七年级上册一元一次方程专题练习(解析版)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图,已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+3|+(b﹣2)2=0.
(1)求A、B两点的对应的数a、b;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1= x﹣8的解.
①求线段BC的长;
②在数轴上是否存在点P,使PA+PB=BC?求出点P对应的数;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:∵|a+3|+(b﹣2)2=0,
∴a+3=0,b﹣2=0,
解得,a=﹣3,b=2,
即点A表示的数是﹣3,点B表示的数是2 。
(2)解:①2x+1= x﹣8
解得x=﹣6,
∴BC=2﹣(﹣6)=8
即线段BC的长为8;
②存在点P,使PA+PB=BC理由如下:
设点P的表示的数为m,
则|m﹣(﹣3)|+|m﹣2|=8,
∴|m+3|+|m﹣2|=8,
当m>2时,解得 m=3.5,
当﹣3<m<2时,无解
当x<﹣3时,解得m=﹣4.5,
即点P对应的数是3.5或﹣4.5
【解析】【分析】(1)根据绝对值及平方的非负性,几个非负数的和为零则这几个数都为零从而得出解方程组得出a,b的值,从而得出A,B两点表示的数;
(2)①解方程2x+1= x﹣8 ,得出x的值,从而得到C点的坐标,根据两点间的距离得出BC的长度;②存在点P,使PA+PB=BC理由如下:设点P的表示的数为m,根据两点间的距离公式列出方程|m﹣(﹣3)|+|m﹣2|=8,然后分类讨论:当m>2时,解得m=3.5,当﹣3<m<2时,无解,当x<﹣3时,解得m=﹣4.5,即点P对应的数是3.5或﹣4.5 。
2.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC.①求t的值;②此时ON是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)在(1)问的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由.
【答案】(1)解:①∵∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,
∵∠AOC=30°,
∴∠BOC=2∠COM=150°,
∴∠COM=75°,
∴∠CON=15°,
∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,
解得:t=15°÷3°=5秒;
②是,理由如下:
∵∠CON=15°,∠AON=15°,
∴ON平分∠AOC
(2)解:15秒时OC平分∠MON,理由如下:
∵∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,
∵∠MON=90°,
∴∠CON=∠COM=45°,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∵∠AOC﹣∠AON=45°,
可得:6t﹣3t=15°,
解得:t=5秒
(3)解:OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∴∠COM为(90°﹣3t),
∵∠BOM+∠AON=90°,
可得:180°﹣(30°+6t)= (90°﹣3t),
解得:t=23.3秒;
如图:
【解析】【分析】(1)①根据∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°,故∠COM=75°,根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°,根据旋转的速度,就可以算出t的值了;②根据∠CON=15°,∠AON=15°,即可得出ON平分∠AOC ;
(2)15秒时OC平分∠MON,理由如下:∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,从而得出∠CON=∠COM=45°,又三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程,求解得出t的值;
(3)根据∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,及三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,故设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,从而得到∠COM
为(90°﹣3t),又∠BOM+∠AON=90°,从而得出含t的方程,就能解出t的值。
3.已知:如图所示,O为数轴的原点,A,B分别为数轴上的两点,A点对应的数为﹣30,B点对应的数为100.
(1)A、B的中点C对应的数是________;
(2)若点D数轴上A、B之间的点,D到B的距离是D到A的距离的3倍,求D对应的数.(提示:数轴上右边的点对应的数减去左边对应的数等于这两点间的距离);
(3)若P点和Q点是数轴上的两个动点,当P点从B点出发,以6个单位长度/秒的速度向左运动时,Q点也从A点出发,以4个单位长度/秒的速度向右运动,设两点在数轴上的E点处相遇,那么E点对应的数是多少?
【答案】(1)35
(2)解:设点D对应的数是x,则由题意,
得100﹣x=3[x﹣(﹣30)]
解得,x=2.5
所以点D对应的数是2.5.
(3)解:设t秒后相遇,
由题意,4t+6t=130,
解得,t=13,
BE=100﹣6t=78,
100﹣78=22
答:E点对应的数是22.
【解析】【解答】解:(1)点A表示的数是﹣30,点B表示的数是100,
所以AB=100﹣(﹣30)=130
因为点C是AB的中点,
∴AC=BC==65
A、B的中点C对应的数是100﹣65=35.
