数学的魅力

数学的魅力

我们所生活的世界，包括我们人类自身，无非是质与量两个方面。

所谓"质"，表现为好坏、优劣、善恶、美丑等等；而所谓"量"则表现为长短、粗细、大小、厚薄、轻重、形状以及数量之间的关系等等。数学就是从量的角度把握和解释世界的一种努力，所以数学是一种思想，一种解释世界的方式，一种精密的语言系统。数学是对现实世界的数量关系和空间形式的概括和反映。

"数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理，以及对完美境界的追求。"（R〃柯朗等：《数学是什么》，湖南教育出版社1985年版，第5页）正如美国数学史家M〃克莱因所说的那样，"任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。"（M〃克莱因著，李宏魁译：《数学：确定性的丧失》，湖南科学技术出版社，1997年版，第2页）。他还曾对数学做过这样的描述："音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，但数学却能提供以上的一切，给人快乐"。

数学依靠的是两样东西：逻辑与创造。而人们对数学的追求则有两个目的：各种实用的目的以及数学的内在趣味。对于一些人，这不仅仅指职业数学家，数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。"数学是最聪明人之间的较量，因此非常具有挑战性，同时，数学的美丽使研究数学成为一种乐趣"。这就是菲尔兹奖得主、美国数学家符拉基米尔〃福沃特斯对常人眼中枯燥的数学的认识。当然对于另一些人，包括许多科学家和工程师，数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。

数学语言是表达数学思想的慎重的、有意的而且经常是精心设计的专门语言，具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点。加强数学语言教学对提高数学阅读能力、数学表达以及交流能力具有重要作用。数学语言分为符号语言、文字语言和图表语言，三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位。

社会建构主义数学哲学将主观知识和客观知识看成是相互维护和相互依

存的。关于数学知识的社会建构性质，欧内斯特提出了以下三点根据：1.数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言知识是一种社会建构；2.个

人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识，这需要社会性的交往与交流；3.客观性本身应该理解为社会性的认同。（Paul Ernest 著，齐建华、张松枝译：《数学教育哲学》，上海教育出版社，1998年版，第51～52页）。"整个数学知识是由证明予以保证的，其基础和可靠性则依赖于语言知识和规则。"（同上，第66页）。

数学是科学的主要术语。数学和科学具有许多共性。包括都具有对可以理解的规划的信念；想象力和严格逻辑的相互影响；诚实与公开的思想；同行评论的极端重要性。17世纪以来数学的发展清楚地表明，社会生产推动自然科学的发展，自然科学又推动数学的发展，并为数学发现提供灵感。美国数学家克莱因下面的论述充分说明了这一点："对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。"（ M〃克莱因：《数学：确定性的丧失》，湖南科学技术出版社，1997年，第293页.）"数学是科学的王后，同时也是它们的女佣。" （同上，第286页）。

作为人类智慧的伟大结晶，数学受到了普遍的尊敬和推崇。在高中数学课程《标准》中提到："数学作为人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。数学科学历来是自然科学和社会科学的基础……越来越广泛的数学应用，正在不断地渗入社会生活的方方面面。……高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。"

数学有着极其重要的教育价值。数学是训练客观且精确的判断力的基本因素之一，数学尤其需要积极的思维活动及对结果的验证，而这会对其他学科的学习（在智力上和道德上）产生影响。数学的奥妙不在于发现它的完美和复杂，相反在于找到最经济和简单的表述和论证。因为数学在现代文化中扮演着中心的角色，所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这一点，学生需要将数学视为科学活动的一部分，了解数学思维的本质，并熟悉重要的数学概念和技巧。

作为一门理论学科，数学探索抽象概念之间的关系，并不考虑这些抽象在现实世界是否存在对应的本物。心理学研究表明，一切智力的核心在于思维。儿童数学能力的发展应该包括认知、计算、思维三个方面，而不能简单地将计算等同于数学。有学者富有见地地指出：珠算、心算对于提高儿童的计算能力的确有很好的促进作用，但对儿童思维发展的贡献却十分有限。

数学教学的目的就在于帮助学生形成行动上的逻辑程序（思考、分析、抽象、简明、计划、演绎、推理、普遍化、具体化、应用、评判等），形成合理的思想及其表达的质量（秩序、精确、明了、简洁等），引起观察，形成空间和数目的概念，培养抽象领域里的直觉和想像，注意和关注的能力、毅力和有规则的努力之习惯，最后形成科学素养（客观、诚实、研究兴趣等等）。这是作为一个现代人所受教育的一个基础部分，哪怕他今后从事非科学或非技术性的工作。

