凸包及最小外围矩形
题目简述：
給出一个平面点集S，求一个面积最小的矩形使其包含S所有的点。
预备知识：
在求解这道题之前我们先要了解一些关于凸包的知识。
什么是凸包？简单地说，对于一个平面点集S，我们把完全包含该点集的最小的凸多边形叫做点集S的凸包H。
凸包一个很重要的性质就是它“凸”的性质。这个性质对我们理解和计算凸包都有很大的帮助。
I）对点集S中任意一点a，当且仅当存在直线p过a点并使得S中除a外所有点均在p的一侧，则a为凸包上的一顶点。
II）对点集S中任意两点a,b，当且仅当S中除a,b以外所有点都在过点a,b 的直线p的一侧，则线段ab为凸包上的一条边。
III）对点集S中任意四点a,b,c,d，当d在三角形abc中（包括边），则d不是凸包上的点。
上面的几条关于凸包“凸”的性质为我们计算凸包提供了一个基础。这里我们将介绍两种简单且被广泛运用的算法――Gift-Wrapping和Graham-Scan算法。
Gift-Wrapping算法：
通过性质（I），我们可以找到一个特殊点，如具有最小y坐标且x坐标尽可能小的点。将它作为计算凸包的第一个顶点。确定了起点后，我们就可以通过Gift-Wrapping算法计算出点集的凸包。下面的步骤很直观的描述了这个算法：
1）把点集中所有点都看成是固定在平面上的柱子，想象我们在起始点柱子上系上一根身子。
2）把绳子沿水平方向向右拉直，并逆时针旋转，当绳子碰上一根柱子，则对应了凸包上
的一点
3）继续旋转绳子，每次确定一个凸包上的顶点，直至绳子回到起点。
图一：Gift-Wrapping算法计算凸包的过程
每次通过旋转绳子找到下一个凸包顶点需要对点集中所有剩余点进行一次比较，所以这
一步的时间复杂度是O（n）。每个凸包上的顶点都需要进行一次旋转操作，而最坏情况下，凸包顶点个数可以和点集个数相等，所以整个Gift-Wrapping算法的时间复杂度是O（n2）的。
Graham-Scan算法：
Gift-Wrapping算法无论从理解还是从实现上来说，它都是十分简单的。但由于它的复杂度并不理想，我们无法利用它来求解大规模的凸包问题。因而，我们将介绍一种高效的计算凸包的算法――Graham-Scan。
Graham-Scan算法主要可分成两部分：
1）同Gift-Wrapping一样，需要先找出一个起始点。将这个点作为原点，进行夹角排序。
2）先将起始点压入堆栈H中，再按照已经排好的顺序对每一个点进行扫描，同时维护堆栈H。这个堆栈表示的是到目前为止，所有已经扫描过的点对应的凸包。每当扫描一个点p 的时候：
a) 如果堆栈的元素少2个或者堆栈顶端的两个点与p构成左转关系，则将p压入堆栈中。
b) 否则，栈顶元素出栈并继续进行a的判断。
当所有点都扫描完后，堆栈H即为我们要求的凸包。
图二：Graham-Scan算法的扫描过程（堆栈H储存的即实线连接起来的点）
分析Graham-Scan的复杂度：第一步中找出起点并进行极角排序的复杂度是 O（n log n）。第二步中每一个点仅会被扫描一次并相应维护一次堆栈H 。而维护堆栈过程中每次访问堆栈H中的点，要么这个点被删除，要么就停止堆栈的维护，所以所有堆栈维护加起来最多只访问了2n次。故这部分的复杂度是O（n）。综合起来，Graham-Scan算法的时间复杂度是O（n log n）的。
算法分析：
现在考虑这道题目，题目要我们求出一个最小面积的矩形能够覆盖给定的所有点。易知矩形覆盖所有点当且仅当它覆盖这些点的凸包。故而，问题可以转化为对于一个凸包，求出一个面积最小的矩形来覆盖它。
那么这个覆盖凸包的最小矩形有什么性质呢？
首先，这个矩形的四条边上必然都有凸包的顶点。这个很容易想清楚，如果矩形的某条边没有碰上凸包的顶点，那么我们一定能把这条边向里压，从而得到一个更小的满足条件的矩形。
其次，这个矩形至少有一条边与凸包上的一边重合。这个性质不容易直观地想清楚，需要书面证明一下。由于完整的证明需要分成很多情况来讨论，比较繁琐，所以这里仅选取其中的一种情况来证明，其他情况可以类似地进行证明。
利用反证法，我们假设覆盖凸包的最小矩形所有边都没有和凸包的边有重合，也就是说，最小矩形的每条边上仅有一个凸包的顶点。如图三所示，矩形ABCD是覆盖凸包的最小矩形，M、N、P、Q为凸包在矩形四条边上的顶点。我们分别作MM’⊥ CD,NN’⊥ AD。则矩形ABCD 的面积S = MP×Cos(∠PMM’)×NQ×Cos(∠QNN’)。我们将矩形旋转X度（顺时针为正，逆时针为负），仍使矩形覆盖凸包且M、N、P、Q分别在它的四边上。则此时新矩形的面积S = MP×Cos(∠PMM’+ X)×NQ×Cos(∠QNN’- X) 。我们仅需考虑Cos(∠PMM’+ X)×Cos(∠QNN’- X)的单调性。
Cos(∠PMM’+ X)×Cos(∠QNN’- X)
= 1/2[Cos(∠PMM’+ X + ∠QNN’- X) + Cos(∠PMM’+ X - ∠QNN’+ X)]
= 1/2[Cos(∠PMM’+ ∠QNN’) + Cos(∠PMM’- ∠QNN’+ 2X)]
∵0≤∠PMM’＜π/2 , 0≤∠QNN’＜π/2
∴-π/2 ＜∠PMM’- ∠QNN’＜π/2
∴Cos(∠PMM’- ∠QNN’)不可能取到最小值
∴x在0左边的一个区间中f(x) = Cos(∠PMM’- ∠QNN’+ 2X)递增，或x在0右边一个区间中f(x) = Cos(∠PMM’- ∠QNN’+ 2X)递减。
因而，对于这样的矩形，我们总可以顺时针或逆时针旋转一个小角度，从而获得一个更小的矩形，这与假设矛盾。故最小矩形至少有一条边与凸包一边重合。
了解到最小矩形所具有的这两个性质后，我们就能够很容易的想到一种算法，枚举凸包上哪条边与矩形的边重合，再找出在这条直线投影的正负方向上最远的和到直线距离最远的三点，从而确定和计算出矩形的面积，最后选取最小值，即为覆盖凸包的最小矩形的面积。
