八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版
八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word 版
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6．
【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】
分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】
如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ．
∵△APE 的面积等于6，∴S △APE =
12AP ?CE =1
2
AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4．
∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =
12EP ?AC =1
2
?EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．
2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．
【答案】15 【解析】 【分析】
作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度 【详解】 作EH AB ⊥ ∵AE 平分∠BAC
BAE CAE ∴∠=∠
EC EH ∴=
∵P 为CE 中点
4EC EH ==∴
∵D 为AC 中点，P 为CE 中点
=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设， 15x BEF S =-△∴
15+x+y BCD BDA S S ==△△∴
y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴ 15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴
1
=
302
BEA S AB EH ?=△∵ =15AB ∴
【点睛】
本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积
3．如图，△AEF 是直角三角形，∠AEF=900，B 为AE 上一点，BG⊥AE 于点B ，GF∥BE，且AD ＝BD ＝BF ，∠BFG＝60０，则∠AFG 的度数是___________。
【答案】20°
【解析】
根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF，因此可得∠AFG=20°.
故答案为：20°.
4．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为
_____．
【答案】30°
【解析】
【分析】
延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出
△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：
延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
ABD CBD BD BD
AED DFC
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，
∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中，
AD AD DE DG
=
?
?
=
?
，
∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中，
CD CD DG DF
=
?
?
=
?
，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），
∴CD为∠ACF的平分线，
∠ACB＝74°，
∴∠DCA＝53°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．
故答案为：30°
【点睛】
本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．
【答案】360 °
【解析】
如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
点睛：本题考查的知识点：
（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．
∠__________．6．如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角CBF=
【答案】72?
【解析】
【分析】
多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．
【详解】
360°÷5=72°．
故外角∠CBF等于72°．
故答案为：72?．
【点睛】
此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．二、八年级数学三角形选择题（难）
?三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则7．已知：如图，ABC
∠DCE=( )
A ．1
2
BAC ∠ B ．
1
2
CBA ∠ C ．
1
2
ACB ∠ D ．CDE ∠
【答案】A 【解析】 【分析】
根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出DCE ∠与BAC ∠的关系． 【详解】
由题意知，ECD BDC 90∠∠=-?
由三角形内角和定理得，BAC 180ABC ACB ∠∠∠=?-+
DBC DCB 180BDC ∠∠∠+=?-
∵点D 是ΔABC 三条内角平分线的交点 ∴ABC 2DBC ∠∠= ACB 2DCB ∠∠=
()BAC 180ABC ACB ∠∠∠=?-+
()1802DBC DCB ∠∠=?-+
()1802180BDC ∠=?-?- 2BDC 180∠=-?
1
BAC BDC 902
∠∠=-? ∴1
ECD BAC 2
∠∠= 故答案选A. 【点睛】
本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质．
8．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为
①111
345a b c ，，；==
=②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°；
④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =
⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c ===
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C 【解析】
根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：
2
2
2
1
11+3
4
5
≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；
当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；
根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；
根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；
由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；
令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；
由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.
故选：C.
点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【详解】
∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选：B
【点睛】
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
10．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）
180°=720°．解得n=6.故选C. 【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
11．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（ ）
A ．75°
B ．135°
C ．120°
D ．105°
【答案】D 【解析】 如图，
根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°. 故选
12．小明把一副直角三角板如图摆放，其中90,45,30C F A D ∠=∠=?∠=?∠=?，则
a β∠+∠等于( )
A ．180?
B ．210?
C ．360?
D ．270?
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可. 【详解】
如图所示，利用三角形外角性质可知： ∠α=∠1+∠D ，∠β=∠4+∠F ， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F ， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F =90°+30°+90° =210°， 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，ABC ?中，90ACB ∠=?，//AC BD ，BC BD =，在AB 上截取BE ，使
BE BD =，过点B 作AB 的垂线，交CD 于点F ，连接DE ，交BC 于点H ，交BF 于点G ，7,4BC BG ==，则AB =____________.
【答案】
658
【解析】 【分析】
过点D 作DM ⊥BD ，与BF 延长线交于点M ，先证明△BHE ≌△BGD 得到∠EHB=∠DGB ，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD ，即MD=MG ，在△△BDM 中利用勾股定理算出MG 的长度，得到BM ，再证明△ABC ≌△MBD ，从而得出BM=AB 即可. 【详解】
解：∵AC ∥BD ，∠ACB=90°， ∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°， 又∵BF ⊥AB ， ∴∠ABF=90°，
即∠8+
∠2=90°， ∵BE=BD ， ∴∠8=∠1， 在△BHE 和△BGD 中，
8143BE BD ∠=∠∠=∠??
=???
， ∴△BHE ≌△BGD （ASA ）， ∴∠EHB=∠DGB ∴∠5=∠6，∠6=∠7， ∵MD ⊥BD ∴∠BDM=90°， ∴BC ∥MD ， ∴∠5=∠MDG ， ∴∠7=∠MDG ∴MG=MD ， ∵BC=7，BG=4， 设MG=x ，在△BDM 中， BD 2+MD 2=BM 2， 即()2
227=4x x ++， 解得x=
338
， 在△ABC 和△MBD 中
=8=1BC B ACB MDB D
∠∠∠∠??
=???
, ∴△ABC ≌△MBD （ASA ） AB=BM=BG+MG=4+338=658
. 故答案为：
658
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.
14．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于
Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.
【答案】7
【解析】
试题解析：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB CA
BAE ACD
AE CD
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为7.
