重庆市南开中学数学有理数中考真题汇编[解析版]

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，

数轴上表示?2和?5的两点之间的距离是________，

数轴上表示1和?3的两点之间的距离是________；

（2）数轴上表示x和?1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；

（3）当代数式|x+1|+|x?2|取最小值时，相应x的取值范围是________.

【答案】（1）3；3；4

（2）1；-3

（3）?1?x?2

【解析】【解答】解：(1)、|2?5|=|?3|=3；

|?2?(?5)|=|?2+5|=3；

|1?(?3)|=|4|=4；

( 2 )、|x?(?1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=?2，

所以x=1或x=?3；

( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x?2|取最小值，那么表示x的点在?1和2之间的线段上，

所以?1?x?2.

【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；

（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；

（3）|x+1|+|x?2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x?2|有最小值，从而得出x的取值范围.

2．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.

（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；

（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；

（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.

【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.

（2）；5；9

（3）；或1

【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .

故答案为9.

（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，

得点表示的数是 .

到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.

故答案为，或1.

【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

3．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．

（1）AC=________cm，BC=________cm；

（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；

（3）当t为何值时，AP=PQ？

【答案】（1）9；3

（2）3；

（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：

①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；

②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，

可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；

③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，

可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．

故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．

【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC

∴AC= AB=9，BC=12-9=3．

故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，

由题意，点P与点Q第一次重合于点B，

则有4t-t=9，解得t=3；

当点P与点Q第二次重合时有：

4t+t=12+3+24，解得t= ．

故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．

故答案为：3；．

【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．

4．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：

（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；

（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？

（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所

需时间为：（秒），

当0≤t≤5时，S＝10﹣2t，

当P从O运动到B时,所需时间为：（秒）

∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒

当5＜t≤15时，S＝t﹣5，

即动点P在运动过程中距O点的距离S＝；

（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a,

10+（a-5）+a=28

解得，a＝，

则点M所对应的数是：18﹣＝，

即点M所对应的数是；

（3）解：存在，t＝2或t＝，

理由：当0≤t≤5时，

10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝2

当5＜t≤8时，

（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝，

当8＜t≤15时，

（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1

该方程无解，

故存在，t＝2或t＝ .

【解析】【分析】（1）分点P在AO上和点P在OB上两种情况，先求出点P在每段时t 的取值范围，再根据题意分别列出代数式可得答案；（2）根据相遇时P，Q运动的时间相等，P，Q运动的距离和等于28可得方程，根据解方程，可得答案；（3）分0≤t≤5，5＜t≤8，8＜t≤15三种情况，根据PO=BQ，可得方程，分别解出方程，可得答案.

5．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：

（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；

（2）若|x-2|=4，求x的值；

（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.

【答案】（1）解：|4-（-2）|=6

（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6

（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；

当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5

【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.

6．观察下列等式：

第1个等式：a1＝，

第2个等式：a2＝，

第3个等式：a3＝，

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________(n为正整数)；

（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值.

【答案】（1）；

（2）；

（3）解：a1+a2+a3+…+a2019＝+…+

＝

【解析】【解答】第1个等式：a1＝，

第2个等式：a2＝，

第3个等式：a3＝，

∴第4个等式：a4＝，

第5个等式：a5＝，

故答案为： (2)第n个等式：

a n＝

故答案为：；

【分析】（1）根据规律，得出第5个等式：a5＝；（2）根据规

律，得出第5个等式：a n＝；（3）将提出后，括号里进行加减，即可求出结果．

7．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；线段AB的中点M表示的数为

．

[问题情境]

已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

[综合运用]

（1）运动开始前，A、B两点的距离为________；线段AB的中点M所表示的数________．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表

示的数为________；（用含t的代数式表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）

【答案】（1）18；-1

（2）﹣10+3t；8﹣2t

（3）解：设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得﹣10+3x=8﹣2x，

解得x= ，

﹣10+3x= ．

答：A、B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；

（4）解：由题意得， =0，

解得t=2，

答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒

个单位长度．

故答案为18，﹣1；﹣10+3t，8﹣2t．

【解析】【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；线段AB

的中点M所表示的数为 =﹣1；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；

【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线

段AB的中点M表示的数为即可求解；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，等量关系为：点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．

8．已知A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a、b、c

（1）填空：abc________0，a＋b________ac，ab－ac________0；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若|a|＝2，且点B到点A、C的距离相等

① 当b2＝16时，求c的值

② 求b、c之间的数量关系

③ P是数轴上B，C两点之间的一个动点设点P表示的数为x.当P点在运动过程中，bx＋cx＋|x－c|－10|x＋a|的值保持不变，求b的值

【答案】（1）<；>；>

（2）解：① 且 , ,

且 , .

