《高等数学》教案 第一章 函数
第一章函数
函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。
§1.1 集合
一、概念
集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。
举例：
有限集合：由有限个元素构成的集合。
无限集合：由无限个元素构成的集合。
集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a?A。
二、表示方法
1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。如：A =｛a，b，c，d｝
即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。
2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。
3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。
三、全集与空集
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。全集是相对的。
不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
四、子集
1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则
a∈B”，则称A为B的子集。记为A?B或B?A。
如果A?B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。记作A?B或B?A。
2、定义：设有集合A和B，如果A?B且B?A，则称A与B相等。
结论：（1）A?A，即“集合A是其自己的子集”；
（2）Φ?A，即“空集是任意集合的子集”；
（3）若A?B，B?C，则A?C，即“集合的包含关系具有传递性”。
五、集合的运算
1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。
性质：（1）A?A∪B，B?A∪B；
（2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。
2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。
性质：（1）A∩B?A，A∩B?B；
（2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。
3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。即A－B =｛x∣x∈A且x ? B｝。
4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。即A=｛x∣x∈U且x ? A｝。
性质：A∪A =U，A∩A=Φ。
习题7、8：
六、集合运算律
（1）交换律：（Ⅰ）A∪B = B∪A （Ⅱ）A∩B = B∩A
（2）结合律：（Ⅰ）(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
（Ⅱ）(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
（3）分配率：（Ⅰ）(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)
（Ⅱ）(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
∩=
A∪
∪= （Ⅱ）B
（4）摩根律：（Ⅰ）B
A∩
求不等式所构成集合的并、交运算，最好借助于数轴表示，显得一目了然；进行并、交的混合运算应注意并、交无先后，但括号优先，先里后外；抽象集合的并、交运算特点是：并集取全部，交集取公共。
习题11：
七、集合的笛卡尔乘积
将两元素x和y按前后顺序排列成一个元素组（x，y），称为有序元素组。（x，y）与（y，x）是两个不同的有序元素组。有二元、三元、……n元有序元素组。
定义：设有集合A和B，对任意的x∈A，y∈B，所有二元有序元素组（x，y）构成的集合，称为A与B的笛卡尔乘积，记为A×B。
集合的笛卡尔乘积与集合的次序有关，一般地，A×B和B×A是不同的两个集合。
习题15：
习题1--15
§1.2 实数集
一、实数与数轴
????????????????????????????????虚数
无理数分数负整数正整数整数有理数实数复数0 有理数：整数、有限小数或无限循环小数。无理数：无限不循环小数。 具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。
二、绝对值
定义：一个实数x 的绝对值，记为x ，定义为：
??????=，，x x x 0
0<≥x x 性质：
（1）2x x = （2）0≥x
（3）x x =? （4）x x x ≤≤?
（5）若a ﹥0，则｛x ∣a x <｝=｛x ∣﹣a < x < a ｝
（6）若b ﹥0，则｛x ∣b x >｝=｛x ∣x <﹣b 或x > b ｝
=｛x ∣x <﹣b ｝∪｛x ∣x > b ｝
（7）y x y x +≤+ （8）y x y x ?≥?
