Matlab在复变函数中应用解读
Matlab在复变函数中应用
数学实验（一）
华中科技大学数学系
二○○一年十月
MATLAB在复变函数中的应用
复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的生成
在MATLAB中，复数单位为)1
j
i，其值在工作空间中都显示为
=sq rt
=
(-
0+。
.1
i
0000
1.1 复数的生成
复数可由i
z+
=。
a
=语句生成，也可简写成bi
a
z*
+
b
另一种生成复数的语句是)
exp(i
theta
r
=，也可简写成)
=，
z*
exp(theta
*
i
r
z*
其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵
创建复矩阵的方法有两种。
（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵
例如：)]
i
A*
*
i
i
=
+
3[i
*
-
+
*
,
),
23
5
33
6
exp(
2
3
,
exp(
9
（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式
例如：
)2,3(
re=；
rand
im=；
)2,3(
rand
im i re com *+=
]
5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i
i i i
i com ++++++=
注意 实、虚矩阵应大小相同。
2 复数的运算
1．复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real
返回复数x 的实部
)(x imag
返回复数x 的虚部
2．共轭复数
复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式
)(x conj
返回复数x 的共轭复数
3．复数的模和辐角
复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模
)(x angle
复数x 的辐角
例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1）
i
231
+ （2）i i i --131 （3）i
i i 2)52)(43(-+
（4）i i i +-2184
由MATLAB 输入如下：
]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=
=a
i i
i
i
0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0-----
)(a real %实部
=ans
0.2308
1.5000 –3.5000
1.0000
)(a imag
%虚部
=ans
–0.1538
–2.5000 –13.0000 –3.0000
)(a conj
%共轭复数
=ans
0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i
–3.5000+13.0000i
1.0000+3.0000i
)(a abs
%模
=ans
0.2774
2.9155 1
3.4629 3.1623
)(a angle
%辐角
=ans
–0.5880
–1.0304
–1.8228
-1.2490
4．复数的乘除法
复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。 例 复数的乘除法演示。 )3/exp(4i pi x *=
=x
i 4641.30000.2-
)5/exp(3i pi y *= =y
i 7634.14271.2-
)5/exp(31i pi y **=
=1y
i 7634.14271.2+
y x /
=ans
i 5423.02181.1-
1/y x
=ans I 3260.11394.0-
由此例可见，i 5/)( 相当于)5/()(i * ，和i *5/)( 不相等。
5．复数的平方根
复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。 调用形式
)(x sprt
返回复数x 的平方根值
6．复数的幂运算
复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。 例 求下列各式的值 )6/1()^1(-
=ans
0.8660+0.5000 i
7．复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。调用形式
exp(x返回复数x的以e为底的指数值
)
)
log(x返回复数x的以e为底的对数值
例求下列式的值（参见参考资料【4】P.68.2–15）。
log(i-
)
ans
=
0-
.1
5708
i
+
-
log(i
)
3
4
ans
=
6094
.1+
.2
i
2143
8．复数的三角函数运算
复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数
复数三角函数表
9． 复数方程求根
复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve 实现。见下面的例子. 例 求方程083=+x 所有的根（参见参考资料【4】P.32.1–16）。 )083^('=+'x solve
=ans [ –2]
)]2/1(^31[*-i
)]2/1(^31[*+i
3 留数
留数定义：
设a 是)(z f 的孤立奇点，C 是a 的充分小看邻域内一条把a 点包含在其内部的闭路，积分
?C dz z f i
)(21
π称为)(z f 在a 点的留数或残数，记作]),([Re a z f s 。在MATLAB 中，可由函数residue 实现。
residue 留数函数（部分分式展开）
),(],,[A B residue K P R =
函数返回留数，极点和2个多项式比值
)(/)(s A s B 的部分分式展开的直接项。
)()
()()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-= 如果没有重根，则向量B 和A 为分子、分母以s 降幂排列的多项式系数，留数
返回为向量R 、极点在向量P 的位置，直接项返回到向量K 。极点的数目
)()(1)(P len g th R len g th A len g th n ==-=。如果)()(A length B length <，则直接项系数
为空；否则1)()()(+-=A length B length K length 。如果存在M 重极点即有
)1()(-+==m j P j P 则展开项包括以下形式
m
j P s m j R j P s j R j P s j R ))(()
1())(()1()()(2--++
+-++- ),,(],[K P R residue A B = 有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B 和A 的多项式比的形式。
注意：数值上讲，分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。如果分母多项式)(S A 是一个近似有重根的多项式，则在数值上的一点微小变化，包括舍入误差都可能造成极点和留数结果上的巨大变化。因此使用状态空间和零点—极点表述的方法是可取的。
例 求如下函数的奇点处的留数。
z
z z 21
2
-+ 在MATLAB 实现如下
])0,2,1[],1,1([],,[-=residue k p r
=r 1.5000
–0.5000
=p
2
=k
[ ]
所以可得5.0
]0
),
(
[
Re
;5.1
]2
),
(
[
Re-
=
=z
f
s
z
f
s。例计算下面的积分
?