∵点B到点A，C的距离相等,∴

∴ ,∴

②∵ , ∴ ,

③依题意，得

∴原式=

∵

∴原式= 【此处不取-2没关系】

∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关

∴ ,∴

【解析】【解答】解：（1）由题中的数轴可知，a＜0＜b＜c，且

∴abc＜0，a+b＞ac，ab-ac＞0，

故答案为：＜，＞，＞；

【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点得出a＜0＜b＜c，且，从而根据有理数的乘法法则，加法法则、减法法则及有理数大小的比较方法即可一一判断得出答案；

（2）①根据数轴上点的位置及绝对值的意义、有理数的乘方确定a、b的取值，进而根据点B到点A，C的距离相等,即即可求解；

②根据数轴上两个点之间的距离及点B到点A，C的距离相等,即，即可得结论；

③根据绝对值的意义把算式化简，再根据当P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关列出方程，求解即可.

9．把具有某种规律的一列数：1,－2,3,－4,5,－6，...，排列成下面的阵形：

........

探索下列事件：

（1）第10行的第1个数是什么数？

（2）数字2019前面是负号还是正号?在第几行?第几列?

【答案】（1）解：∵第1行第1个数1=（-1）2×（02+1）；

第2行第1个数-2=（-1）3×（12+1）；

第3行第1个数5=（-1）4×（22+1）；

第4行第1个数-10=（-1）5×（32+1）；

…

∴第10行第1个数为（-1）11×（92+1）=-82，

（2）解：由以上数列可知，绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负，

∴2019前面是正号；

∵第45行第1个数为（-1）46×（442+1）=1937，

第46行第1个数为（-1）47×（452+1）=-2026，

且2019-1937+1=83，

∴2019在第45行，第83列

【解析】【分析】（1）由每行的第一个数可知，第n行第一个数为（-1）n+1×[（n-1）2+1]，据此可得；（2）根据题意知绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负；求出第45行第1个数为1937，第46行第1个数为-2026知2021在第45行，再由每行中每个数的绝对值依次加1可得列数．

10．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。动线段CD=4（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒。

（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；

②用含有t的代数式表示点D表示的数。

（2）当AC=2BD时，求t的值。

（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。

【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边

∴点D表示的数为-6+4=-2；

②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。∴点C表示的数为-8+2t，

∵CD=4

∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t;

（2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t，

∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8

∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2|

∴t=-6+2t或t=6-2t

解之：t=6或2；

（3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2)

AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14

②当线段CD在点B的右侧时(图3)

ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14

【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。

（2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

（3）分情况讨论：当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) ；当线段CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的值。

11．阅读材料：

如图①，若点B把线段分成两条长度相等的线段AB和BC，则点B叫做线段AC的中点．

回答问题：

（1）如图②，在数轴上，点A所表示的数是﹣2，点B所表示的数是0，点C所表示的数是3．

①若A是线段DB的中点，则点D表示的数是________；

②若E是线段AC的中点，求点E表示的数________．

（2）在数轴上，若点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点．①若点P表示的数是1，则m、n可能的值是________（填写符合要求的序号）；

（i）m＝0，n＝2；（ii）m＝﹣5，n＝7；（iii）m＝0.5，n＝1.5；（iv）m＝﹣1，n＝2

②直接用含m、n的代数式表示点P表示的数________．

【答案】（1）﹣4；；

（2）（i）（ii）（iii）； .

【解析】【解答】解：（1）①点A所表示的数是﹣2，点B所表示的数是0，A是线段DB 的中点，

∴点D表示的数是﹣4，

故答案为﹣4；

②点A所表示的数是﹣2，点C所表示的数是3，E是线段AC的中点，

∴点E表示的数为．（2）①点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点，点P表示的数是1，

∴1＝，即m+n＝2，

∴m、n可能的值是：（i）m＝0，n＝2；（ii）m＝﹣5，n＝7；（iii）m＝0.5，n＝1.5．故答案为（i）（ii）（iii）；

②点P表示的数为．

【分析】（1）①依据点A所表示的数是-2，点B所表示的数是0，A是线段DB的中点，即可得到点D表示的数；②依据点A所表示的数是-2，点C所表示的数是3，E是线段AC 的中点，即可得到点E表示的数；（2）①依据点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点，点P表示的数是1，即可得到m、n可能的值；②依据中点公式即可得到结果．

12．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.

（1）当a＝﹣2，b＝6时，求a-b=________,线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）

（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.

①当a＝﹣4，b＝8,点M在A，B之间，且AM＝3BM时，求m的值.

②当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值.

【答案】（1）-8；2

（2）解：①∵AM＝3BM

②∵AM＝2BM

整理得

【解析】【解答】（1）

，所以线段AB的中点对应的数是2

故答案为-8,2

【分析】（1）直接利用有理数的减法即可求出的值；即为中点对应的

数；（2）①根据AM＝3BM，可得出 ,利用a,b两点可求出AB之间的距离，进而可求AM的长度，则m的值可求.②可根据AM＝2BM之间的关系式，找到a,b之间的一个等式，然后整体代入a+2b+20中即可求值.