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC ＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD．
∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，
∴CD＝20×
2
5
＝8（cm）．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠C＜90°，若∠B满足条件：______________，则△ABC≌△DEF．
【答案】∠B≥∠A．
【解析】
【分析】
虽然题目中∠B为锐角,但是需要对∠B进行分类探究会理解更深入：可按“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B、∠E都是锐角时两三角形全等的条件．
【详解】
解：需分三种情况讨论：
第一种情况：当∠B是直角时：
如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC与△DEF一定全等，依据的判定方法是HL；
第二种情况：当∠B是钝角时：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H．
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角．
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH．
在△CBG和△FEH中，
CBG FEH
G H
BC EF
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC DF CG FH
??
?＝，＝
∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）， ∴∠A=∠D ，
在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E
AC DF ∠∠??
∠∠???
＝＝，＝
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）； 第三种情况：当∠B 是锐角时：
在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等， 所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； 由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ， ∴∠A ＞∠B ，
∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了， 则△ABC ≌△DEF ． 故答案为：∠B≥∠A ．
【点
睛】
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
17．如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠C=90 o ，AC=BC=4，点D 是AB 的中点，E ， F 在射线AC 与射线CB 上运动，且满足AE=CF ，∠EDF=90°；当点E 运动到与点C 的距离为1时，则△DEF 的面积为___________.
【答案】52或132
【解析】
解：①E 在线段AC 上．在△ADE 和△CDF 中，
∵AD =CD ，∠A =∠DCF ，AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴同理△CDE ≌△BDF ，∴四边形CEDF 面积是△ABC 面积的一半．∵CE =1，∴CF =4﹣1=3，∴△CEF 的面积=
12CE ?CF =32，∴△DEF 的面积=12×22×22﹣32=52
． ②E '在AC 延长线
上．∵AE '=CF '，AC =BC =4，∠ACB =90°，∴CE '=BF '，∠ACD =∠CBD =45°，CD =AD =BD =22，∴∠DCE '=∠DBF '=135°．在△CDE '和△BDF '中，
∵CD =BD ，∠DCE ′=DBF ′，CE ′=BF ′，∴△CDE '≌△BDF '（SAS ），∴DE '=DF '，∠CDE '=∠BDF '．∵∠CDE '+∠BDE '=90°，∴∠BDE '+∠BDF '=90°，即
∠E 'DF '=90°．∵DE '2=CE '2+CD 2﹣2CD ?CE 'cos135°=1+8+2×22×
2
=13，∴S △E 'DF '=12DE '2=
132．故答案为132或5
2
．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE ≌△CDF 和△CDE ≌△BCF 是解题的关键．
18．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为___________．
【答案】a+b 【解析】
先根据全等三角形的判定AAS 判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF ，从而得出△AEF 的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b ． 故答案为：a+b
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图
（2），已知AB AC
=，D，E为BAC
∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC
=，D，E，F为BAC
∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB AC
BAD CAD
AD AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；
同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；
∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有
几对三角形全等，然后寻找规律．
20．下列命题中的假命题是（）
A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等
B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等
C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等
D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.
【详解】
解：A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，
故答案为D．
【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.
21．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出
△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD；B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB；D．∠CAB=∠DAB
【答案】B
【解析】
根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：
A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注
意SSA 是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
22．如图，在?ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接
EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；
③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②④
【答案】D 【解析】
①∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ，
∵在?ABCD 中，AD=2AB ， ∴AF=FD=CD ， ∴∠DFC=∠DCF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFC=∠FCB ， ∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确； 延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠A=∠MDF ， ∵F 为AD 中点， ∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
∠A ＝∠FDMAF ＝DF ∠AFE ＝∠DFM ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， ∴FE=MF ，∠AEF=∠M ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF ，
∴FC=FM ，故②正确； ③∵EF=FM ， ∴S △EFC=S △CFM ， ∵MC ＞BE ， ∴S △BEC ＜2S △EFC 故S △BEC=2S △CEF 错误； ④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ， ∴∠DCF=∠DFC=90°-x ， ∴∠EFC=180°-2x ，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ， ∵∠AEF=90°-x ，
∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确． 故正确的有：①②④． 故选D.
23．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：
①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D 【解析】
分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根
据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠
BCE ，判断③正确． 详解：∵60BAC ∠=?，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?， ∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线， ∴12EBC ABC ∠=
∠，1
2
ECB ACB ∠=∠， ∴11
()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=??=?， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=?-∠+∠=?-?=?，
故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线， ∴AD 为BAC ∠的平分线， ∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=?-??-?=?， 又∵120BDC ∠=?，
∴120BDF CDF ∠+∠=?，120CDG CDF ∠+∠=?． ∴BDF CDG ∠=∠， ∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=???
=??∠=∠?
， ∴BDF ≌()CDG ASA ， ∴DB CD =， ∴1
(180120)302
DBC ∠=
?-?=?， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=?+∠， ∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠， ∴ABE CBE ∠=∠，1
302
BAE BAC ∠=
∠=?，
根据三角形的外角性质，
30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+?， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =，故②正确． ∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上， ∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确， 综上所述，正确结论有①②③， 故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
24．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D B ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D C ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F D ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D
【答案】D 【解析】
根据三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，逐一判断： A 、AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ，不符合“SAS ”定理，不能判断全等； B 、AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D ， 不符合“ASA”定理，不能判断全等； C 、∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ，“AAA ”不能判定全等； 不符合“SAS ”定理，不对应，不能判断全等； D 、AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D ，可利用“SAS ”判断全等； 故选：D ．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：
BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有
__________（填序号）．