-C dz
z
z
1 4
其中C为正向圆周2
|
|=
z。（参见参考资料【4】P.158.例2）解：先求被积函数的留数
])
1
,0,0,0,1[
],
0,1
([
]
,
,[-
=residue
k
p
r
=
r
0.2500
0.2500
–0.2500–0.0000 i
–0.250+0.0000 i
=
p
–1.0000
1.0000
0.0000+1.0000 i
0.0000–1.0000 i
=
k
[ ]
可见在圆周2
|
|=
z内有四个极点，所以积分值等于
)
25
.0
25
.0
25
.0
25
.0(
2=
-
-
+
*
*pi。
4 Taylor级数展开
Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
函数)
(x
f在0x
x=点的Taylor级数开展为
+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^x x x f x x x f x x x f x x f
在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。 taylor 泰勒级数展开 )(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个附加参
数。
),(n f taylor 返回1-n 次幂多项式。 ),(a f taylor 返回a 点附近的幂多项式近似。
),(x r taylor
使用独立变量代替函数)(f findsym 。
例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12）。
（1）10,/12-=z z （2）4/0,pi z tgz =；
MATLAB 实现为： )1,2^/1(-x taylor
5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x
)4/),(tan(pi x taylor
=ans *+*-*+*-*+*-*+3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pi x pi x pi x
5)^4/1(15/644)^4/1(pi x pi x *-*+*-
例 再看下面的展开式 )10,/)(sin(x x taylor
=ans
8^362880/16^5040/14^120/12^6/11x x x x *+*-*+*-
展开式说明0=x 是此函数的伪奇点！
这里的taylor 展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB 中执行此命令前
应先定义符号变量
syms,，否则MATLAB将给出出错信息！
x
z
5 Laplace变换及其逆变换
1．Laplace变换
L=返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace变换。函数)
laplace
(F
返回默认为s的函数。如果)
F=，则Laplace函数返回t
F
(s
的函数)
L
L=。其中定义L为对t的积分
(t
s
F
t
L*
=。
s
*
-
(t
,0
i n f)
exp(
),
)(
int(
)
(t
F
l a p l a c e等价于
, L=以t代替s的Laplace变换。)
,
(t
)
F
laplace
F
t
t
x
-
=。
x
L*
*
,0
)
)(inf
exp(
),
int(
(
)
laplace
L=以z代替s的Laplace变换（相对于w的积分）。
w
F
)
(z
,
,
w
z
)
int(
(w
L*
(
=。
*
-
z
F
(z
,
)
)
w
,
exp(
),
,0
F
laplace等价于inf)例如：
syms a s t w x
)5^
laplace
(x
ans
=
120s
/
6^
paplace*
a
(exp(s
))
ans
=
t-
1a
/(
)
w
laplace*
x
(sin(t
),
)
ans
=
)2^2^/(w t w +
),),((t w w x cons laplace *
=ans
)2^2^/(x t t +
)),2/3(^(t sym x laplace
=ans
)2/5(^/)2/1(^4/3t pi *
))))((((''x F sym diff laplace
=ans
)0(),),((F s s x x F laplace -*
2．Laplace 逆变换
)(L ilaplace F =
返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换，默认返回t 的函数。如果)(t L L =，则ilaplace 返回x 的函数
)
(x F F =。)(x F 定义为对s 的积分
inf)inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s t s s L t F ；其中c 为选
定实数，使得)(s L 的所有奇点都在直线c s =的左侧。
),(y L ilaplace F = 以y 代替默认的t 的函数，且有),(y L i l a p l a c e 等价于
i n f )i n f ,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s y s y L y F 。这里y 是
个数量符号。
),,(x y L ilaplace F =
以x 代替t 的函数，),,(x y L ilaplace
等价于i n f )i n f ,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c y y x y L y F ，对
y 取积
分。
例如：
syms
t s
w
x
y
s
ilaplace
1(-
/(
))
1
ans
=
exp(t
)
1(+
/(
ilaplace
t
))
1