故答案为:35.
【分析】(1)根据点A和点B的坐标,求出AB之间的距离,取其中点,找出C点对应的数字即可。
(2)根据题意,可以设点D对应的数为x,根据其与AB两点之间的距离关系,列出方程解出x的值,即可得到D点对应的坐标。
(3)根据题意设二者相遇的时间为t,根据二者运动的距离之和为线段AB的长度列出方程,解出t的值,即可得到E点对应的数。
4.某城市平均每天产生垃圾700 t,由甲、乙两家垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾55 t,费用为550元;乙厂每小时可处理垃圾45 t,费用为495元.
(1)如果甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾,那么每天需几小时?
(2)如果该城市规定每天用于处理垃圾的费用不得高于7370元,那么至少安排甲厂处理几小时?
【答案】(1)解:设两厂同时处理每天需xh完成,
根据题意,得(55+45)x=700,解得x=7.
答:甲、乙两厂同时处理每天需7 h.
(2)解:设安排甲厂处理y h,
根据题意,得550y+495× ≤7370,
解得y≥6.
∴y的最小值为6.
答:至少安排甲厂处理6 h.
【解析】【分析】(1)设甲、乙两厂同时处理,每天需x小时,根据甲乙两厂同时处理垃
圾每天需时=每天产生垃圾÷(甲厂每小时可处理垃圾量+乙厂每小时可处理垃圾量),列出方程,求出x的值即可;
(2)设甲厂需要y小时,根据该市每天用于处理垃圾的费用=甲厂处理垃圾的费用+乙厂处理垃圾的费用,每厂处理垃圾的费用=每厂每小时处理垃圾的费用×每天处理垃圾的时间,列出不等式,求出y的取值范围,再求其中的最小值即可.
5.某校七年级10个班师生举行文艺汇演,每班2个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,七年级统计后发现歌唱类节目比跳舞类节目数的2倍少4个.
(1)七年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?
(2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟,预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从开始到结束共用2小时35分钟,问参与的小品类节目有多少个?
【答案】(1)解:设七年级师生表演的舞蹈类节目有x个,表演歌唱类节目有(2x﹣4)个,
根据题意,得:x+2x﹣4=10×2,
解得:x=8,
所以2x﹣4=12.
答:七年级师生表演的歌唱类节目有12个,舞蹈类节目有8个
(2)解:设参与的小品类节目有a个,
根据题意,得:12×5+8×6+8a+15=2×60+35,
解得:a=4,
答:参与的小品类节目有4个
【解析】【分析】(1)设七年级师生表演的舞蹈类节目有x个,表演歌唱类节目有
(2x-4)个.根据“七年级统计后发现歌唱类节目比跳舞类节目数的2倍少4个”列方程求解可得;(2)设参与的小品类节目有a个,根据“三类节目的总时间+交接用时=2小时35分钟”列等式求解可得.
6.定义:若一个关于x的方程的解为,则称此方程为“中点方程”.如:的解为,而;的解为,而 .
(1)若,有符合要求的“中点方程”吗?若有,请求出该方程的解;若没有请说明理由;
(2)若关于x的方程是“中点方程”,求代数式的值.
【答案】(1)解:没有符合要求的“奇异方程”,理由如下:
把代入原方程解得:x= ,
若为“中点方程”,则x= ,
∵≠ ,
∴不符合“中点方程”定义,故不存在
(2)解:∵,
∴(2a-b)x+b=0.
∵关于x的方程是“中点方程”,
∴x= =a.
把x=a代入原方程得:,
∴ =
【解析】【分析】(1)把代入原方程解得:x= ,若为“中点方程”,则x= ,由于b≠b-2,根据“中点方程”定义即可求解;(2)根据“中点方程”定义得到, = ,整体代入即可.
7.阅读理解:一部分同学围在一起做“传数”游戏, 我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”.游戏规则是: 同学1心里先想好一个数, 将这个数乘以2再加1后传给同学
2,同学2把同学1告诉他的数除以2再减后传给同学3,同学3把同学2传给他的数乘
以2再加1后传给同学4,同学4把同学3告诉他的数除以2再减后传给同学5,同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6,……,按照上述规律,序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学,直到传数给同学1为止.