我们用最朴素的方法去实现它，枚举每条边后再把剩余的点都扫描一遍，来找出另外三点，计算出矩形的面积。这样做时间复杂度是O（n2）得。就本题来说已经可以接受了。但如果规模再大一点，怎么办呢？我们能不能做得更好呢？
答案是能！我们还有一个很重要的信息没有利用到，对凸包上任意一条边，依次计算出凸包顶点到它的距离或投影距离，构成的序列总是一个先增再降的。同时，注意到如果逆时针顺序枚举重合的边时，每次找出来的另外三点也总是在向逆时针方向移动。
由此，我们就得到了一个更加高效的算法。枚举过程中，逆时针旋转到下一条边后不需要再重新扫描所有点，只要分别从上一条边确定的三点出发，向后比较，找到最大值，来更新这三个点即可。
在枚举过程中，三个点的指针都只会对每个顶点访问一次，所以这个过程的平摊复杂度是O （n）的。结合前面计算凸包的过程，在O（n log n）的时间内我们就能够圆满地解决这题了。
了解到最小矩形所具有的这两个性质后，我们就能够很容易的想到一种算法，枚举凸包上哪条边与矩形的边重合，再找出在这条直线投影的正负方向上最远的和到直线距离最远的三点，从而确定和计算出矩形的面积，最后选取最小值，即为覆盖凸包的最小矩形的面积。
蛮力法求解背包问题
/*程序说明：此程序用来解决蛮力法求解背包问题,运行程序输入背包容量和物品数量，屏幕打印运算过程，最后运算时间输出到文件*/ 先看下运行图片
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第65讲 凸集与凸包(原)
第65讲凸集与凸包 本节主要内容是：凸集、凸包的概念以及用凸集凸包来解有关的题．凸集：平面上的点集，如果任何两点在这个点集内，则连这两点的线段上的所有的点也在此点集内，就说该点集是一个凸集． 线段、射线、直线、圆及带形、整个平面等都是凸集． 两个凸集的交集还是凸集；任意多个凸集的交集也仍是凸集． 凸包：每个平面点集都可用凸集去盖住它，所有盖住某个平面点集的凸集的交集就是这个平面点集的凸包． 或者可以形象地说：如果把平面上的点集的每个点都插上一根针，然后用一根橡皮筋套在这些针外，当橡皮筋收紧时橡皮筋围出的图形就是这个点集的凸包． 平面点集的直径平面点集中的任意两点距离的最大值称为这个平面点集的直径． 例如，圆的直径就是其直径，有无数条；线段的直径就是其本身；正三角形的三个顶点组成的点集的直径就是其边长，有三条；平行四边形的直径是其较长的对角线；…． A类例题 例1定理任何一个平面点集的凸包是存在且唯一的． 分析存在惟一性的证明，即证明满足某条件的集A存在且惟一存在．通常先证明存在性，即证明有满足条件的集合A．再用反证法证明惟一性，即若满足条件的集A不惟一，或说明会引出矛盾，或得出其余集均必需与A相等的结论． 证明由于全平面是一个凸集，故任何平面点集都可用全平面盖住，即能被凸集盖住，从而盖住该凸集的所有凸集的交集存在，即凸包存在．而如果某个凸集A有两个凸包M1与M2，则M1∩M2也能盖住凸集A，且M1∩M2?M1，但M1是A的凸包，故M1?M1∩M2，故M1∩M2＝M1．同理M1∩M2＝M2．即M1＝M2．
例2 定理 如果一个点集M 是由有限个点组成，且其中至少有三个点不共线，则M 的凸包是一个凸多边形． 分析 可以构造一个寻找凸包的方法，来说明命题的正确性． 证明 由于M 为有限点集，故存在一条直线l ，使M 中的一个或几个点在l 上，其余的点 都在l 同旁(这只要任画一条直线，如果点集M 中的点在直线l 的两旁，则让直线按与此直线垂直的方向平移，即可得到满足要求的直线)． 取l 上的两个方向中的一个方向为正向，此时，按此正向，不妨设M 中不在l 上的点都 在l 的左边．在l 上沿其正向找出M 中的最后一个点A 1，把l 绕A 1逆时针旋转，直到遇到M 中的另外的点，又找出此时l 上的M 中的最后一个点A 2，此时再让l 绕A 2逆时针旋转，依此类推，直到最后绕A k 旋转又遇到A 1为止(由于M 是有限点集，故这样的旋转不可能一起下去)．这时，凸多边形A 1A 2…A k 即为M 的凸包． 情景再现 1．证明圆面(圆及圆内所有的点组成的集合)是凸集． 2．平面上任意给定5个点，其中任三点不共线，则可选出4个点，这四点能构成一个凸四边形的四个顶点． B 类例题 例3 海莱定理： 定理(海莱定理) 对于若干个(个数n ≥3)凸集，如果任意三个凸集都有一个公共点，那么存在一个点同时属于每个凸集． 分析 先证明简单情况，再用数学归纳法证明本定理． 证明 对于n ＝3，显然成立． 当n ＞3时，先取4个这样的凸集．F 1，F 2，F 3，F 4． A A A A 123k l l 1
分支限界法求解背包问题
分支限界法求解背包问题 /*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包 剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/ 分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe #i nclude
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蛮力法、动归、贪心、分支限界法解01背包问题剖析
算法综合实验报告 学号： 1004121206 姓名：林 一、实验内容： 分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： 1、蛮力法 1.1数据结构 注：结构体obj用来存放单个物品的价值和重量 typedef struct obj { int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }; 1.2 函数组成 void subset(int s[][10],int n)：用来生成子集的函数 void judge(int s[][10], obj obj[],int mark[],int n,int c)：判断子集的可行性 int getmax(int mark[],int n,int &flag)：求解问题的最优解 void outputObj(int flag,int s[][10],int n):输出选择物品的情况 1.3 输入/输出设计 本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。 1.4 符号名说明