2^
ans
=
sin(x
)
ilaplace )
(?(x
t-
sym
2/5(
)),
ans
=
pi
/3/4x
)2/3(^
*)2/1(^
ilaplace)
y
w
y+
y
(x
/(
),
,
2^
2^
ans
=
cos)
w
(x
*
'
ilaplace(),
x
s
laplace
sym'
s
F
x
)
(x
,
,
),
),
(
(
ans
=
F()x
6 Fourier变换及其逆变换
1. Fourier积分变换
F=fourier(f) 返回以默认独立变量x对符号函数f的Fourier变换，默认返回w的函数。如果)
f=，则fourier 函数返回t的函数F=F(t)。定义
(w
f
F(w)int(f(x)*exp(inf),
x
w
-x
i为对x的积分。
,
inf,
),
*
*-
=F fourier (),v f 以v 代替默认值w 的Fourier 变换，且有fourier (),v f 等价于
F ()v = int inf)inf,,),**exp(*)((--x x v i x f 。
fourier ),,(v u f 以v 代替x 且对u 积分，且有fourier ),,(v u f ＜=＞F （v ）= int inf)inf,,),**exp(*)((--u u v i u f 。 例如：
syms t v w x
fourier （1/t ）
=ans
))()((**w Heaviside w Heaviside pi i -- ),),2?(exp(t x x
fourier - =ans
)2?*4/1e x p (*)2/1(?t
i p - fourier )),)((*)(exp(
v t Heaviside sym t ''- =ans 1/)*1(v i +
fourier ),)),)((((w x x F sym diff ''
=ans
),),((**w x x F fourier w i 2.Fourier 逆变换
)(F i f o u r i e r f = 返回以默认独立变量w 对符号函数F 的Fourier 逆变
换，默认返回x 的函数Fourier 逆变换应用于返回x 的函数，即由F=F )(w 推出
)(x f f =。如果F=F )(x ，则ifourier 函数返回t 的函数)(t f f =。定义
inf)inf,,),**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=w x w i w F pi x f ，对w 的积分。
),(u F ifourier f = 以u 代替x 的函数，且有ifourier ),(u F 等价于i n f )i n f ,,,**e x p (*)(i n t (*)*2/(1)(-=w u w i w F pi u f 对w 积分。
),,(u v F ifourier f = 以v 代替w 的Fourier 逆变换，且有),,(u v F ifourier ＜=
＞inf)inf,,**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=v u v i v F pi u f ，积分针对v 。
例如：
syms
t u w x
))((*)*3exp(*(''-w Heaviside sym w w ifourier
=ans
2)?*3/(/2/1t i pi -
u w
ifourier ),2?1/(1(+ =ans
)*)exp(*2/1)(*)exp(*2/1u Heaviside u u Heaviside u -=-
ifourier(v/(1+w )2∧,u) ans
i/(1+w )2∧*Dirac(1,u)
ifourier(sym(′fourier(f(x),x,w) ′),w,x) ans=
f(x)
matlab在统计数据的描述性分析的应用
统计数据的描述性分析 一、实验目的 熟悉在matlab中实现数据的统计描述方法，掌握基本统计命令：样本均值、样本中位数、样本标准差、样本方差、概率密度函数pdf、概率分布函数df、随机数生成rnd。 二、实验内容 1 、频数表和直方图 数据输入,将你班的任意科目考试成绩输入 >> data=[91 78 90 88 76 81 77 74]; >> [N,X]=hist(data,5) N = 3 1 1 0 3 X = 75.7000 79.1000 82.5000 85.9000 89.3000 >> hist(data,5)
2、基本统计量 1) 样本均值 语法: m=mean(x) 若x 为向量，返回结果m是x 中元素的均值； 若x 为矩阵，返回结果m是行向量，它包含x 每列数据的均值。 2) 样本中位数 语法: m=median(x) 若x 为向量，返回结果m是x 中元素的中位数； 若x 为矩阵，返回结果m是行向量，它包含x 每列数据的中位数3) 样本标准差 语法:y=std(x) 若x 为向量，返回结果y 是x 中元素的标准差； 若x 为矩阵，返回结果y 是行向量，它包含x 每列数据的标准差
std(x)运用n-1 进行标准化处理，n是样本的个数。 4) 样本方差 语法：y=var(x); y=var(x,1) 若x 为向量，返回结果y 是x 中元素的方差； 若x 为矩阵，返回结果y 是行向量，它包含x 每列数据的方差 var(x)运用n-1 进行标准化处理（满足无偏估计的要求），n 是样本的个数。var(x,1)运用n 进行标准化处理，生成关于样本均值的二阶矩。 5) 样本的极差（最大之和最小值之差） 语法：z= range(x) 返回结果z是数组x 的极差。 6) 样本的偏度 语法：s=skewness(x) 说明：偏度反映分布的对称性，s>0 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比左边的多；s<0,情况相反；s 接近0 则可认为分布是对称的。 7) 样本的峰度 语法：k= kurtosis(x) 说明：正态分布峰度是3，若k 比3 大得多，表示分布有沉重的尾巴，即样本中含有较多远离均值的数据，峰度可以作衡量偏离正态分布的尺度之一。 >> mean(data) ,
