立体几何与空间向量
第30练 空间角的突破方略
题型一 异面直线所成的角
例1 在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1与AC 所成的角.
破题切入点 利用BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|×cos 〈BA 1→,AC →〉,求出向量BA 1→与AC →的夹角〈BA 1→,AC →〉,
再根据异面直线BA 1,AC 所成角的范围确定异面直线所成角.还可用几何法或坐标法. 解 方法一
因为BA 1→=BA →+BB 1→,AC →=AB →+BC →,
所以BA 1→·AC →=(BA →+BB 1→)·(AB →+BC →)
=BA →·AB →+BA →·BC →+BB 1→·AB →+BB 1→·BC →.
因为AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC ,
所以BA →·BC →=0,BB 1→·AB →=0,
BB 1→·BC →=0,BA →·AB →=-a 2.
所以BA 1→·AC →=-a 2.
又BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→,AC →〉,
cos 〈BA 1→,AC →〉=-a 2
2a ×2a =-12. 所以〈BA 1→,AC →〉=120°.
所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.
方法二
连接A 1C 1,BC 1,则由条件可知A 1C 1∥AC ,
从而BA 1与AC 所成的角亦为BA 1与A 1C 1所成的角,
由于该几何体为边长为a 的正方体,
于是△A 1BC 1为正三角形,∠BA 1C 1=60°,
从而所求异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.
方法三 由于该几何体为正方体,
所以DA ,DC ,DD 1两两垂直且长度均为a ,
于是以D 为坐标原点,DA →,DC →,DD 1→分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系,
于是有A (a,0,0),C (0,a,0),A 1(a,0,a ),B (a ,a,0),
从而AC →=(-a ,a,0),BA 1→=(0,-a ,a ),
且|AC →|=|BA 1→|=2a ,AC →·BA 1→=-a 2,
∴cos 〈AC →,BA 1→〉=-a 22a ·2a
=-12, 〈AC →,BA 1→〉=120°,
所以所求异面直线BA 1与AC 所成角为60°.
题型二 直线与平面所成的角
例2 如图,已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥CD ,AC ⊥BD ,垂足为H ,PH 是四棱锥的高,E 为AD 的中点.
(1)证明:PE ⊥BC ;
(2)若∠APB =∠ADB =60°,求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值.
破题切入点 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,本题可通过建立坐标系,利用待定系数法求出平面PEH 的法向量.
(1)证明
以H 为原点,HA ,HB ,HP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,线段HA 的长为单位长度,建立空间直角坐标系(如图),
则A (1,0,0),B (0,1,0).
设C (m,0,0),P (0,0,n ) (m <0,n >0),则D (0,m,0),E ????12,m 2,0.
可得PE →=???
?12,m 2,-n ,BC →=(m ,-1,0). 因为PE →·BC →=m 2-m 2
+0=0,所以PE ⊥BC . (2)解 由已知条件可得m =-
33,n =1, 故C ????-33,0,0,D ????0,-33,0,E ???
?12,-36,0,