符号说明 S[][]存放子集 mark[]记录子集的可行性 n物品的个数 c物品的容量 max记录背包所能产生的最大价值 flag记录能产生最大价值的子集的编号 1.5 算法描述 算法的伪代码描述如下： 输入：背包的容量c,物品的个数n,n个物品的重量 w[n],价值v[n] 输出：装入背包的物品编号以及产生的最大价值 1.初始化最大价值 max=0,结果子集 s=φ; 2.对集合{1,2,......n}的每一个子集T，执行下述操作： 2.1初始化背包的价值 v=0，背包的重量 w=0; 2.2对子集t的每一个元素j 2.2.1 如果w+wj 凸包成形 (1)高凸包成形方法： 在MB板等产品上经常可以看到一些高度较高的凸包，如图（A）所示。 (2). 成形方法 产品的凸包高度（H）比较高，在一次抽凸成形时容易拉破。为了避免发生拉破现象 保证产品成形以后的形状尺寸，一般要分两步成形。 第一步：抽弧形。如上图(B),注意以下几个重点： A. 产品抽弧成形后的c和d两点间的周长L1(由三段弧长相加)应稍大于产品要求的 断面中a和b两点间的周长L2（a和b参见图A），一般L1＝L2+(0.2~0.8)mm. B. 下模入子c和d两点间的直线距离等于产品要求的断面中a和b两点间的直线距离D5。 C. 闭模时保证图中半径为r1的圆弧与下模最小间隙为产品材料厚度的百分之六十（T＊60%）。 第二步：整形。 有两种不同的整形方法。如图(C)和图(D)，一般用图(C)方法，凸包外形要求不高 时用图(D) 方法 (3). 确定抽弧形时冲子尺寸的步骤和方法： A. 根据产品要求的形状和尺寸确定下模入子内孔的形状尺寸。如图（E） 注意：a.C和d点间的直线距离等于产品要求的断面中a和b两点的直线距离D5。 b.入子内孔中圆弧半径r1的大小一般在1~3mm之间（含1和3mm）,以0.5mm 为一阶。初步确定取r1等于产品断面中相应处的半径r. B. 初步产品抽弧形时的外形尺寸： a. 如图（f）所示，以3点（下与下模入子内孔两r1圆弧的切点及抽凸底部的中点（g）作圆。 b. 经过修剪如图（g）所示，测出点c和点d间三段圆弧的总长度L1。 c. 如果此三段弧总长L1小于产品要求的断面中a和b两点间的周长L2，则通过把抽凸底部中点g向下移动一段距离h（h可以0.5mm为一阶）后得出点h,重新过三点作圆，如图（h）所示。 d. 重复步骤3.2.2.2和步骤3.2.2.3，直到满足L1＝L2+（0.2~0.8）mm。通过此方法求出产品抽弧形时的外形尺寸 C. 确定抽弧形冲子端部球体半径的方法： a. 以第3.3.2步确定的产品抽弧形时的外形尺寸偏移一个材料厚度。如图(I) b. 以下模入子内孔中半径为r1的两圆弧偏移T＊0.6%。如图(I) c. 用三点作圆的方法画出与步骤3.3.3.1和步骤3.3.3.2中确定的三段弧相切的 圆，此圆的半径R就是抽弧形冲子端部球体的半径R（取小数点后一位小数，但标注尺寸时精确到小数点后两位）。如图（J） D. 确定抽弧形冲子身部直径 a. 如果(B)确定的圆球心在产品材料上表面(即上脱板与材料接触面)以上时，圆球与产品材料上平面相交，就得出抽弧形部子身部的断面。如图(K)所示，D9 就是所求的抽弧形冲子身部的直径。 b.如果(B)确定的圆球圆心在产品材料上表面(即上脱板与材料接触面)与下表面 之间，就取抽弧形冲子的身段直径D9等于圆球的直径(即D9=2*R)，抽弧形 冲子的端部形状就是一半球体。如图(I) c. 如果(B)确定的圆球圆心在产品材料下表面(即下模板与材料接触面)以下时，必须请主管决定。 凸包问题 摘要：凸包问题是计算机几何中的一个经典问题，它要求将平面内的点集用最少的凸点将所有的顶点封闭。凸包问题的应用十分广泛，很多最优化问题经过抽象后可以发现它最终是凸包问题模型；它还可以用于人际关系网络的最小化搜索，通过人际关系，可以合理推断出某人的身份，职位等个人特征。目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris 步进法。其中穷举法与蛮力法都是建立在穷举的算法思想上，它们的时间复杂度比较大，格雷厄姆扫描法采用几何方面的知识，降低了求解过程的时间复杂度。关键词：凸包问题；计算机几何；格雷厄姆扫描法 一、引言 凸包问题的完整描述：令S 是平面上的一个点集，封闭S 中所有顶点的最小凸多边形，称为S 的凸包，表示为CH（S）。如下图一所示，由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。 图一 凸包问题是计算机几何的一个经典问题，它可以解决很多优化模型，目前目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris步进法。本文主要讨论穷举法，蛮力法，以及格雷厄姆扫描法，通过算法思想的描述，计算出相应的时间复杂度，比较这几种算法的优劣。 二、穷举法 穷举法的思想很简单直接，它利用凸包性质—如果点集中的两个点的连线属于凸多边形的边，当且仅当点集中其余的点都在这两个点连线的同一侧。 假设点集合S 中有n 个顶点，则这n 个顶点共可以构成(1) 2n n -条边，对于任何一条边来讲，检查其余的n-2 个点的相对于该直线段的正负性。如果它们有相同的正负性，说明该边是凸多边形的边，反之就不属于凸多边形，继续检查。