最新第一章习题答案
习 题
1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不
跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：
)sin()(?ω+=t a t u
对物体分离作受力分析: Fs mg t u
m -=)( 要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t u
m ≤)( 也就是2max )(ωa t u
g =≥ m
g g
a 0099.02
2
==
≤
∴
1-2
其拍频和周期。 解：最大振幅为8
最大振幅为2
1-4 长抗弯刚，
题1-4图
解：简支梁的等效刚度 m N l
EI
k e 53107.1448?==
左图系统等效于弹簧并联：
m N k k k e 51106.19?=+=
系统固有频率为：
s rad m
k n /701
==
ω 右图系统等效于弹簧串联：
m N k k kk k e
e
68.32=+=
系统固有频率为： s r a d m
k n /3.302
==
ω 1-5 降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。 解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动
固有频率s rad m
k
n /20==
ω 初始条件是：s m u
u 5.0)0(,0)0(== 则系统的振幅025.0)0()0(2
22
=+
=n
u
u a ω
故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 4
2102?=+=+=
1-6
s
n g
m k δω=
=
初始条件是：0)0(,)0(u U
U s -=-=δ 则系统的振幅2
22
)0()0(n
u
u a ω +
=
初相位???
?
??=00u u artg ω? 那么系统的位移响应为)sin()(?ω+=t a t u 系统首次经过平衡位置，也即0)(=t u ，于是有： ???
? ?????? ??-=-=
00u u a r t g g t s ωπδω?π 1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
证明：1=ε时
t
n -21t )e a (a u(t)ω+=
式中0 t
n e
ω-，而t a 21a +单调，故对任意21,a a ，也即任意初始条件u(t)至
多 有一次过平衡位置；
1 ε时
?
??
? ?
?+=+=??
? ?
?
-+-??
? ??---??
? ??---??
? ??-+-2121112112222)(a e a e
e
a e
a t u t
t
t
t
n n n n ωξζωξζωξζωξζ
式中012 t
n e
ωξξ??
? ??---，而21
212a a e
t n +-ξω单调，故对任意21,a a ，也即任意
初
始条件u(t)至多有一次过平衡位置；
1-8 自由振动20个循环后，
c 及20个循环内阻尼力所耗能量。 解：静平衡时：
s k δ=mg m N k /104
= 系统固有频率s rad g m k s
n /6.31===
δω 自由振动20个循环有：
4ln 10
161064ln A A ln 203
3
201=??==--δ 此时0729.0=δ
又πξδ2=，ξωn m c 2=
则s m N m c n ?=??==97.714.3/0792.06.3110/πδω 20个循环内阻尼力所耗能量 J kA kA k 192.02
1212221=-=
?
1-9 在零初始条件下被简谐力()52.5sin(1030)N f t t =-激发的响应。 解：系统的运动方程为：
()()()mu t ku t f t ω?+=-
初始条件是：0)0(,0)0(==u
u 令方程特解为：)sin()(?ω-=*
t B t u d 其中)
()(2
2
20
ωωc m k f B d +-=
由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为：
)3010sin(01.0)3010sin(10
5.1770005.52)sin()(0
02
20-=-?-=--=
*t t t m k f t u ?ωω
1-10
(1)
(2) (3)
解：s rad m k n /3010090000===
ω 4.030
10022400
2=??==ωξm c
(1) 当ωω=n 时
301025.130
10004.290
-?=??==ωc f B d (m) n ωωλ=
(2) 振幅最大时激振频率
s r a d n /7.244.021302122=?-?=-=ξωω
(3) 振幅最大时激振频率221ξωω-=n
{}2
02
222
22
2
20
12)2()()
()(max ξξωξωωωωωω-=
+-=
+-=B B c m k f B n n n d
{}2
222222222264.0)1(36.14.014.02)4.02()1(12)2()1(max λλλλξξξλλ+-=-???+-=
-+-=d d B B 其中n
ωω
λ=
1-11 一质量为m 的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为d ω
，在简谐激振力作
用下位移共振的激振频率为ω。求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。 解：位移共振时
221ξωω-=n
又2
1ξωω-=n d 那么n ω=
阻尼比2
2222ωωω-==d n m m c