高考立体几何大题经典例题.

N

M

P

C

B

A

<一 >常用结论

1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直

线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 .

2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平

行; (3转化为面面平行 .

3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行;

(3转化为线面垂直 .

4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转

化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 .

3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。

5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 .

求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21

AC ⊥面 11AB D .

9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是

AB 上的点, 3AN NB =

A

D 1

C

B

D

C

D D

B

A C 1

B A 1

C

例 4、如图,在 Rt AOB △中, π6

OAB ∠=,斜边 4AB =. Rt AOC △可以通过 Rt AOB △以直

线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B AO C --的直二面角. D 是 AB 的中点. (错误!未找到引用源。求证:平面 COD ⊥平面 AOB ;

(错误!未找到引用源。求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

例 5. 四棱锥 S ABCD -中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ⊥底面 ABCD .已知 45ABC = ∠ , 2AB =

, BC =

SA SB =

(Ⅰ证明 SA BC ⊥;

(Ⅱ求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.

例 1如图,正三棱柱 111ABC A B C -的所有棱长都为 2, D 为 1CC 中点. (Ⅰ求证:1AB ⊥平面 1A BD ; (Ⅱ求二面角 1A A D B --的大小; (Ⅲ求点 C 到平面 1A BD 的距离.

例 2已知三棱锥 ABC S -,底面是边长为 24的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面 . D E 、分别为 AB BC 、的中点,求 CD 与 SE 间的距离 .

例 3. 如图,在棱长为 2的正方体 1AC 中, G 是 1AA 的中点,求 BD 到平面 11D GB 的距离

证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 1AA 的中点, O 为 AC 的中点

B D

1

A 1

C

1

B

B

D

C

A

A

1

A 1

D 1

∴ EO 为三角形 1A AC 的中位线∴ 1//EO AC 又 EO 在平面 BDE 内, 1AC 在平面 BDE 外∴ 1//AC 平面 BDE

证明:(1连结 11A C ,设

11111

AC B D O ?=,连结 1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴ A 1C 1∥ AC 且 11AC AC = 又 1, O O 分别是 11, AC AC 的中点,∴ O 1C 1∥AO 且 11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111, C O AO AO ∴?

∥面 11AB D , 1C O ?面 11AB D ∴ C 1O ∥面 11AB D

(2 1CC ⊥面 1111A B C D 11! C C B D ∴⊥又

1111

AC B D ⊥∵ , 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D ⊥即

同理可证

1

1AC AD ⊥, 又

1111

D B AD D ?=

∴1

AC ⊥面 11AB D

(1求证:MN AB ⊥; (2当 90APB ∠=

, 24AB BC ==时,求 MN 的长。证明:(1取 PA 的中点 Q ,连结 , MQ NQ ,∵ M 是PB 的中点,

∴ //MQ BC ,∵ CB ⊥平面 PAB ,∴ MQ ⊥平面 PAB ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ , PA PB =∴

PD AB ⊥,又 3AN NB =,∴ BN ND = ∴ //QN PD ,∴ QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥

(2∵ 90APB ∠=

, , PA PB =∴ 122

PD AB ==,∴ 1QN =,∵ MQ ⊥平面 PAB .

∴ MQ NQ ⊥,且 1

12

MQ BC ==

,∴ MN =

(错误!未找到引用源。由题意, CO AO ⊥, BO AO ⊥,

BOC ∴∠是二面角 B AO C --是直二面角, CO BO ∴⊥,又 AO BO O = , CO

∴⊥平面 AOB ,

又 CO ?平面 COD .

∴平面 COD ⊥平面 AOB .

(错误!未找到引用源。作 DE OB ⊥,垂足为 E ,连结 CE (如图 ,则, DE AO ∥CDE ∴∠是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

在 Rt COE △中, 2CO BO ==, 112

OE BO ==,

CE ∴=

又 12

DE AO =

∴在 Rt CDE △

中, tan CE CDE DE

===.

∴异面直线 AO 与 CD

所成角的大小为

(Ⅰ作 SO BC ⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , 得 SO ⊥底面 ABCD .