(1)若只有同学1,同学2,同学3做“传数”游戏.
①同学1心里想好的数是2, 则同学3的“传数”是________;
②这三个同学的“传数”之和为17,则同学1心里先想好的数是________.
(2)若有个同学(n为大于1的偶数)做“传数”游戏,这个同学的“传数”之和为,求同学1心里先想好的数是多少.
【答案】(1)5;3
(2)解:设同学1心里先想好的数为x,由题意得:
同学1的“传数”是2x+1
同学2的“传数”是
同学3的“传数”是2x+1
同学4的“传数”是x
……
同学n(n为大于1的偶数)的“传数”是x
于是
∵n为大于1的偶数
∴n≠0
∴
解得:
故同学1心里先想好的数是13.
【解析】【解答】解:(1)①由题意得:
故同学3的“传数”是5;②设同学1想好的数是a,则
解得:
故答案为:3
【分析】(1)根据题意分别计算出同学1和同学2、同学3的传数即可;(2)设同学1想好的数是a,由题意列出方程,再解方程求得a的值即可;(3)设同学1心里先想好的数为x,根据题意分别表示同学2、同学3、同学4的传数,找出规律,即可知同学n(n
为大于1的偶数)的“传数”是x,得,化简得,根据n为大于1的偶数,即可得出答案.
8.如图,已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+3|+(b﹣2)2=0.
(1)求A、B所表示的数;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1= x﹣8的解
①求线段BC的长;
②在数轴上是否存在点P,使PA+PB=BC?求出点P对应的数;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:∵|a+3|+(b﹣2)2=0,
∴a+3=0,b﹣2=0,
解得,a=﹣3,b=2,
即点A表示的数是﹣3,点B表示的数是2。
(2)解:①2x+1= x﹣8
解得,x=﹣6,
∴BC=2﹣(﹣6)=8,
即线段BC的长为8;
②存在点P,使PA+PB=BC,
设点P的表示的数为m,
则|m﹣(﹣3)|+|m﹣2|=8,
∴|m+3|+|m﹣2|=8,
当m>2时,解得,m=3.5,
当﹣3<m<2时,无解,
当x<﹣3时,m=﹣4.5,
即点P对应的数是3.5或﹣4.5.
【解析】【分析】(1)根据绝对值,偶次幂的非负性,即可解答;
(2)①先解方程得到点C表示的数,再结合点B表示的数即可确定线段BC的长;
②设点P表示的数为m,由点A、C所表示的数可得PA=,PB=,根据
PA+PB=BC可得|m+3|+|m﹣2|=8,再分m>2、-3<m<2、m<-3三种情况,去绝对值符号解方程即可解答。
9.已知关于m的方程 (m-16)=-5的解也是关于x的方程2 (x-3)-n=3的解.(1)求m、n的值;
(2)已知线段AB=m,在射线AB上取一点P,恰好使=n,点Q为线段PB的中点,求AQ的长.
【答案】(1)解:,
,
,
关于m的方程的解也是关于x的方程的解.,
将,代入方程得:
,
解得:,
故
(2)解:由知:,
当点P在线段AB上时,如图所示:
,
,
点Q为PB的中点,
,
;
当点P在线段AB的延长线上时,如图所示:
,
,
点Q为PB的中点,
,
.
故或
【解析】【分析】(1)解方程 (m-16)=-5 求出m的值,根据关于m的方程 (m-16)=-5的解也是关于x的方程2 (x-3)-n=3的解得出x=m=6,从而将x=6代入方程
即可算出n的值;
(2)由知:,当点P在线段AB上时,如图所示:即可求出
AP,BP的长,根据线段中点的定义得出,最后根据即可算出答案;当点P在线段AB的延长线上时,如图所示:首先算出PB的长,根据线段
中点的定义得出,根据即可算出答案,综上所述即可得出答案。
10.我们知道,分数可以写成无限循环小数的形式,即;反之,无限循环小数也可以写成分数形式,即 = 事实上,任何无限循环小数都可以写成分数形式.例:无限循环小数写成分数形式为方法步骤如下:
解:∵=0.777……
设则
②-①得
∴ =
同理可得 = =1+ =
根据以上阅读,解答下列问题:
(1) =________, =________;
(2)用题中所给的方法比较与8的大小: ________8(填“>”、“<”或“=”). (3)将写成分数形式,请写出解答过程;
(4)将写成分数形式,请直接写出结果.