（9）y x xy ?= （10）
y
x y x = 三、区间 设a 、b 为实数，且a < b ，
1、满足不等式a < x < b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ），即（a ，b ）=｛x ∣a < x < b ｝。
2、满足不等式a ≤ x ≤ b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ]，即[a ，b ] =｛x ∣a ≤ x ≤ b ｝。
3、满足不等式a < x ≤ b （或a ≤ x < b ）的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的半开区间，记作(a ，b ]（或[a ，b )），即(a ，b ] =｛x ∣a < x ≤ b ｝,
[a ，b ) =｛x ∣a ≤ x < b ｝。
以上为有限区间，以下为无限区间。
4、（a ，﹢∞）=｛x ∣x ﹥a ｝，[a ，﹢∞）=｛x ∣x ≥a ｝
5、（﹣∞，b ）=｛x ∣x ﹤b ｝，（﹣∞，b ]=｛x ∣x ≤b ｝
6、（﹣∞，﹢∞）=｛x ∣﹣∞< x <﹢∞ ｝
求解含绝对值的不等式关键是要正确的去掉绝对值符号。
四、邻域
实数集合｛x ∣δ
开区间（x 0﹣δ，x 0﹢δ）
，称为点x 0的δ邻域。x 0为邻域的中心，δ为邻域的半径。 微积分中常常用到集合｛x ∣δ
内去掉点x 0后其余的点所组成的集合，即集合（x 0﹣δ，x 0）∪（x 0，x 0﹢δ）
，称为以点x 0为中心、以δ为半径的空心邻域（或去心邻域）。
习题18（3）用区间表示实数集合：
习题16--18
§1.3 函数关系
一、关系
数学是一门研究数量关系的科学，因此，“关系”是数学中一个非常重要的基本概念。
如y ﹤x ：对于每一个x ∈X ，有无穷多个y ∈Y 与之对应。
如y = 2x ：对于每一个x ∈X ，均只有一个确定的y ∈Y 与之对应。这种关系称为函数关系。
微积分学的研究对象主要是函数关系。
二、函数关系
函数关系是满足一定条件的一种关系。
1、定义：若D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则f ，使每一个x ∈D 都有一个确定的实数y 与之对应，则称这个对应规则f 为定义在D 上的一个函数关系，或称变量y 是变量x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D 。
x 称为自变量，y 称为因变量，集合D 称为函数的定义域，记作D （f ）。 x 0对应的y 值，记作y 0或f （x 0）或0x x y =，称为当x = x 0时，函数y = f （x ）
的函数值。全体函数值的集合｛y ∣y = f （x ）
，x ∈D ｝，称为函数y = f （x ）的值域，记作Z （f ）。
如果两个函数的定义域和对应规则都相同，就称这两个函数是相同的函数。
2、函数的三种表示方法
（1）解析法：把一个函数关系用解析式表示的方法称为函数解析法，也叫公式法。
（2）表格法：把自变量所取得值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，如我们所用的各种数学用表——平方表、对数表、三角函数表等，函数的这种表示方法称为表格法。
（3）图形法：用某个坐标系中的一条曲线来表示两个变量之间的对应关系，称为图形法或图示法。
三、函数记号
y 是x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D ，f 表示y 与x 的对应规则。有时也表示为y = φ（x ）、y = g （x ）、y = F （x ）等等。
把y = f （x ）中x 若换成一个常数值x 0，即可算出当x = x 0时的函数值f （x 0）；x 若换成一个x 的函数，即可产生一个新的函数，称为复合函数，如y = f [φ（x ）]。
四、函数定义域
指与有唯一确定数值的因变量对应的自变量的全体实数值所构成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。
求函数定义域要注意：（1）偶次方根号下不能为负数
（2）分式的分母不能为零
（3）对数的真数必须大于零
（4）三角函数与反三角函数考虑各自的变化范围 如：arcsin x 或arccos x 的定义域为∣x ∣≤1；
tan x 的定义域为x ≠ k π + 2π
（k ∈Z ）； cot x 的定义域为x ≠ k π（k ∈Z ）。
注意：区别两个函数是否相同，关键是研究确定函数关系的两个要素——定义域和对应法则，而与变量用什么字母表示无关。
习题22：
习题27（6）（8）（9）求定义域：
解：（A）和（B）中两个函数的定义域不同；（C）中两个函数定义域相同，但对应法则不同；（D）中两个函数只是变量的表示字母不同，但定义域和对应法则完全相同。故选（D）。
五、多值函数
前面定义的函数关系可称为单值函数，如不做声明，本书提到的函数均为单值函数。
如果对于每一个x ∈D ，都有两个或更多的y 值与之对应，这种关系称为多值函数。
六、隐函数
如前说述的对应规则都是因变量用自变量的一个数学表达式表示出来，这些函数称为显函数。
如果对应规则用一个方程F （x ，y ）= 0来表示，在区间D 内，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则称在D 内y 是x 的一个隐函数关系。
习题19--22, 25--28
§1.4 分段函数
有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，其对应规则不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。
如：符号函数
??????==，，，101sgn x y 0