MATLAB数据分析与多项式计算(M)
第7章 MATLAB数据分析与多项式计算 6.1 数据统计处理 6.2 数据插值 6.3 曲线拟合 6.4 离散傅立叶变换 6.5 多项式计算 6.1 数据统计处理 6.1.1 最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max 和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。 1．求向量的最大值和最小值 求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是： (1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。 (2) [y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。 例6-1 求向量x的最大值。 命令如下： x=[-43,72,9,16,23,47]; y=max(x) %求向量x中的最大值 [y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置 2．求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是： (1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i 列上的最大值。 (2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。 (3) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。
例6-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。 3．两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为： (1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B 同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。 (2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。 min函数的用法和max完全相同。 例6-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。 6.1.2 求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。 sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。 例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。 6.1.3 平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为： mean(X)：返回向量X的算术平均值。 median(X)：返回向量X的中值。
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用 目录 1复数的生成 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2) 2..9MA TLAB极坐标绘图 (6) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7) 参考文献 (10)
复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。 1.复数的生成 复数的生成有两种形式。 a: z=a+b*i example1:>> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i b: z=r*exp(i*theta) example2: >> z=2*exp(i*30) z = 0.3085 - 1.9761i 2.复数的运算 2.1、复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real(x)返回复数的实部 imag(x)返回复数的虚部 example3: >> z=4+5*i; >> real(z) ans = 4 >> imag(z) ans = 5
复变函数论文
复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
Matlab对采样数据进行频谱分析
使用Matlab对采样数据进行频谱分析 1、采样数据导入Matlab 采样数据的导入至少有三种方法。 第一就是手动将数据整理成Matlab支持的格式，这种方法仅适用于数据量比较小的采样。 第二种方法是使用Matlab的可视化交互操作，具体操作步骤为：File --> Import Data，然后在弹出的对话框中找到保存采样数据的文件，根据提示一步一步即可将数据导入。这种方法适合于数据量较大，但又不是太大的数据。据本人经验，当数据大于15万对之后，读入速度就会显著变慢，出现假死而失败。 第三种方法，使用文件读入命令。数据文件读入命令有textread、fscanf、load 等，如果采样数据保存在txt文件中，则推荐使用 textread命令。如 [a,b]=textread('data.txt','%f%*f%f'); 这条命令将data.txt中保存的数据三个三个分组，将每组的第一个数据送给列向量a，第三个数送给列向量b，第二个数据丢弃。命令类似于C语言，详细可查看其帮助文件。文件读入命令录入采样数据可以处理任意大小的数据量，且录入速度相当快，一百多万的数据不到20秒即可录入。强烈推荐！ 