【答案】(1);5
(2)=
(3)解:设 =x,由=0.3535…可知,100x-x=
35,
即100x-x=35.
解方程,得x= ,
于是,得
(4)解:设 =x,由=0.423423…可知,1000x-x=423. =423,即1000x-x=423.
解方程,得x= ,
于是,得. =
【解析】【解答】解:(1)设 =x,由=0.666…得,10x-x=6.
解方程,得x= = .
于是,得 = .
设 =x,由=0.222…得,10x-x=2.
解方程,得x= ,
∴ =5
故答案为:,5 ;
( 2 )设 =x,由=0.999…得,10x-x=9.
解方程,得x=1,
∴ =8,
故答案为:=;
【分析】(1)设 =x,由=0.666…得,10x-x=6.解方程即可得到结论,设 =x,由=0.222…得,10x-x=2.解方程加5即可;(2)设 =x,由==0.999…得,10x-x=9.解方程即可得到结论;(3)设 =x,由=0.3535…得,100x-x=35,解方程即可得到结论;(4)设 =x,由=0.423423…得,1000x-x=423.解方程即可得到结论. 11.如图是一种数值转换机的运算程序.
(1)若输入的数x=1,y=-1,则输出的数为________;
若输入的数x=3,y=-5,则输出的数为________;
若输入的数x=n,y=-n,则输出的数为________;
(2)若输入的数x=2,输出的数为20,求输入的数y.
【答案】(1)1;17;n2
(2)解:由图可知:输出数为:,
∵x=2,输出的数为20,
∴=20,
解得:y=±6.
【解析】【解答】解:(1)由图可知:输出数为:,
∵x=1,y=-1,
∴==1;
∵x=3,y=-5,
∴==17;
∵x=n,y=-n,
∴==n 2;
故答案为:1,,17,n2.
【分析】(1)由图可知输出数为:,分别将x、y的值代入,计算即可得出答案.(2)由图可知输出数为:,,分别将x、输出的数代入,计算即可求得y值. 12.如图是一种数值转换机的运算程序
(1)若第1次输入的数为x=1,则第1次输出的数为4,则第10次输出的数为________;若第1次输入的数为12,则第10次输出的数为________.
(2)若输入的数x=5,求第2010次输出的数是多少?
(3)是否存在输入的数x,使第3次输出的数是x?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)4;3
(2)解:第一次输出x+3=5+3=8,
第二次输出x=×8=4,
第三次输出x=×4=2,
第四次输出x=×2=1,
第五次输出x+3=1+3=4,
第六次输出x=×4=2,
第七次输出x=×2=1,
……
∴除去第一次,以4,2,1循环,
∵(2010-1)÷3=669 (2)
∴第2010次输出的数为2.
(3)解:①当输入的数x为偶数时,
∴××x=x,解得:x=0;
×x+3=x,解得:x=4;
×(x+3)=x,解得:x=2;
②当输入的数x为奇数时,
×(x+3)+3=x,解得:x=9;
×x(x+3)=x,解得:x=1;
综上所述:x=9或1,x=0或4或2.
【解析】【解答】解:(1)第一次输出x+3=1+3=4,第二次输出x=×4=2,
第三次输出x=×2=1,
……
∴以4,2,1循环,
∵10÷3=3……1,
∴第10次输出的数是4;
第一次输出x=×12=6,
第二次输出x=×6=3,
第三次输出x+3=3+3=6,
第四次输出x=×6=3,
……
∴以6,3循环,
∵10÷2=5,
∴第10次输出的数是3;
故答案为:4,3.
【分析】(1)由图知:当输入的数x为偶数时,输出x;当输入的数x为奇数时,输出x+3,按此规律计算找出规律即可求解.
(2)由图知:当输入的数x为偶数时,输出x;当输入的数x为奇数时,输出x+3,按此规律计算找出规律即可求解.
(3)分情况讨论:①当输入的数x为偶数时,②当输入的数x为奇数时,按照图中规律分情况列出方程,解之即可得出答案.