00>= 如：取整函数y = [x ]，表示不超过x 的最大整数。[﹣3.2] =﹣4 注意： （1）分段函数的定义域就是将每段表达式的定义域并在一起。 （2）由于分段函数在各段上的对应法则是不同的，所以在求某点的函数值时，关键是要弄清该自变量所在区间段对应的函数表达式是哪一个，然后再代入求值。 习题30、32： 习题29--33 §1.5 建立函数关系的例题 建立函数关系的基本步骤： 1、明确问题中的因变量与自变量，并以适当记号表示； 2、根据题意建立等式，从而得出函数关系； 3、确定函数的定义域。 注意：根据实际应用问题列出函数关系的表达式后，再确定函数的定义域，而其定义域除函数的解析式外，还要考虑变量在实际问题中的含义。 习题34、35 §1.6 函数的几种简单性质 一、函数的奇偶性 定义：给定函数y = f (x) （1）如果对所有的x∈D ( f )，有f (﹣x) = f (x)，则称f (x)为偶函数； （2）如果对所有的x∈D ( f )，有f (﹣x) =﹣f (x)，则称f (x)为奇函数； 偶函数图形关于y轴对称，奇函数图形关于原点对称。 奇偶函数的运算性质： （1）设f (x)、g (x)均为偶函数，则f (x)±g (x)、f (x)·g (x)必为偶函数； （2）设f (x)、g (x)均为奇函数，则f (x)±g (x)必为奇函数，f (x)·g (x)必为偶函数； （3）设f (x)为偶函数，g (x)为奇函数，则当f (x)≠0时，f (x)·g (x)必为奇函数，但f (x)±g (x)未必为奇（偶）函数； ?必为偶函数，（4）设φ(x) 为任意函数，则) x + =? x f? ) ( ) ( (x ?必为奇函数，且φ(x) = [f (x) + g (x)]/2。 x x g? ? =? ) ) (x ( ) ( 习题44（8）（11）（12）判断奇偶性： 习题46： 注意：判断函数奇偶性通常采用的方法： （1） 从定义出发或者利用运算性质； （2） 证明f (－x) + f (x) = 0或f (－x)－f (x) =0 二、函数的周期性 定义：对于函数y = f (x)，x∈D，如果存在正常数T，使得f (x﹢T )= f (x)，(x﹢T )∈D恒成立，则称此函数为周期函数，T是周期。通常，满足这个等式的最小正数T称为函数的周期。 不是所有的周期函数都有最小周期，如y = c。 习题48（2） 习题49 判断函数为周期函数的主要方法： （1）从定义出发，找到T ≠0，使得f (x﹢T )= f (x)； （2）利用周期函数的运算性质证明。 解决此类问题的关键是首先猜想到一个周期T，这就要求具备较强的恒等变形能力和观察能力。 三、函数的单调性 定义：设函数y = f (x)在区间（a，b）内有定义，对区间（a，b）内任意两点x1和x2，当x1﹤x2时，若有f (x1)﹤f (x2)，则称函数y = f (x)在区间（a，b）内单调增加或单调递增；当x1﹤x2时，若有f (x1)﹥f (x2)，则称函数y = f (x)在区间（a，b）内单调减少或单调递减。 当x1﹤x2时，有f (x1)≤f (x2)，则称函数在区间（a，b）内单调不减； 当x1﹤x2时，有f (x1)≥f (x2)，则称函数在区间（a，b）内单调不增。 单调性是函数的一个重要性质，充分利用单调性的定义，结合不等式的放缩技巧可以得出许多有用的结论。 习题47（3）（4）判断单调性： 证明函数单调性的主要方法有： （1）利用函数单调性定义；（2）利用导数证明。 四、函数的有界性 定义：设函数y = f (x)在区间（a，b）内有定义，如果存在一个正数M，对于所有的x∈（a，b），恒有M (，则称函数f (x)在区间（a，b）内有界。 ) f≤ x 如果不存在这样的正数M，则称函数f (x)在区间（a，b）内无界。 证明函数有界的常用方法： （1）利用函数有界的定义，对函数取绝对值，然后对不等式进行放缩处理； （2）采用导数求最值的方法； （3）根据连续函数的性质。 习题50（2）证明函数是有界函数： 习题51： 习题23、24，44--51 §1.7 反函数与复合函数 一、反函数 定义：设y = f (x)是定义在D（f）上的一个函数，值域为Z（f），如果对于每一个y∈Z（f）有一个确定的且满足y = f (x)的x∈D（f）与之对应，其对应规则记作f﹣1，这个定义在Z（f）的函数x = f﹣1(y)称为y = f (x)的反函数，或称它们互为反函数。 函数y = f (x)，x为自变量，y为因变量，定义域为D（f），值域为Z（f）。 函数x = f﹣1(y)，y为自变量，x为因变量，定义域为Z（f），值域为D（f）。 习惯上将x = f﹣1(y)写成y = f﹣1(x)。 y = f (x)与y = f﹣1(x)的图形对称于y = x。 一个函数如果有反函数，它必定是一一对应的函数关系。 习题52（5）求反函数： 习题53：设函数 反函数求解方法比较固定，具有很强的规律性，关键是把握好定义域和符号的变化，特别是对于分段函数要牢记所求函数表达式的区间。 二、复合函数 定义：设函数y = f (u) 的定义域为D( f )，若函数u = φ(x) 的值域为Z(φ)，Z(φ)∩D( f )非空，则称y = f [φ(x)]为复合函数。x为自变量，y为因变量，u为中间变量。 复合函数的求解方法主要有两种： （1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来代替，适用于初等函数的复合。 （2）分析法：抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，适用于初等函数与分段函数的复合或两个分段函数的复合。 习题58： 含有未知函数的方程叫做函数方程，观察法和变量代换法是解简单函数方程的两种最基本的方法。 习题52--58 §1.8 初等函数 以下为基本初等函数： 一、常数 y = c ，定义域是（﹣∞，﹢∞）。 二、幂函数 y = x α，（α为实数），定义域随α而异，但在（0，﹢ ∞）上总有定义，图形经过（1，1）点。 三、指数函数 y = a x ，（a ﹥0，a ≠1），定义域（﹣∞，﹢∞），值域 为（0，﹢∞），都通过（0，1）点，当a ﹥1时，函数单 调增加，当0﹤a ﹤1时，函数单调减少。 