2、对采样数据进行频谱分析 频谱分析自然要使用快速傅里叶变换FFT了，对应的命令即 fft ，简单使用方法为：Y=fft(b,N)，其中b即是采样数据，N为fft数据采样个数。一般不指定N，即简化为Y=fft(b)。Y即为FFT变换后得到的结果，与b的元素数相等，为复数。以频率为横坐标，Y数组每个元素的幅值为纵坐标，画图即得数据b的幅频特性；以频率为横坐标，Y数组每个元素的角度为纵坐标，画图即得数据b的相频特性。典型频谱分析M程序举例如下： clc fs=100; t=[0:1/fs:100]; N=length(t)-1;%减1使N为偶数 %频率分辨率F=1/t=fs/N p=1.3*sin(0.48*2*pi*t)+2.1*sin(0.52*2*pi*t)+1.1*sin(0.53*2*pi*t)... +0.5*sin(1.8*2*pi*t)+0.9*sin(2.2*2*pi*t); %上面模拟对信号进行采样，得到采样数据p，下面对p进行频谱分析 figure(1) plot(t,p); grid on title('信号 p(t)'); xlabel('t') ylabel('p')
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
Matlab大数据处理
Matlab大数据处理2：硬盘访问.mat文件 分类：Matlab Hack2013-09-08 20:16 146人阅读评论(0) 收藏举报Matlab程序中经常要访问.mat文件，通常在作法是用load函数直接加载.mat文件。如果.mat文件非常大，超过了系统可用内存的时候该怎么办呢？Matlab2013b为提供了matfile函数，matfile函数可以通过索引直接访问.mat文件中的Matlab变量，而无需将.mat文件加载入内存。 matfile有两种用法： m = matfile(filename)，用文件名创建matfile对象，通过这个对象可以直接访问mat文件中的matlab变量。 m = matfile(filename,'Writable',isWritable)，isWritable开启或关闭文件写操作。 使用示例： 1. 向mat文件中写入变量 x = magic(20); m = matfile('myFile.mat'); % 创建一个指向myFile.mat的matfile对象 m.x = x; % 写入x m.y(81:100,81:100) = magic(20); % 使用坐标索引
2. 加载变量 filename = 'topography.mat'; m = matfile(filename); topo = m.topo; %读取变量topo [nrows,ncols] = size(m,'stocks'); %读取stocks变量的size avgs = zeros(1,ncols); for idx = 1:ncols avgs(idx) = mean(m.stocks(:,idx)); end 3. 开启写权限 filename = 'myFile.mat'; m = matfile(filename,'Writable',true); 或者 m.Properties.Writable = true;
Matlab在复变函数中应用解读
Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月
MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand
im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下：
MATLAB统计分析与应用：40个案例分析
MATLAB统计分析与应用：40个案例分析 ISBN:9787512400849 分类号:C819 /115 出版社:北京航空航天大学出版社 【内容简介】 本书从实际应用的角度出发，以大量的案例详细介绍了MA TLAB环境下的统计分析与应用。 本书主要内容包括：利用MA TLAB制作统计报告或报表；从文件中读取数据到MA TLAB；从MA TLAB中导出数据到文件；数据的平滑处理、标准化变换和极差归一化变换；生成一元和多元分布随机数；蒙特卡洛方法；参数估计与假设检验；Copula理论及应用实例；方差分析；基于回归分析的数据拟合；聚类分析；判别分析；主成分分析；因子分析；图像处理中的统计应用等。 本书可以作为高等院校本科生、研究生的统计学相关课程的教材或教学参考书，也可作为从事数据分析与数据管理的研究人员的参考用书。 【目录】 第1章利用MA TLAB生成Word和Excel文档 1.1 组件对象模型(COM) 1.1.1 什么是CoM 1.1.2 CoM接口 1.2 MA TLAB中的ActiveX控件接口技术 1.2.1 actxcontrol函数 1.2.2 actxcontrollist函数 1.2.3 actxcontrolselect函数 1.2.4 actxserver函数 1.2.5 利用MA TLAB调用COM对象 1.2.6 调用actxserver函数创建组件服务器 1.3 案例1：利用MA TLAB生成Word文档 1.3.1 调用actxserver函数创建Microsoft Word服务器 1.3.2 建立Word文本文档 1.3.3 插入表格 1.3.4 插入图片 1.3.5 保存文档 1.3.6 完整代码 1.4 案例2：利用MA TLAB生成Excel文档 1.4.1 调用actxserver函数创建Microsoft Excel服务器 1.4.2 新建Excel工作簿 1.4.3 获取工作表对象句柄 1.4.4 插入、复制、删除、移动和重命名工作表 1.4.5 页面设置 1.4.6 选取工作表区域 1.4.7 设置行高和列宽 1.4.8 合并单元格 1.4.9 边框设置 1.4.10 设置单元格对齐方式
复变函数实验课(一)
湖北民族学院理学院 2014年春季学期 数学与应用数学专业复变函数实验课 （一）计算部分 上课教师：汪海玲