算法流程图如下： 不相同 相同 N Y 图二：算法流程图 上述算法（穷举法）需要执行n(n-1)/2 次，再次检查n-2 个点的正负性，故算法 时间复杂性为2(1)2 n n -∑=3()o n 。显然这并非一个高效的算法凸包问题有许多更加有效的算法可以达到log n n 的渐近时间复杂度。 三、蛮力法 开始 从点集S 中取出两个顶 点u ，v 判断其余的n-2 个点的相对于该直线段的正负性 判断执行次数是否 大于(1)2n n - 把u ，v 加入凸包 结束 背包问题求解方法综述 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 算法分析与设计大作业 实验题目：0-1背包问题求解方法综述 组员： 班级： 指导老师： 0-1背包问题求解方法综述 【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生活 中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐述，然后 用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求 解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征,建立了 求最优值的递归关系式。最后对四种算法从不同角度进行了对比和总 结。 【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。 0.引言 0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n), 再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物 品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物品要么装入,要么不装入。 很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问 题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划 法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟 退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复 杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。 背包问题描述 0-1背包问题(KP01)是一个着名的组合优化问题。它应用在许多实际领域,如项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。 为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。解决背包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子算法等一些智能算法。 0-1背包问题一般描述为：给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w(i)，其价值为v(i)，背包的容量为c 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？ 在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。因此，该问题称为0-1背包问题。 此问题的形式化描述是，给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，，要求找出一个n 元0-1向量n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得c x w i i i ≤∑=n 1 ，而且i n i i x v ∑=1 达到最 大。 数学模型：∑=n i i i x v 1max 算法分析与设计大作业 实验题目：0-1背包问题求解方法综述组员： 班级： 指导老师： 0-1背包问题求解方法综述 【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实 生活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐 述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问 题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构 特征,建立了求最优值的递归关系式。最后对四种算法从不同角度进 行了对比和总结。 【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。 0.引言 0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量 wi(i=1,2,…,n),再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物 品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物 品要么装入,要么不装入。很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资 调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包 问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子 群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。 