如何发展学生的数学能力，进行有效的教学？荷兰数学教育家弗赖塔尔认为：学习数学的惟一正确方法是实行"再创造"，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。

国际数学教育专家在一份数学教育指导性的文件中提出了如下意见：引导学生自己形成思想，发现数学的关系和性质，而不是把承认成熟的思维强加给他们；更注意思维和推理而不是机械训练和死记硬背，限制死记一些固定的基本结论；强调数学内在的统一性；就数学思想和正在学习的理论的主要历史发展阶段作出说明；保持数学与应用数学的科学之间的合作；贯彻数学思维的要求，增加语言的精确度、语言的清晰度和简明性。

我国正在进行的基础教育课程改革对数学也提出了如下教学指导思想：1、以学生发展为本，把学习的主动权交给学生，让学生自主探索，主动积极地获取知识，使学生人人在原有基础上有所收获，有成功感，得到和谐地发展。

2、确立关于学生和教师的观念：每一个学生都可以学习数学；不同的学生学习不同水平的数学；允许学生以不同的速度学习数学；学生可以用自己的方法学习数学。教师是课程实施过程中的决策者，是教学过程中的组织者、指导者和参与者。

3、教学中要激发学生学习数学的兴趣，要为学生提供丰富多彩的情景，要为学生留有探索与思考的余地，倡导合作交流的课程气氛。

数学知识源于生活，但并不等于生活本身的摹本，它是对生活中的数量关系与空间形式的提炼，因此，它高于生活、概括生活、具有高度的抽象性。在教学中，联系学生的生活经验，接通生活的源头活水，就会使原本枯燥单调的理论变得鲜活生动起来。比如初中数学中的"一次函数的表达式"为：y=k x+b，这些符号之间是怎样的一种关系呢？这个表达式能够描述和解释怎样的现象和事实？我们假定y这个因变量代表一个餐厅服务员一个月的薪水，x代表餐厅一个月的营业额（或一个服务员通过其服务所带来的营业额），k代表

从营业额中提成的比例， b也是一个常量，代表基本工资，或称之为底薪。也就是说，餐厅服务员一个月的收入等于底薪加营业额按一定比例的提成。这就是一个比较合理的、双赢的雇主和雇员之间的关系：作为餐厅的服务员，如果你能以自己优质的服务，赢得更多的回头客，你的收入也会更多；即使由于其他的原因，餐厅的营业额不佳，对于服务员来说，至少还有基本工资。这样学生不仅能够很好地理解这个表达式的意念，也能真切地感受到数学学习对于生活的意义。如果我们这样联系生活学生就能感受到数字的意义，就能发现数学尽管十分抽象，其实它是源于生活，联系生活，也能培养学生生活的智慧，当他今后成为一个经营者，或者是就业者时，怎样去处理类似的问题。而当学生感受到学习的意义时,学习就会是快乐的，也就是更有效的。在课堂中，与学生密切相连的生活事例，对学生而言，有一种特别的亲和力，它能够拉近学生与数学的距离。

数学解题是学生应用知识、解决问题的过程，也是学习的巩固和知识迁移的过程。学会解题是学习成果的重要体现。著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题=>拟定计划=>实现计划=>回顾。其中"回顾"就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构。

体验生活化的数学魅力

现实世界是数学的丰富源泉,数学源于生活、寓于生活、用于生活。数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。新颁布的《国家新课程标准》十分强调数学与现实生活的联系，在教学要求中增加了“使学生感受数学与现实生活的联系”，不仅要求选材必须密切联系学生生活实际，而且要求“数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事件出发，为他们提供观察和操作的机会”, 使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学

和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，让生活走进数学课堂，体验到数学的魅力。在教学过程中如何让生活问题走进数学课堂教学，我就来谈一谈自己的看法：