Matlab中复变函数命令集 定义符号变量Syms 虚单位z=Sqrt(-1) 复数表示z=x+y*i 指数表示z=r*exp(i*a) 求实部Real(z) 求虚部Imag(z) 求共轭Conj(z) 求模Abs(z) 求幅角Angle(z) 三角函数z=sin(z) z=cos(z) 指数函数z=exp(z) 对数函数z=log(z) 幂函数z=z^a 解方程expr=‘方程式’; Solve(expr) 泰劳展开Taylor(e,z) 求留数[r,p,k]=residue(p,q) 傅立叶变换Fourier(e,z,w) 逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z) 拉普拉斯变换Laplace(e,w,t) 逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)
一复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real返回复数x的实部 (x ) (x imag返回复数x的虚部 ) 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现。 调用形式 conj返回复数x的共轭复数 (x ) 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。 调用形式 abs复数x的模 ) (x angle复数x的辐角 ) (x 上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1. 4．复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 5．复数的平方根 复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。 调用形式 ) sprt返回复数x的平方根值 (x 6．复数的幂运算 x^，结果返回复数x的n次幂。 复数的幂运算的形式为n 上机操作：课本例题1.8 7．复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
复变函数总结
第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→
MATLAB-智能算法30个案例分析-终极版(带目录)
MATLAB 智能算法30个案例分析（终极版） 1 基于遗传算法的TSP算法（王辉） 2 基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法（史峰） 3 基于遗传算法的BP神经网络优化算法（王辉） 4 设菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱（王辉） 5 基于遗传算法的LQR控制优化算法（胡斐） 6 遗传算法工具箱详解及应用（胡斐） 7 多种群遗传算法的函数优化算法（王辉） 8 基于量子遗传算法的函数寻优算法（王辉） 9 多目标Pareto最优解搜索算法（胡斐） 10 基于多目标Pareto的二维背包搜索算法（史峰） 11 基于免疫算法的柔性车间调度算法（史峰） 12 基于免疫算法的运输中心规划算法（史峰） 13 基于粒子群算法的函数寻优算法（史峰） 14 基于粒子群算法的PID控制优化算法（史峰） 15 基于混合粒子群算法的TSP寻优算法（史峰） 16 基于动态粒子群算法的动态环境寻优算法（史峰） 17 粒子群算法工具箱（史峰） 18 基于鱼群算法的函数寻优算法（王辉） 19 基于模拟退火算法的TSP算法（王辉） 20 基于遗传模拟退火算法的聚类算法（王辉） 21 基于模拟退火算法的HEV能量管理策略参数优化（胡斐）
22 蚁群算法的优化计算——旅行商问题（TSP）优化（郁磊） 23 基于蚁群算法的二维路径规划算法（史峰） 24 基于蚁群算法的三维路径规划算法（史峰） 25 有导师学习神经网络的回归拟合——基于近红外光谱的汽油辛烷值预测（郁磊） 26 有导师学习神经网络的分类——鸢尾花种类识别（郁磊） 27 无导师学习神经网络的分类——矿井突水水源判别（郁磊） 28 支持向量机的分类——基于乳腺组织电阻抗特性的乳腺癌诊断（郁磊） 29 支持向量机的回归拟合——混凝土抗压强度预测（郁磊） 30 极限学习机的回归拟合及分类——对比实验研究（郁磊） 智能算法是我们在学习中经常遇到的算法，主要包括遗传算法，免疫算法，粒子群算法，神经网络等，智能算法对于很多人来说，既爱又恨，爱是因为熟练的掌握几种智能算法，能够很方便的解决我们的论坛问题，恨是因为智能算法感觉比较“玄乎”，很难理解，更难用它来解决问题。 因此，我们组织了王辉，史峰，郁磊，胡斐四名高手共同写作MATLAB智能算法，该书包含了遗传算法，免疫算法，粒子群算法，鱼群算法，多目标pareto算法，模拟退火算法，蚁群算法，神经网络，SVM等，本书最大的特点在于以案例为导向，每个案例针对一
第6章matlab数据分析与多项式计算_习题答案
第6章 MATLAB数据分析与多项式计算 习题6 一、选择题 1．设A=[1,2,3,4,5;3,4,5,6,7]，则min(max(A))的值是（）。B A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知a为3×3矩阵，则运行mean(a)命令是（）。B A．计算a每行的平均值 B．计算a每列的平均值 C．a增加一行平均值 D．a增加一列平均值 3．在MATLAB命令行窗口输入下列命令： >> x=[1,2,3,4]; >> y=polyval(x,1); 则y的值为（）。 D A．5 B．8 C．24 D．10 4．设P是多项式系数向量，A为方阵，则函数polyval(P,A)与函数polyvalm(P,A)的值（）。D A．一个是标量，一个是方阵 B．都是标量 C．值相等 D．值不相等 5．在MATLAB命令行窗口输入下列命令： >> A=[1,0,-2]; >> x=roots(A); 则x(1)的值为（）。 C A．1 B．-2 C． D． 6．关于数据插值与曲线拟合，下列说法不正确的是（）。A A．3次样条方法的插值结果肯定比线性插值方法精度高。 B．插值函数是必须满足原始数据点坐标，而拟合函数则是整体最接近原始数据点，而不一定要必须经过原始数据点。 C．曲线拟合常常采用最小二乘原理，即要求拟合函数与原始数据的均方误差达到极小。 D．插值和拟合都是通过已知数据集来求取未知点的函数值。 二、填空题 1．设A=[1,2,3;10 20 30;4 5 6]，则sum(A)= ，median(A)= 。 [15 27 39]，[4 5 6[ 2．向量[2,0,-1]所代表的多项式是。2x2-1 3．为了求ax2+bx+c=0的根，相应的命令是（假定a、b、c已经赋值）。为了