四、对数函数 x y a log =，（a ﹥0，a ≠1），定义域为（0，﹢∞），都 通过（1，0）点，当a ﹥1时，函数单调增加，当0﹤a ﹤1 时，函数单调减少。 对数函数与指数函数互为反函数。 五、三角函数 y = sin x ，y = cos x ，y = tan x ，y = cot x ，y = sec x ，y = csc x 。 y = sin x 与y = cos x 的定义域均为（﹣∞，﹢∞） ，均以2π为周期。 y = sin x 为奇函数，y = cos x 为偶函数，均为有界函数。 y = tan x 的定义域为除去x = ( 2n + 1 )2 π ( n = 0, ±1, …)的其他实数，以π为周期，奇函数。 正弦函数 余弦函数 第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法 【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 并把这个角叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分2角可以任意大 3可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) (Z k k∈个周角的和： 390=______+____360330=______+_____360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： } {__________ = =β β S 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012' -??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360~720 -??间的角写出来：（1）60?（2）21 -?（3）36314 ?'。 第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 §1-1 基本术语及其定义 一、孔和轴 孔——通常指工件各种形状的内表面，包括圆柱形内表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形包容面。 轴——通常指工件各种形状的外表面，包括圆柱形外表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形被包容面。 二、尺寸的术语及其定义 1．尺寸 尺寸——用特定单位表示长度大小的数值。长度包括直径、半径、宽度、深度、高度和中心距等。 尺寸由数值和特定单位两部分组成。例如30 mm。 注：机械图样中，尺寸单位为mm时，通常可以省略单位。 2．基本尺寸（D，d） 基本尺寸——由设计给定，设计时可根据零件的使用要求，通过计算、试验或类比的方法，并经过标准化后确定基本尺寸。 注：孔的基本尺寸用“D”表示；轴的基本尺寸用“d”表示。 3．实际尺寸（Da，da） 实际尺寸——通过测量获得的尺寸。 由于存在加工误差，零件同一位置的实际尺寸不一定相等。4．极限尺寸 极限尺寸——允许尺寸变化的两个界限值。 允许的最大尺寸称为最大极限尺寸； 允许的最小尺寸称为最小极限尺寸。 三、偏差与公差的术语及其定义 1．偏差 偏差——某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减其基本尺寸所得的代数差。 分类： （1）极限偏差——极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为极限偏差。 （2）实际偏差——实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。 （1）极限偏差 上偏差——最大极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： ES=Dmax － D 轴： es=dmax －d 下偏差——最小极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： EI=Dmin －D 轴： ei=dmin －d （2）实际偏差 实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。合格零件的实际偏差应在规定的上、下偏差之间。 【例1－1】某孔直径的基本尺寸为φ50mm，最大极限尺寸为φ50.048mm，最小极限尺寸为φ50.009mm，求孔的上、下偏差。 【例1－2】计算轴φ60mm -0.012+0.018的极限尺寸。若该轴加工后测得实际尺寸为φ60.012mm，试判断该零件尺寸是否合格。 授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x 极限配合和技术测量基础 授课教案 教学计划说明： 本课程主要介绍光滑圆柱形结合的极限与配合、技术测量的基本知识及常用计量器具、形状和位置公差、表面粗糙度、螺纹结合的公差和检测等。考虑到学生学过机械制图有一定的基础，况且本课程学时较少，内容较多故主要讲授了前三章内容。 课题：绪论 教学时数： 2 学时 授课时间： 教学方法： 讲授法 教学目的与要求： 理解互换性的概念 明确本课程的任务 教学重点与难点： 强调本课程的地位与作用,激发学生的学习兴趣 新授内容： 绪论 一、互换性概述 1．互换性的概念 互换性——指机械工业中，制成的同一规格的一批零件或部件，不需作任何挑选、调整或辅助加工，就能进行装配，并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。 互换性的优势：使用和维修方面 加工和装配方面 设计方面 互换性包括：几何参数（如尺寸、形状等）的互换 机械性能（如硬度、强度等）的互换 2．几何量的误差、公差和测量 零件的几何量误差——零件在加工过程中，由于机床精度、计量器具精度、操作工人技术水平及生产环境等诸多因素的影响，其加工后得到的几何参数会不可避免地偏离设计时的理想要求，而产生误差。 