泰安市2020年中考数学试题及答案

泰安市2020年初中学业水平考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题

共48分）

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.1

2

-

的倒数是（ ） A.－2 B.1

2

- C.2

D.

12

2.下列运算正确的是（ ） A.32xy xy -= B.3412x x x ?= C.10

25

x

x x --÷=

D.(

)

2

36x

x -=

3.2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务.今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元.把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ） A.12410?元

B.10410?元

C.11410?元

D.94010?元

4.将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150∠=?，则∠2等于（ ）

A.80°

B.100°

C.110°

D.120°

5.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ） A.3，3

B.3，7

C.2，7

D.7，3

6.如图，PA 是⊙

o 的切线，点A 为切点，OP 交⊙o 于点B ，10P ∠=?，点C 在⊙o 上，

//OC AB .则BAC ∠等于（ ）

A.20°

B.25°

C.30°

D.50°

7.将一元二次方程2850x x --=化成2

()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A.－4，21

B.－4，11

C.4，21

D.－8，69

8.如图，ABC ?是⊙o 的内接三角形，AB BC =，30BAC ∠=?，AD 是直径，8AD =，则AC 的长

为（ ）

A.4

B.

D.9.在同一平面直角坐标系内，二次函数2

y ax bx b =++（0a ≠）与一次函数y ax b =+的图象可能（ ）

A. B. C. D.

10.如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2cm AG =，底边6cm BC =，45B ∠=?，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=?，则AF 的长为（ ）

A.1cm

C.3)cm

D.(2

11.如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点

M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM .则下列结论：

①DN BM =； ②//EM FN ； ③AE FC =；

④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形. 其中，正确结论的个数是（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

12.如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0)A ，(0,2)B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段

AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）

1

12

C.1

D.12

第Ⅱ卷（非选择题共102分）

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.方程组16,

5372

x y x y +=??

+=?的解是_________.

14.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(1,1)B -，(3,1)C .A B C '''?是ABC ?关于x 轴的对称图形，将A B C '''?绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为_________.

15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地.//BC AD ，BE AD ⊥，斜坡AB 长

26m ，斜坡AB 的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员

勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移_________m 时，才能确保山体不滑坡.（取tan50 1.2?=）

16.如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且//AD BO ，60ABO ∠=?，

8AB =，过点D 作DC BE ⊥于点C ，则阴影部分的面积是_________.

17.已知二次函数2

y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的y 与x 的部分对应值如下表：

下列结论： ①0a >；

②当2x =-时，函数最小值为－6；

③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <；

④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的序号是_________.（把所有正确结论的序号都填上）

18.如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________.

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19.（1）化简：214133a a a a -?

?-+÷

?--??

； （2）解不等式：

11

134

x x +--<

. 20.如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=

的图象交于点(3,)A a ，点(142,2)B a -.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求ACD ?的面积.

21.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A ：机器人；B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图.

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；

（4）在C 组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E 组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率.

22.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍 （1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元.两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ，B 两种茶叶各多少盒？

23.若ABC ?和AED ?均为等腰三角形，且90BAC EAD ∠=∠=?.

（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =. 求证：①EB DC =，②EBG BFC ∠=∠.

24.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=?，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点.

探究发现：

（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥.你认为此结论是否成立？_________.（填“是”或“否”） 拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点.请判断此结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 问题解决：

（3）若6AB =，9CE =，求AD 的长.

25.若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为(3,0)，二次函数

2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分

DBE ∠.求直线BE 的表达式；

（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，

BFP BAF S mS ??=.

①当1

2

m =

时，求点P 的坐标； ②求m 的最大值.

泰安市2020年初中学业水平考试

数学试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得4分，满分48分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，满分24分）

13.12

4x y =??

=?

14.(2,1)- 15.10 16.

64

3

π- 17.①③④ 18.20110

三、解答题（本大题共7小题，满分78分）

19.（1）解：214133a a a a -?

?-+÷

?--?? (1)(3)

1(2)(2)333a a a a a a a --+-??=+÷??---??

243133(2)(2)a a a a a a -++-=?-+-

2

(2)(2)(2)a a a -=+- 2

2

a a -=+ （2）解：不等式两边都乘以12，得

4(1)123(1)x x +-<-

即441233x x +-<-

4383x x -<-

解得5x <

∴原不等式的解集是5x <.

20.解：（1）∵点(3,)A a ，点(142,2)B a -在反比例函数m

y x

=的图象上， ∴3(142)2a a ?=-?. 解得4a =. ∴3412m =?=.

∴反比例函数的表达式是12y x

=

.

（2）∵4a =，

∴点A ，点B 的坐标分别是(3,4)，(6,2). ∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，

∴43,

26.k b k b =+??

=+?

解得2,36.

k b ?=-???=?