其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现 局部收敛,不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进, 提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解, 是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。 1.0-1背包问题描述 0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域, 如项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放 置于给定背包中。本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方 法。 为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。解决背 包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、 分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子 算法等一些智能算法。 算法分析与设计 课程设计 题目：凸包问题 所属专业：信息与计算科学 年级：1121102 学生姓名：江浩2011213361 学生姓名：张鸿2011213363 学生姓名：杨永涛2011213374 指导教师：于洪 评定成绩： 关于凸包问题的分析与求解 摘要 本文针对凸包问题进行分析和讨论，首先对凸包进行定义性描述并对其做具体分析，它要求将平面内的点集用最少的凸点来封闭，然后给出其具体模型，并对模型进行分析和求解，最后我们讨论几种求解算法（包括穷举法，蛮力法和分治法）的优劣性并给出问题的算法代码。 关键词：凸包问题穷举法分治法 一．引言 凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的多边形，它能包含点集中的所有点。 凸包问题的完整描述如下： 令S 是平面上的一个点集，封闭S 中所有顶点的最小凸多边形，称为S 的凸包，表示为CH（S）。如下图一所示，由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。 图一 凸包问题是计算机几何的一个经典问题，它可以解决很多优化模型，目前目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris步进法。本文主要讨论穷举法，蛮力法，以及格雷厄姆扫描法。 二．问题分析 根据前面的描述我们先分析以下几种算法的特点： 1.穷举法 穷举法的思想很简单直接，它利用凸包性质—如果点集中的两个点的连线属于凸多边形的边，当且仅当点集中其余的点都在这两个点连线的同一侧。 假设点集合S中有n个顶点，则这n个顶点共可以构成 (1) 2 n n- 条边，对于任何一条边来讲， 检查其余的n-2 个点的相对于该直线段的正负性。如果它们有相同的正负性，说明该边是凸多边形的边，反之就不属于凸多边形，继续检查。穷举法需要执行n(n-1)/2次，再次检查n-2 个点的正负性，故算法时间复杂性为 2(1) 2 n n- ∑=3() o n。显然这并非一个高效的算法凸包 问题有许多更加有效的算法可以达到log n n的渐近时间复杂度。 算法流程图如下： 本科实验报告 课程名称：算法设计与分析 实验项目：递归与分治算法 实验地点：计算机系实验楼110 专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真 指导教师：郝晓丽 2018年05月04 日 实验一递归与分治算法 1.1 实验目的与要求 1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境； 2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。 1.2 实验课时 2学时 1.3 实验原理 分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。 需要注意的是，分治法使用递归的思想。划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。 1.4 实验题目 1．上机题目：格雷码构造问题 Gray码是一个长度为2n的序列。序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。 对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。 （1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。 （2）序列中无相同的编码。 （3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。 2．设计思想： 根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。两位是00 01 11 10。三位是000 001 011 010 110 111 101 100。n位是前n-1位的2倍个。N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。 3．