初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
一?知识要点
1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。
2. 基本公式
完全平方公式:(a 士b)2=a2士2ab+b2
平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2
立方和(差)公式:(a 士b)(a2」ab+b2)=a3士b3
3?公式的推广
(1)多项式平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
(2)二项式定理:(a 士b)3=a3± 3a2b+3ab2士b3
(a士b)4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4
(a 士b)5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
4 ?公式的变形及其逆运算
由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)
5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4
(a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1)=a2n—b2n (a+b)(a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地:
(a—b)(a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1)=a n—b n
由公式的推广③可知:当n为正整数时
a n—
b n能被a—b整除,
a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除,
a2n—b2n能被a+b及a—b整除。
二?例题精选
例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。
4 x + y
例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。
例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整
甲商场:?第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;
2 + b
乙商场:两次提价的百分率都是
(a>0,?b>0);
2 丙商场:第一次提价的百分率为 b,第二次提价的百分率为
a,? 则哪个商场提价最多
?说明理由.
例4 ?计算:
(1) 6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 ;
(2) 1.345 X 0.345 X 2.69 -1.345 3- 1.345 X 0.345 2. 例 5 .已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002, 则多项式 a 2+b 2+c 2-ab-bc-c a 的值为()
A.0B.1 C.2D.3
7
2 8 例6 ?已知P m-1,Q =m m ( m 为任意实数),则 P 、Q 的大小关系为() 15 15
A. P Q
B. P 二 Q
C. P :: Q
D.不能确定
1
例7 .若x 2- 13x+仁0,则x 4+
-的个位数字是() x
A.1
B.3
C.5
D.7 例8 ?有10位乒乓球选手进行单循环赛
(每两人间均赛一场),用X 1,y 1?顺次表示第一号选手胜与负的场数 X 2,y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数
,……;用X 10,y 10?顺次表示十号选手胜与负的场数 .求证:X 12+X 22+
+x 102=y 12+y 22+ ....... +y 102 。
三?同步练习 1
1 1 1 1 .乘积(1- 2 )(1- 2 ) (1)
2 )(1- 2 )等于() 22 32 19992 20002 1999 2001 1999 2001 A. B. C.
D.- 2000 2000 4000 4000 2 .已知a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20,y=4(2b - a),则x 、y 的大小关系是()
A.x < y
B.x > y
C.x D.x>y 3. 已知 a -b =1,贝 U a 2 - b 2 - 2b 的值为() A . 4 B . 3 C . 1 D . 0 4 .已知 x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,贝U x+y+z= _______ 。 5 .计算:(1) 1.23452+0.76552+2.469 X 0.7655= ________ ; (2)1949 2- 19502+19512- 1952 2+ ……+19972- 19982+19992= _________ 1 a 4+a 2+1 6 .已矢知 a+ — =5,贝U = --2 ------ = ______。 a a 7 .已知两个连续奇数的平方差为 ?2000,?则这两个连续奇数可以是 9.若代数式x 2 -6x b 可化为(x-a)2 -1,则b -a 的值是. 8. 已知 a 2+b 2+4a-2b+5=0,则 a b a -b 10 .已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明:(1)b与c两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案: —.例题精选 一 1 1 1 例1 .提示:由已知得(x-1) 2+(y- ) 2=0,得x=1,y= ,原式=一 2 2 3 (x-1) 2+(y-1) 2< 1,且 x 、y 为整数, (x-1) 2> 0,(y-1) 2> 0,? —0或x —仁一1或_仁0 y —1=0 ]y —1=0 ]y —1 = 1 x=1 x=2 x=1 x = 1 解得 或 或 或 ,x+y=1或2或3 l y i l y i l y =2 \y =0 例3 ?甲、乙、丙三个商场两次提价后 ,价格分别为 (1+a)(1+b)=1+a+b+ab; a + b a +b a + b (1+ ) ? (1+ )=1+(a+b)+( )2; 2 2 2 (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; a + b a + b 因( )2-ab>0,所以( )2>ab, 2 2 故乙商场两次提价后,价格最高. 3 v 0,故P v Q .【答案】C 4 提示:由题意矢知 :X i +y i =9(i=1,2,…,10)且 X 1+X 2+ …+X 1o =y 1+y 2+ …+y 10 因(X 『+X 22+ …+x 102)- (y 12+y 22…+y 102)=(x 12- y 12)+(x 22- y 22)+ …+(X 102- y 102) =(x 1+y 1)(x 1_y 1)+(x 2+y 2)(x 2- y 2)+ …+(x 10+y 10)(x 10- y 10) =9[(x 1+X 2+ …+X 10)- (y 1+y 1+ …+y 10)]=0 二?同步练习 9. (x -a)2 -1 =x 2 -2ax a 2 -1,这个代数式于 x 2 -6x b 相等,因此对应的系数相等,即- 2a =- 6, 解得a = 3, a 2 -1=b ,将a = 3代入得b = 8,因此b - a = 5. 10.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又 c+b 与 c-b 同奇同偶,c+b>c-b, 故a?不可能为偶质数 2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶 例 4 . (1)原式=(7-1 )(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(78+1)+1=7 16 (2)设 1.345=x,则原式=x(x-1) ? 2x-x 3-x(x-1 )2=-x=-1.345 例5 . 例6 . 【分析】可用特殊值法或差值法?特殊值法: 取 m=15, 分别代入得 P=6, Q=217,故P v Q ;差值法: 例2 ?原不等式可化为 所以可能有的结果是 m 2 m = -m 2 m -1= I m I 15 丿 I 2 P-Q= ⑵c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1, 于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1) 2, 完全平方数