几何量误差主要包含：尺寸误差 形状误差 位置误差 表面微观形状误差——表面粗糙度 几何参数的公差——零件几何参数允许的变动量，它包括尺寸公差、形状公差、位置公差等。 只有将零件的误差控制在相应的公差内，才能保证互换性的实现。二、本课程的任务 了解 ?国家标准中有关极限与配合等方面的基本术语及其定义 ?有关测量的基本知识 ?形位公差的基本内容 ?表面粗糙度的评定标准及基本的检测方法 ?普通螺纹公差的特点 熟悉或理解 ?极限与配合标准的基本规定 ?常用计量器具的读数原理 ?形位公差代号的含义 ?螺纹标记的组成及其含义 掌握 ?极限与配合方面的基本计算方法及代号的标注和识读?常用计量器具的使用方法 ?形位公差代号的标注方法 ?表面粗糙度符号、代号的标注方法 作业布置： P1 一 教后感： _____________高等数学_______________课程教案 授课类型 理 论 课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求： 理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义 ()()∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 ,lim ,σηξσλ 几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ ?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D D D 其中:α β,是常数。 2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则 f x y d f x y d f x y d D D D (,)(,)(,)σσσ =+??????2 1 3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则： σσσ ==????1d d D D 几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 人教A版必修4 第一章三角函数教学设计 一、教材分析 三角函数是基本初等函数，它是用来描述客观世界的周期现象，也，是刻画这种现象的重要数学模型。本章是解决实际问题的有利工具，在数学和其他领域中都具有重要的作用。学生将通过单位圆的性质，归纳、学习三角函数、图象及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。 1. 本单元教学内容的范围 1.1 任意角和弧度制； 1.2 任意角的三角函数； 1.3 三角函数的诱导公式； 1.4三角函数的图象与性质； 1.5 函数 y = Asin(ωx+φ) 的图象； 1.6 三角函数模型的应用 本章知识结构如下: 2．本单元教学内容在模块体系中的地位与作用 本单元学习的主要内容是三角函数的定义、图象、性质及应用。 “三角函数”、“三角恒等变换”和“解三角形”构成高中“三角”知识的主 体。“三角”部分的知识是基础知识和工具性知识，三角函数是基本初等函数，学习三角函数是对函数模型的丰富、函数概念的深化。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，是高中函数知识的重要组成部分，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本单元中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 3．本单元教学内容的特点 （1） 突出单位圆与三角函数的密切关系，体现数形结合思想的重要作用。 （2） 通过信息技术的使用，增强了对三角函数图象的直观性认识。 （3） 重视三角函数的应用，体现数学的应用价值。 （4） 提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习 。 4．本单元教学内容总体教学目标 （1） 任意角和弧度制 了解任意角的概念。 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2） 任意角的三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 理解同角三角函数的基本关系式： 1cos sin 22=+x x ，x x x tan cos sin = （3） 三角函数的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出 απ±2，απ± 的正弦、余弦、正切 的诱导公式。 （4） 三角函数的图像和性质 能画出 x y sin =，x y cos =，x y tan = 的图像，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π，正切函数在区间 一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域： （1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥ 第一章三角函数 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角. 2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 一、自主学习 （预习教材P2~ P5，找出疑惑之处） 体操跳水比赛中有“转体720o”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720o在这里表示什么？ 