2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试
一、选择题（每题4分，40分）
1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ）
A ．()h x 的最大值是M+N
B ．()h x 的最小值是m ＋n
C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+
D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集
2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．不确定的
4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ）
A ．S ≠?T
B ．T ≠
?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）
A ．9
B ．6
C ．18
D ．16
6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ）
A ．方程没有整数根
B ．方程有两个相等的整数根
C ．方程有两个不相等的整数根
D ．不能判定方程整数根的情况
7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22
x y x x =-的值域是（ ） A
．( B
．( C
． D
． 8、已知e
tan ）
A
．<< B
．sin << C
．sin < D ．
<<9、()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
A ．()f x 的图像关于x ＝2对称
B ．()f x 的图像关于点(4,0)-对称
C ．()f x 的周期为4
D ．()f x 的周期为8
10、某航空公司经营A,B,C,D 四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下： A,B 区间：2000元；A,C 区间：1600元；A,D 区间：2500元；B,C 之间：1200元；C,D 区间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D 区间机票价格为（ ）
A ．1200元
B ．1500元
C ．1600元
D ．2000元
二、填空题（每题4分，共40分）
11、如图1，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B —C —D —A 的
顺序运动，得到以点P 运动的路程x 为
自变量，△ABP 的面积y 为函数的图像，
如图2，则梯形ABCD 的面积为 。
12、锐角△ABC 的三个内角的度数成等
比数列，且B ＝2A ，则其中最小角的值等于 。
13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n 项和最小时，n ＝ 。
14、已知等比数列｛a n ｝中，a 3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为 。
15、已知3432
()23,(())4474f x x x f g x x x x x =--=+--，则()g x 的各项系数（包括常数项）的和等于 。 16、设O 为△ABC 内一点,则OA BC OB CA OC AB ?+?+? = 。
17、The number 2009 has the following properties:
①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has a remainder of 2。The 3－digit number with the above properties is 。
18
4=，则23x y +的取值范围是 。
19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive mumber of apples 。How many children are there at the most ？Answer ：
20、设集合A ＝｛1，2，3，…，n ｝，则集合A 的所有非空子集中元素和的和等于 。
三、解答题 每题都要写出推算过程
21、本题10分
图1
已知关于x 的不等式250ax x a
-<-的解集为M ，若2及－1有且恰有一个不在M 中，求实数a 的取值范围。
22、本题满分15分
向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1
（1）当|a ＋tb|取得最小值时，求t 的值；
（2）当|a ＋tb|取得最小值时，证明：b ⊥（a ＋tb ）
23、本题满分15分
数列｛a n ｝是各项均为正数的等差数列，前n 项的和为S n 。数列｛b n ｝是等比数列，且满足
111b a ==，33b S ＝144，{}n a b 的公比＝16，求数列｛a n ｝
，｛b n ｝的通项公式。
参考答案
DBCAD ACCCB
11、104
12
13、8或9
14、2，－2，2，－2，2
15、0或2
16、0
17、497
18、[9,17]
19、62
20、2(1)2n n n -+?
21、当2,1M M ∈-?时，有250450a 11a a a a
-?
5][1,)(4,)2
∞+∞ （－，－ 当2,1M M ?-∈时，有250a 4501a a a a
-?≥??-?--?
5
5][1,)(4,)2∞+∞ （－，－ 22、（1）22||1a tb t t +=++ ，∴当t ＝12-时，||a tb + 最小 （2）当||a tb + 最小时，t ＝12
-， b ·（a －12b ）＝ab －12b 2＝1212-＝0，∴b ⊥（a ＋tb ） 23、a n ＝2n －1，1n 1*4
4n n n b N -=∈－或（－），