代码设计： [汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01 背包问题 一、实验内容: 分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。 C注:0/1背包问题:给定种物品和一个容量为的背包，物品的重量ni 是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背wvii 包中的物品的总价值最大。其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析: 1.蛮力法求解0/1背包问题: 1)基本思想: 对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。 2)代码: #include }a[N]; bool m(goods a,goods b) { return (a.p/a.w)>(b.p/b.w); } int max(int a,int b) { return a 实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1 背包问题 实验目的 1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同； 2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。 实验内容： 0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup; wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数 int c;//背包的总重量 1、蛮力法 蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。 用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。 所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法： ?????≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1） ∑=n i i i x v 1max （式2） 凸包成形冲模设计https://www.360docs.net/doc/1515363392.html,/Sheetmatal/Article60603_2.htm l 产品形状 在钣金产品上经常可以看到一些高度较高的凸包，如图1所示。 2 成形方法 产品的凸包高度H比较高，在一次抽凸成形时容易拉破。为了避免发生拉破现象，保证产品成形以后的形状尺寸，一般要分两步成形。 第1步：抽弧形。如图2所示，注意以下几个重点。 (1)产品抽弧成形后的c和d两点间的周长L1。(由3段弧长相加)应稍大于产品要求的断面中a和b两点间的周长L2(a和b参见图1)，一般L1=L2+(0．2—0．8)mm。 (2)下模镶块c和d两点间的直线距离等于产品要求的断面中a和b两点间的直线距离 D5。 (3)闭模时保证图2中半径为r1的圆弧与下模最小间隙为产品材料厚度的60％(Tx60％)。 第2步：整形。 有两种不同的整形方法。如图3和图4，一般用图3方法，凸包外形要求不高时用图4方法。 3 确定抽弧形时凸模尺寸的步骤和方法 (1)根据产品要求的形状和尺寸确定下模镶块内孔的形状尺寸，如图5所示。 注意：①c和d点间的直线距离等于产品要求的断面中a和b两点的直线距离D5； ②镶块内孔中圆弧半径rl的大小一般在1～3mm之间(含1mm和3mm，以0．5mm为一阶)。初步确定取r1等于产品断面中相应处的半径。 (2)初步产品抽弧形时的外形尺寸： ①如图6所示，以3点(下与下模镶块内孔两r1圆弧的切点及抽凸底部的中点g作圆； ②经过修剪如图7所示，测出点c和点d间3段圆弧的总长度L1； ③如果此3段弧总长L1小于产品要求的断面中a和b两点间的周长L2，则通过把抽凸底部中点g向下移动一段距离h(h可以0．5mm为一阶)后得出点H，重新过3点作圆，如图8所示； ④重复以上两个步骤画弧，直到弧长满足Ll=L2+(0．2-0．8)mm。如此即可求出产品抽弧形时的外形尺寸。 算法设计与分析 项目名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题 作者姓名：余武丹 李红波 刘红梅 完成日期：2013年9月20日 目录 第一章：简介（Introduction） 第二章：算法定义（Algorithm Specification） 第三章：测试结果（Testing Results） 第四章：分析和讨论 第一章：简介（Introduction ） 0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup; wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数 int c;//背包的总重量 第二章：算法定义（Algorithm Specification ） 1、蛮力法 蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。 用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。 