∴一次函数的表达式是2

63

y x =-+. 当0x =时，6y =. ∴点C 的坐标是(0,6). ∴6OC =

∵点D 是点C 关于原点O 的对称点， ∴2CD OC =. 作AE y ⊥轴于点E ， ∴3AE =.

1

2

ACD S CD AE ?=?

CO AE =? 63=? 18=

21.（1）80； （2）

（3）16

3607280

a ?=

?=? （4）列表如下：

得到所有等可能的情况有9种，

其中满足条件的有5种：（C 女1，E 男1），（C 女2，E 男1），（C 女1，E 男2）， （C 女2，E 男2），（C 男，E 女）

所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是

5

9

. 22.解：（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元. 根据题意，得

40008400

10 1.4x x

+=

. 解得200x =.

经检验：200x =是原方程的根. ∴1.4 1.4200280x =?=（元）.

∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元.

（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进(100)m -盒.

打折前A 种茶叶的利润为

10050m 2m

?=. B 种茶叶的利润为

1001206000602m

m -?=-. 打折后A 种茶叶的利润为1052

m

m ?=.

B 种茶叶的利润为0.

由题意得：5060006055800m m m +-+=. 解方程，得：40m =.

∴1001004060m -=-=（盒）.

∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒. 23.（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形. 理由如下：

∵EAD ?为等腰三角形且90EAD ∠=?， ∴45E ∠=?. ∵B 是DE 的中点， ∴AB DE ⊥. ∴45BAE ∠=?.

∵ABC ?是等腰三角形，90BAC ∠=?， ∴45CBA ∠=?. ∴BAE CBA ∠=∠. ∴//BC EA . 又∵AB DE ⊥， ∴90EBA BAC ∠=∠=?. ∴//BE AC .

∴四边形BEAC 是平行四边形.

（2）证明：①∵AED ?和ABC ?为等腰三角形， ∴AE AD =，AB AC =. ∵90EAD BAC ∠=∠=?，

∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠. 即EAB DAC ∠=∠. ∴AEB ADC ??≌.

∴EB DC =.

②延长FG 至点H ，使GH FG =.

∵G 是EC 中点， ∴EG CG =.

又EGH FGC ∠=∠， ∴EHG CFG ??≌.

∴BFC H ∠=∠，CF EH =. ∵CF CD =， ∴BE CF =. ∴BE EH =. ∴EBG H ∠=∠. ∴EBG BFC ∠=∠. 24.解：（1）是 （2）结论成立. 理由如下：

∵BD DF ⊥，ED AD ⊥，

∴90BDC CDF ∠+∠=?，90EDF CDF ∠+∠=?. ∴BDC EDF ∠=∠. ∵AB BD =， ∴A BDC ∠=∠. ∴A EDF ∠=∠. 又∵A E ∠=∠，

∵E EDF ∠=∠. ∴EF FD =.

又90E ECD ∠+∠=?， ∴ECD CDF ∠=∠. ∴CF DF =. ∴CF EF =. ∴F 为CE 的中点.

（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG BD ⊥. ∴1922

GD EC =

=. 又6BD AB ==，

在Rt GDB ?中，152GB ==

∴159

322

CB =

-=

在Rt ABC ?中，AC == 由条件得：ABC EDC ??∽.

3

CD

=.

∴CD =

.

∴AD AC CD =+==.

25.（1）解：令330x --=，得1x =-.令0x =时，3y =-. ∴(1,0)A -，(0,3)C -. ∵抛物线过点(0,3)C -， ∴3c =-.

则2

3y ax bx =+-，将(1,0)A -，(3,0)B 代入

得03,093 3.a b a b =--??=+-?

解得1,

2.

a b =??

=-?

∴二次函数表达式为2

23y x x =--.

（2）解：设BE 交OC 于点M . ∵(3,0)B ，(0,3)C -，

∴OB OC =，45OBC OCB ∠=∠=?. ∵//CD AB ， ∴45BCD ∠=?. ∴OCB BCD ∠=∠.

∵BC 平分DBE ∠， ∴EBC DBC ∠=∠. 又∵BC BC =， ∴MBC DBC ??≌. ∴CM CD =. 由条件得：(2,3)D -. ∴2CD CM ==. ∴321OM =--. ∴(0,1)M -. ∵(3,0)B ，

∴直线BE 解析式为1

13

y x =

-.

（3）①∵1

2

BFP BAF S S ??=， ∴1

2

PF AF =

. 过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ??∽. ∴2AB NP =. ∵4AB =， ∴2NP =.

∵直线BC 的表达式为3y x =-， 设()

2,23P t t t --，

∴2

233N t t x --=-. ∴2

2N x t t =-.

∴()

22PN t t t =--，则()

222t t t --=，解得12t =，21t =. ∴点(2,3)P -或(1,4)P -. ②由①得：4

PN

m =

. ∴()

()222233444t t t t t t t m -----+===

22

139139

4244216t t ??????=?--+=--+?? ? ?????????

. ∴m 有最大值，9

16

m =最大值.