因为 SA SB =,所以 AO BO =,

又 45ABC = ∠ ,故 AOB △为等腰直角三角形, AO BO ⊥ , 由三垂线定理,得SA BC ⊥ .

(Ⅱ由(Ⅰ知 SA BC ⊥ ,依题设 AD BC ∥ , 故 SA AD ⊥

,由 AD BC ==

SA =

AO =

,得

1SO =

, SD =. SAB △

的面积 112

S AB =

连结 DB ,得 DAB △的面积 21

sin13522

S AB AD =

= 设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 D SAB S ABD V V --=,得1211

33

h S SO S =

,解得 h = 设 SD 与平面 SAB 所成角为α

,则sin h SD α=.

所以,直线 SD 与平面 SBC

所成的我为

(Ⅰ取 BC 中点 O ,连结 AO .

ABC △为正三角形, AO BC ∴⊥ .

正三棱柱 111ABC A B C -中,平面 ABC ⊥平面 11BCC B ,

B

1

A 1

C

1

B

AO ∴⊥平面 11BCC B .

连结 1B O ,在正方形 11BB C C 中, O D , 分别为

1BC CC , 的中点, 1B O BD ∴⊥ , 1AB BD ∴⊥ .

在正方形 11ABB A 中, 11AB A B ⊥ , 1AB ∴⊥平面 1A BD .

(Ⅱ设 1AB 与 1A B 交于点 G , 在平面 1A BD 中, 作 1GF A D ⊥于 F , 连结AF , 由 (Ⅰ得 1AB ⊥平面 1A BD .

1AF A D ∴⊥ , AFG ∴∠为二面角 1A A D B --的平面角.

在 1AA D △

中,由等面积法可求得 AF =

又 112

AG AB =

sin AG AFG AF

∴==

∠ . 所以二面角 1A A D B --

的大小为

(Ⅲ 1A BD △

中, 1

11A BD BD A D A B S ===∴=△ 1BCD S =△ .

在正三棱柱中, 1A 到平面 11BCC B

设点 C 到平面 1A BD 的距离为 d .

由 1

1

A BCD C A BD V V --=

,得 1

1133

BCD A BD S S d △△ ,

1A BD d ∴=

△

∴点 C 到平面 1A BD

如图所示,取 BD 的中点 F ,连结 EF , SF , CF ,

EF ∴为BCD ?的中位线, EF ∴∥ CD CD ∴, ∥面 SEF ,

CD ∴到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .

又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h ,由题意知, 24=BC , D 、 E 、 F 分别是

AB、BC、BD 的中点， CD 2 6 , EF VS CEF 1 CD 6 , DF

在 Rt

2 , SC 2 2 1 1 1 1 2

3 EF DF SC 6 2 2 3 2 3 2 3

SCE 中， SE 在 Rt SCF 中， SF 又 EF SC 2 CE 2 2 3 SC 2

，解得 h S SEF

CF 2 4 24 2 30 6, S SEF 3 1 2 3 2 3 1

h ，即 3 h 3 3 3 3 2 3 . 3 由于 VC SEF VS CEF 故 CD 与 SE 间的

距离为思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解

答过程：解析一 BD ∥平面 GB1 D1 ， BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距

离皆为所求，以下求点 O 平面 GB1 D1 的距离, B1 D1 A1C1 ， B1 D1 A1

A ， B1 D1 平面 A1 ACC1 , 又 B1 D1 平面 GB1 D1 平面 A1 ACC1

GB1 D1 ，两个平面的交线是 O1G , 作 OH O1G 于 H，则有 OH 平面 GB1

D1 ，即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在 O1OG 中， S O1OG 又 S

O1OG 1 1 O1O AO 2 2 2 . 2 2 1 1 2 6 . OH O1G 3 OH 2 , OH 2 2 3 2 6 . 3 即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

解析二 BD ∥平面 GB1 D1 ， BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆

为所求，以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离. 设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h，将

它视为三棱锥 B GB1 D1 的高，则 VB GB1D1 VD1 GBB1 ,由于S

GB1D1 1 2 2 3 6， 2 4 2 6 1 1 4 , VD1 GBB1 2 2 2 , h 3 3 2 3 6 即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 2 6 . 3