所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法： void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集 { int i,j; int n=16; int m,t; for(i=0;i<16;i++) ????? ≤≤∈≤∑=) 1(}1,0{1 n i x C x w i n i i i （式1） ∑=n i i i x v 1 max （式2） 实验项目三用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题 实验目的 1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同； 2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。 实验内容： 0/1背包问题是给定n个重量为{w1,w2, …,wn}、价值为{v1,v2, …,vn}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。 根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： n w ix i C i 1 x i{0,1}(1i n)（式1） （式2） max v ix i i 1 n 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X=(x1,x2, …,xn)。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup; wupwp[N];//物品的数组，N为物品的个数 int c;//背包的总重量 1、蛮力法 蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。 用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。 所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集 { int i,j; int n=16; int m,t; for(i=0;i<16;i++) {t=i; for(j=3;j>=0;j--) { m=t%2; a[i][j]=m; t=t/2; } } for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组 { 图节点着色问题中的禁忌搜索算法 09-03-25 作者：编辑：校方人员 图节点着色问题是组合最优化中典型的非确定多项式(NP)完全问题，也是图论中研究得最久的一类问题。目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、Welsh-Powell算法、神经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。综合比较各种算法，前两种算法是精确算法，但时间复杂性太大；后三种属于近似算法，虽然时间复杂性可接受，能够得到较好的近似解，但算法本身过于复杂，算法效率难以保证。 本文采用禁忌搜索算法，它同时拥有高效性和鲁棒性。禁忌搜索是一种全局逐步寻优的人工智能算法，它常能有效的应用于一些典型NP问题，如TSP。但禁忌搜索存在一些参数较难设置，这也是应用于通信系统时研究的热点。本文提出针对着色问题的禁忌搜索的具体设计方案，较好的设置了参数，并优化了数据结构，通过实验比较得到了较好的效果。最后提出通过领域简单的变化，禁忌搜索能较好的用于一般算法难以实现的List着色问题。 1图节点着色问题 图的着色问题可分为边着色、顶点着色、List着色和全着色，其中最主要的 给定一个无向图G=(V,E)，其中V是节点集V={1,2,…n}，E是边集，其中(i,j)表示有连接(i,j)的一条边。若，且V i内部的任何两个节点没有E中的边直接相连，则称(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。图的节点着色问题可以描述为：求一个最小的k，使得(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。 通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。Welsh-Powell算法只能保证最多使用(为图中顶点的最大度)种颜色给一个图正常着色，而由Brooks定理，对于既不是完全图又不是奇圈的简单连通图，所需的颜色数。故通常的算法在解决图节点着色问题这样的NP完全问题时，存在很大的瓶颈，难以得到满意的结果。而对于像遗传算法和神经网络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。 算法分析与设计大作业… 实验题目：0-1背包问题求解方法综述 组员： 班级： 指导老师： ] % 0-1背包问题求解方法综述 【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生 活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐述， 然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进 行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征, 建立了求最优值的递归关系式。最后对四种算法从不同角度进行了对 比和总结。 【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。 0.引言 0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n), 再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部 分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物品要么装入,要么 不装入。