MATLAB在复变函数与积分变换的应用
本科毕业论文 题目：MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院：数学与计算机科学学院 班级：数学与应用数学2009级班 姓名： 指导教师：职称：副教授 完成日期：2013年05月10日
MATLAB在复变函数与积分变换的应用 摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助. 关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换
目录 1 引言 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算及积分计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace换变换及其逆变换 (8) 7 复变函数图形绘制 (9) 参考文献 (10)
1 引言 复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要. 在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令，或者可以建立一个M 文件，输入较大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因. 本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来，把复杂的计算交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担，缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量. 2 复常数的运算 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为： real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数 例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1) i 745+ (2) 5 23i e π (3) 57 37 ++i i 解：在编辑器中建立M 文件001.m 如下： format rat X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]
MATLAB智能算法30个案例分析
MATLAB 智能算法30个案例分析 智能算法是我们在学习中经常遇到的算法，主要包括遗传算法，免疫算法，粒子群算法，神经网络等，智能算法对于很多人来说，既爱又恨，爱是因为熟练的掌握几种智能算法，能够很方便的解决我们的论坛问题，恨是因为智能算法感觉比较“玄乎”，很难理解，更难用它来解决问题。 因此，我们组织了王辉，史峰，郁磊，胡斐四名高手共同写作MATLAB智能算法，该书包含了遗传算法，免疫算法，粒子群算法，鱼群算法，多目标pareto算法，模拟退火算法，蚁群算法，神经网络，SVM等，本书最大的特点在于以案例为导向，每个案例针对一个实际问题，给出全部程序和求解思路，并配套相关讲解视频，使读者在读过一个案例之后能够快速掌握这种方法，并且会套用案例程序来编写自己的程序。本书作者在线，读者和会员可以向作者提问，作者做到有问必答。 本书和目录如下： 1 基于遗传算法的TSP算法（王辉） TSP (旅行商问题—Traveling Salesman Problem)，是典型的NP完全问题，即其最坏情况下的时间复杂性随着问题规模的增大按指数方式增长，到目前为止不能找到一个多项式时间的有效算法。遗传算法是一种进化算法，其基本原理是仿效生物界中的“物竞天择、适者生存”的演化法则。遗传算法的做法是把问题参数编码为染色体，再利用迭代的方式进行选择、交叉以及变异等运算来交换种群中染色体的信息，最终生成符合优化目标的染色体。实践证明，遗传算法对于解决TSP问题等组合优化问题具有较好的寻优性能。 2 基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法（史峰） 遗传算法提供了求解非线性规划的通用框架，它不依赖于问题的具体领域。遗传算法的优点是将问题参数编码成染色体后进行优化，而不针对参数本身，从而不受函数约束条件的限制；搜索过程从问题解的一个集合开始，而不是单个个体，具有隐含并行搜索特性，可大大减少陷入局部最小的可能性。而且优化计算时算法不依赖于梯度信息，且不要求目标函数连续及可导，使其适于求解传统搜索方法难以解决的大规模、非线性组合优化问题。 3 基于遗传算法的BP神经网络优化算法（王辉） BP模型被广泛地应用于模式分类、模式识别等方面．但BP算法收敛速度慢，且很容易陷入局部极小点，而遗传算法具有并行搜索、效率高、不存在局部收敛问题等优点而被广泛应用．遗传算法的寻优过程带有一定程度的随机性和盲从性，多数情况下只能收敛到全局次优解，且有过早收敛的现象．为了克服遗传算法寻优过程的盲从性，将有监督学习的BP算法与之结合以达到优势互补、提高算法的稳定性和全局搜索能力的目的。 4 设菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱（王辉） Matlab 遗传算法(Genetic Algorithm)优化工具箱是基于基本操作及终止条件、二进制和十进制相互转换等操作的综合函数库。其实现步骤包括：通过输入及输出函数求出遗传算法主函数、初始种群的生成函数，采用选择、交叉、变异操作求得基本遗传操作函数。以函数仿真
