40米的,P Q 两点，并测得75MPN ∠= ，45NPQ ∠= ，30MQP ∠= ，45MQN ∠= ， 试求两个目标物,M N 之间的距离。 A B ? ? M N ? ? 地面 M P Q M N
（2）一般地：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达，在河岸边选取相距40 米的,P Q 两点，并测得,,,MPN NPQ MQP MQN βαγδ∠=∠=∠=∠=，试求两个目标物,M N 之间的距离。 （三）测量河宽 问题4：如图，在河的一岸边选定A 和B 两点，望对岸的标记物C 测得：45CAB ∠= ， 75CBA ∠= ，120AB =米，求河宽。 二、作业： 1．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440α'= ，在塔底C 处测得点A 的俯角501β'= ，已知铁塔BC 部分高27.3米，求山高CD （精确到1米）。 2．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250米，速度为180 千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为1830' ，经过960秒后又看到山顶的俯角为81 ，求 山顶的海拔高度。 A B C 45 75
解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计
解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．
最新510解斜三角形应用举例(一)汇总
510解斜三角形应用 举例(一)
课题：解斜三角形应用举例（一） 教学目标： 1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. 教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法. 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. 教学过程： 一、复习引入： 1．正弦定理：?Skip Record If...? 2．余弦定理：?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...? 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用. 二、讲解范例： 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
解三角形应用举例
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里． 答案：5 6 解析：由正弦定理， 知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°） ， 解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD＝∠BCD＝45°；
在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ， 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．
510解斜三角形应用举例(一)
课题： 解斜三角形应用举例（一） 教学目标： 1. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解 三 角形的方法； 2. 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3. 理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、 方 位角等； 4. 通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 . 实际问题向数学问题转化思路的确定 新授课 1课时 教 具：多媒体、实物 投影仪 教学方法：启发式 在教学中引导学生分析题意， 发学生在解三角形时正确选用正、 教学过程： 、复习引入: 2 2 C C C a +b -C -2abcosC ，二 cosC = ------------------- 2ab 教学重点: 实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 1.正弦定理: a sin A b sin B =2R si nC 2 .余弦定理：a 2 .2 =b 2 b 2 + c 2 - a 2 + c - 2bc cos A,二 cos A = --------------- 2bc b 2 =c 2 +a 2 2^2 .2 -2cacosB^ cosB=」^ 2ca 3.解三角形的知识在测量、 航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用, 教学难点： 授课类型： 课 分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启 余弦定理 . 2 *2 =a +b
B 如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形 问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数 学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用 算油泵顶杆BC 的长度.已知车箱的最大仰角为 60 °,油泵 / 顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1 . 95m, AB 与水平 J \ 线之间的夹角为 6° 20’，AC 长为1 . 40m,计算BC 的 畀&広.匸”真丁 ??? BO 1. 89 （m ） 答：油泵顶杆 B C 约长1 . 89 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角 形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学 因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来 . 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立 即测出该渔船在方位角为 45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方 位角为105。的方向，以9海里/h 的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即 以21海里/h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 ？并求出靠近 渔船所用的时间. 分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为 X h,则利用余弦定理建立方 程来解决较好，因为如图中的/ 1 , / 2可以求出，而 AC 已知，BC AB 均可用 X 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题 . 解：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 X h,贝U AB= 21 X 海里，BC= 9X 海 里，AC= 10 海里，/ ACB=/ 1 +/ 2 = 45。+ （180 ° — 105 ° ） = 120 ° , 根据余弦定理，可得 AB = A C + B C — 2AC- BC- cos120 °得 (21 X )2 = 102 +( 9 X ) 2 — 2 X 10X 9 X COS120 二、讲解范例： 例1自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计 长（保留三个有效数字）. 分析：求油泵顶杆 BC 的长度也就是在^ ABC 内，求边长BC 的问题, 据已知条件，AC = 1.40m,AB= 1 . 95 一°“， 相当于已知△ ABC 的两边和它们的夹角， 由余弦定理，得 B C = A B + A C 一 2AB ? ACCos A 2 2 =1. 95 + 1 . 40 — 2 X 1 . 95 X 1 . m, / BAC= 60°+ 6° 20’= 66 所以求解BC 可根据余弦定理. 而根 20’ . 40X COS66 ° 20‘= 3. 571
年高考第一轮复习数学.解斜三角形
解斜三角形 ●知识梳理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 A a sin = B b sin =C c sin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2= b 2+ c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cos A =bc a c b 22 22-+； cos B =ca b a c 22 22-+； cos C =ab c b a 22 22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把
三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”. ●点击双基 1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 2 22-+×a =c ，∴a =b . 答案：C 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =5 1 B.AB ·BC ＞0 +tan B +tan C ＞0 =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =5 1 得2sin A cos A =－ 25 24 ＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由 B b sin = C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3 π 2. 答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为2 3，那么b 等于 A. 2 3 1+ +3
解斜三角形应用
例1．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角． 分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角． 解：在△ABC中，， 根据正弦定理有 又在△BCD中， 根据正弦定理有 解得 ∴ 山对于地平面的斜度的倾斜角为． 小结：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题． 例2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h．同时岸上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4km/h，在水中游的速度为 2km/h．问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？ 分析：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题．只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．我们可以假设船速为v（未知），人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数．因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的 时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当时，人是不可能追上小船的．当 时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船．因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船．
1.2 解三角形应用举例练习题及答案解析
1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C. 3 D ．2 3 解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝sin 60°＝3 2 . 2．已知△ABC 的面积为3 2 ，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120° 解析：选D.∵S ＝12bc sin A ＝32，∴12×2×3sin A ＝3 2. ∴sin A ＝3 2 .∴A ＝60°或120°. 3．在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝2，cos A ＝25 5 ，则S △ABC ＝________. 解析：在△ABC 中，cos A ＝25 5 ， ∴sin A ＝5 5， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×5×2×55＝2 2. 答案：2 2 4．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中， cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝11 14 . 又0°＜C ＜180°，∴sin C ＝53 14 . 在△ABC 中，AC sin B ＝AB sin C ， ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝56 2. 一、选择题 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3 解析：选A.∵a 2＝b 2＋c 2 －bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即A ＝π 3 . 2．在△ABC ，下列关系一定成立的是( )
高中数学 解斜三角形及其应用错解分析解题思路大全
解斜三角形及其应用错解分析 解斜三角形及某应用问题难度大、综合性强、解题有一定的技巧，学生在解题时，经常因为审题不细、考虑不周、方法不当等原因而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考。 一、已知条件弱用 例1. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 222222 0<++->，∴。则 cos A b c a bc =+->222 20，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数 且cos90090°，∴°=>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。 ∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。 辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B = -π2。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。