很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因 此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多, 主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算 法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回 溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能 找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1 背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法 的时间复杂性最坏可能为O(2n)。 背包问题描述 0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域,如 项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放置 于给定背包中。本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。 为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。解决背 包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、 分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子 算法等一些智能算法。 ( 算法设计与分析 实验名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求 0/1背包问题 作者姓名：xxx xxx xxx 完成日期：2013年9月22日星期日 组的编号：28 目录 第一章：简介 (1) 第二章：算法规范 (2) 数据结构 (2) 伪代码 (3) 第三章：算法测试 (4) 蛮力法 (4) 动态规划 (5) 贪心法 (5) 第四章：分析讨论 (6) 算法分析 (6) 时间复杂度分析 (16) 附录 (17) 声明 (17) 第一章：简介 问题的描述： 0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 ∑=n i i i x v 1 max （式2） ????? ≤≤∈≤∑=) 1(}1,0{1 n i x C x w i n i i i （式1） int v;//物品的价值 }wup; wup wp[N];//物品的数组，N为物品的个数 int c;//背包的总重量 第二章:算法规范 数据结构： 0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中，在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的 一、某国汽车车牌号码是由4位数字组成，某天一辆汽车违法交通规则，撞人后逃逸，当时目击证人有3人，可事后都忘记了车牌，只能回忆起车牌的一些零碎特征。甲：车牌前面的两位数字是相同；乙：车牌的后两位相同，但与前两位不同；丙（是一位数学爱好者）：车牌的号码刚好是一个整数的平方。现在请你根据以上3位目击证人提供的线索，请用蛮力算法编写程序，来协助交警尽快找到肇事汽车的车牌号。 二、两个乒乓球队进行比赛，各出3人。甲队为A、B、C 3人，乙对为X、Y、Z 3人，由抽签决定比赛名单。有人向队员打听比赛的名单，A说他不和X比赛，C说他不和X、Z比赛，请用蛮力算法编写程序找出3对赛手的名单。 A1-3 B1-3 C1-3 将1转换为X a-1+‘X’ 三、A，B，C，D，E 5人为某次竞赛的前五名，他们在名次公布前猜名次。 A说：B得第三名，C得第五名if（（b==3）+（c==5）=1）只说对了一半， B说：D得第二名，E得第四名可以这样表示 C说：B得第一名，E得第四名 D说：C得第一名，B得第二名 E说：D得第二名，A得第三名 结果每个人都猜对了一半，请用蛮力算法编写程序计算出实际的名次。 四、有4个学生，上地理课时提出我国四大淡水湖的排序如下。 甲：洞庭湖最大，洪泽湖最小，鄱阳湖第三； 乙：洪泽湖最大，洞庭湖最小，鄱阳湖第二，太湖第三； 丙：红泽湖最小，洞庭湖第三； 丁：鄱阳湖最大，太湖最小，洪泽湖第二，洞庭湖第三； 对于各个湖泊应处的地位，每个人只说对了一个。 根据以上情况，请用蛮力算法编写程序，计算出各个湖泊应处在第几位。 五、背包问题：小明有一只能装10千克的背包，现有白菜1棵5千克，猪肉一块2千克，酱油一瓶1.7千克，鱼一条3.5千克，白糖一代1千克，菜油一桶5.1千克，请用蛮力算法编写程序，计算出小明的背包所装东西的总重量最重。（其中每个物品要么装入背包，要么不装入背包，不能分割）。 总重量Num小于10 Num=a*5+b*2+c*1.7+d*3.5+e+f*5.1打凸包
凸包问题
背包问题求解方法综述
0-1背包问题求解方法综述
凸包
算法设计与分析实验报告
[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解背包问题
凸包成形冲模设计
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解01背包问题
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0 1背包问题
图节点着色问题中的禁忌搜索算法
0-1背包问题求解方法综述
蛮力法,动态规划法,贪心法求解背包问题
蛮力算法题目