matlab复变函数画图形
matlab复变函数画图形 第四篇计算机仿真 第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用 基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的, 本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的 验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展 开,Laplace 变换和Fourier变换, 21.1 复数运算和复变函数的图形 21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成 复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是 z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成 创建复矩阵有两种方法( (1)一般方法 例 21.1.1创建复矩阵的一般方法( 【解】仿真程序为 A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)] %运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i ,说明: %后为注释语句,不需输入)
(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵 【解】仿真程序为 re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im %运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i 0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算 1 复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下: real(z) 返回复数 z 的实部; imag(z) 返回复数 z 的虚部. 2 共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数. 3 复数的模与辐角 复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为: abs(z) 返回复数 z 的模; angle(z) 返回复数 z 的辐角. 例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角( 113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)( 【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i] %a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
实验一数据处理方法MATLAB实现
实验一数据处理方法的MATLAB实现 一、实验目的 学会在MATLAB环境下对已知的数据进行处理。 二、实验方法 1. 求取数据的最大值或最小值。 2. 求取向量的均值、标准方差和中间值。 3．在MATLAB环境下，对已知的数据分别进行曲线拟合和插值。 三、实验设备 1．586以上微机，16M以上内存，400M硬盘空间，2X CD-ROM 2．MATLAB5.3以上含CONTROL SYSTEM TOOLBOX。 四、实验内容 1．在MATLAB环境下，利用MATLAB控制系统工具箱中的函数直接求取数据的最大值或最小值，以及向量的均值、标准方差和中间值。 2．在MATLAB环境下，选择合适的曲线拟合和插值方法，编写程序，对已知的数据分别进行曲线拟合和插值。 五、实验步骤 1. 在MATLAB环境下，将已知的数据存到数据文件mydat.mat中。 双击打开Matlab，在命令窗口（command window）中，输入一组数据：实验一数据处理方法的MATLAB实现 一、实验目的 学会在MATLAB环境下对已知的数据进行处理。 二、实验方法 1. 求取数据的最大值或最小值。 2. 求取向量的均值、标准方差和中间值。 3．在MATLAB环境下，对已知的数据分别进行曲线拟合和插值。 三、实验设备 1．586以上微机，16M以上内存，400M硬盘空间，2X CD-ROM 2．MATLAB5.3以上含CONTROL SYSTEM TOOLBOX。 四、实验内容
1．在MATLAB环境下，利用MATLAB控制系统工具箱中的函数直接求取数据的最大值或最小值，以及向量的均值、标准方差和中间值。 2．在MATLAB环境下，选择合适的曲线拟合和插值方法，编写程序，对已知的数据分别进行曲线拟合和插值。 五、实验步骤 1. 在MATLAB环境下，将已知的数据存到数据文件mydat.mat中。 双击打开Matlab，在命令窗口（command window）中，输入一组数据： x=[1,4,2,81,23,45] x = 1 4 2 81 2 3 45 单击保存按钮，保存在Matlab指定目录（C:\Program Files\MATLAB71）下，文件名为“mydat.mat”。 2. 在MATLAB环境下，利用MATLAB控制系统工具箱中的函数直接求取数据的最大值或最小值，以及向量的均值、标准方差和中间值。 继续在命令窗口中输入命令： （1）求取最大值“max（a）”； >> max(x) ans = 81 （2）求取最小值“min（a）”； >> min(x) ans = 1 （3）求取均值“mean（a）”； >> mean(x) ans =