二、新课导学 ※释疑解难 问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ 问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ （2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ 问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念） 问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？ 210o-150o-660o 问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同. 问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60o角的终边相同的角的集合吗？ ※合作探究 例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）650o（2）-150o（3）-990o151 （1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？变式训练： （2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？ 例2:若α与240o角的终边相同 （1）写出终边与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合. （2）判断2 α是第几象限角. 变式训练：若α是第三象限角，则-α， 2α，2α分别是第几象限角. 例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）. 变式训练： （1）第一象限角的范围 （2）第二、四象限角的范围是 ______________. ※ 巩固训练 1.已知A={第一象限角}，B={锐角}， C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2.下列结论正确的是（ ） A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ． { }Z k k ∈±?=,90360| αα = x 高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配 第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 本章复习与小结（1课时） 教学目标： 知识与技能 （1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。 过程与方法 三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。 情感态度与价值观 通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。 教学用具：投影仪、三角板 四、教学思路 【知识的初步整合】 【知识的概括与引申】 1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。 2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。 同济大学《高等数学》 授课教案 2015年3月2日（修改稿） 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：) y （说明表达式的含义） (x f 《高等数学》课程教学大纲 授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期 适用对象：通信工程专业学生 一、课程性质与任务 本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求 通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。 三、课程教学内容 高等数学（上） 第一章函数、极限与连续（10学时） 第二章导数和微分（12学时） 第三章微分中值定理与导数的应用（12学时） 第四章函数的积分（16学时） 第五章定积分的应用（8学时） 第六章无穷级数（10学时） 高等数学（下） 第七章向量与空间解析几何（6学时） 第八章多元函数微分学（14学时） 第九章多元函数微分学的应用（10学时） 第十章多元函数积分学（I）（16学时） 第十一章多元函数积分学（II）（10学时） 第十二章常微分方程（12学时） 四、教学重点、难点 重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。 难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。 五、教学时数分配：教学时数136学时，其中理论讲授136学时，实践教学0学时。（具体安排见附表） 六、教学方式： 本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习 第一课时任意角的三角函数的定义 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式 2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ ——————————————第 1 页（共6页）—————————————— ——————————————第 2 页 （共 6页）—————————————— 结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦， 余弦，正切依次为：,,a b a sinA cosA tanA c c b === 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP r α= =; cos OM a OP r α= =; tan MP b OM a α==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a α==. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆. 上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 《高等数学A》课程教学大纲 课程编号：GE03025，GE03026 课程名称：高等数学A 英文名称：Advanced Mathematics 学时：课堂讲授160 （小班讨论 32） 学分：10 适用专业：全校理工学科（非数学类）各专业 课程类别：理工学科通识教育平台A组课程 先修课程：初等数学 一、课程的性质及教学目标 高等数学课程是理工类学科各专业一门必修的重要的基础理论课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 1．函数、极限、连续； 2．一元函数微积分学； 3．向量代数和空间解析几何； 4．多元函数微积分学； 5．无穷级数（包括傅里叶级数）； 6．常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程的教学内容及基本要求 教学基本要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、 “掌握”、“会”或“能”三级区分。“熟悉”一词相当于“理解”并“熟练掌握”。 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念。 2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。 3．了解反函数和复合函数的概念。 4．熟悉基本初等函数的性质及其图形。 5．能列简单实际问题中的函数关系。 6．了解极限的N -ε、δε-定义（对于给出ε求N 或δ不作过高要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。 7．掌握极限四则运算法则。 8．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 9．了解无穷小、无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 10．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。 11．了解初等函数的连续性。知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。 （二）一元函数微分学 《高等数学》教学大纲 （2010年3月讨论稿） 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求： 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用； 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求） 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 （一）课程内容 1.初等函数与非初等函数； 2.函数的特性； 3.数列的极限； 4.函数的极限； 5.极限的运算法则； 6.两个重要极限； 7.无穷小量及其性质和无穷大量； 8.无穷小量的比较； 9.函数的连续性概念和连续函数的运算； 10.函数的间断点； 11.闭区间上连续函数的性质。 （二）考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。 江西省九江实验中学高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A 版必修4 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600 Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈== π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?= α 扇形面积公式:22 1 21 r lr S α= = 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系αααtan cos sin =； αα α cot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （一） 关于公式1cos sin 22=+αα的深化 () 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ± （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解江苏省启东市高中数学第一章三角函数第1课时1.1任意角教案苏教版必修4
极限与配合第一章教案
【免费下载】高等数学课程教案
第一章函数与极限复习提纲
极限配合与技术测量基础教案
高等数学_课程教案
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章三角函数教学设计
第一章 函数与极限的练习解答
第一章 三角函数 教学设计
高等数学2课程教学大纲
1第一章 函数与极限答案
陕西省西安市高中数学 第一章《三角函数》复习教案 北师大版必修4
同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日(修改稿)
(完整版)《高等数学》课程教学大纲
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数教案
《高等数学A》课程教学大纲
《高等数学》教学大纲
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4