一、数学知识生活化，生活经验数学化荷兰数学教育家汉斯.弗赖登塔尔认为：“数学来源与现实，存在于现实，并且应用与现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。”在初学儿童学习过程中体现刚入学的儿童，不是一无所知的，无论是生活经验还是学习中的基础知识，他们都有一些。但什么是数学，在儿童初学阶段，我们在引导认识的时候，不可能给出抽象的概念，而只能通过具体的内容，说明我们在使用数学知识。如家里有几口人，家住在哪里，从家到学校有多远，买雪糕用多少钱，怎么付钱，一天吃多少米饭，等等，孩子们理解这些随时随地接触的东西时就用到了数学知识，从而也就有了初步的理解。在学习的过程中，新知识的学习如果建立在已有经验的基础上，学习的效率就会得到极大的提高。教师应关注学生的生活经验，学会用数学的眼光看待生活，善于发现生活中的数学问题，在教学中，从孩子的心里特点出发，设计孩子感兴趣的生活素材以丰富多彩的形式展现给学生。比如，教学观察与测量时，可以通过观察汽车模型并为汽车公司设计汽车广告这一情境让学生在不同角度去观察去比较；再如，学习百以内数的认识时，先让学生估计10粒豆子有多少，再数出10粒豆子，再抓一把豆子估一估，看实际与估计的差别；从学校到家有几米；在家里吃饭时，数数碗中剩下的饭粒有多少。使学生感受到计算问题来自生活，从而培养学生的数感、估算和观察能力。新课程给新知识的介入提供了一个丰富、多样、科学的空间，让学生感受到数学源于生活且无处不在，身边的一切都离不开数学，让学生切身体会到数学如此贴近生活，如此有趣。

二、让数学问题与生活实际相结合《数学课程标准》中指出：“学生能够认识到数学存在于现实生活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。”学习数学知识，是为了便于更好地去服务生活。应用与生活，学以致用。因此，每一次学完新课后，我就编一些实际应用的题目，让学生练习，培养学生运用的所学知识解决实际问题的能力。在教学中有目的，有计划的组织学生参与具有生活实际背景的数学实践活动，这样不仅巩固学生所学的数学知识，又能开阔学生的数学视野，培养学生的实践能力，体验数学的实践性。例如，在教学：“你喜欢什么电视节目？”的实践活动课中，事先真正让学生了解周围的人们都喜欢什么节目，初步让学生体会到收集，整理信息方式，了解某些具有倾向性的现象，明白男生比女生更喜欢体育节目，学生比家长更喜欢动画片等。通过这样的活动，提高学生收集信息的能

力，在数据整理中，获得了更多的信息；又如教学买汽球一课时，让学生先

估计我们班同学喜欢什么颜色的，然后引导学生进行收集、整理信息，并通

过学生的实际调查帮助学生制成统计图进行分析，从而在自己调查的结果中

了解自己所要知道的信息。从而在选取、组织、分析、使用信息的过程中，

使其认识态度和方法得到提高。同时，班内回报交流过程，也是数学交流提

高的过程。信息时代，社会需要我们每个人学会：收集信息、作出判断、进

行决策。通过这种生活化味道很浓的活动，让学生深切地感受到数学真有作用，我们一定要学好数学。

三、让课堂延伸，提取生活中的数学生活中充满着数学问题。虽然课堂是学习各类知识的重要途径，但课堂上所学的知识对一个人的成长是远远不够的，所以，把学习的时空向课堂外延伸是必然的发展。延伸的方式是多种多

样的。1.结合学习的内容，指导学生的课外活动。如学习100以内的数时，

让学生收集家中的人口数、门牌号、班里的课桌椅、电话号码等，感觉数在

生活中的运用。又如认识人民币的教学中，要求学生到商店观察价格标签，

进行购物活动，在实际的环境中加深对人民币的认识。2.进行数学实践活动。如学习统计时，除了教材提供的统计对象以外，学生在教师的引导下提出对

学校班级、各班人数、天气等进行统计，其中有些统计对象学生比较好操作，而天气或气温等的统计，对于一年级的学生来说，困难较大。在指导的过程中，首先要让学生明确通过什么途径获取有关天气或气温的信息，他们提出，可通过自己观察、看《新闻联播》的天气预报、看报、询问爸爸妈妈或其他

人等等途径；其次要督促检查学生的记录情况，最后汇总。在这一过程中，

学生经历了搜集、整理数据的完整过程，获得了课堂上得不到的练习机会，

同时，通过实践活动，培养了学生的综合能力。

实践证明，数学知识来源于生活，教师要积极的创造条件，在教学中为学生创设生动有趣的生活问题情景来帮助学生学习。学生在一个自己熟悉的环境中学数学，相信必能调动起学生学数学的兴趣，而“兴趣又是最好的老师”，学生在教师以及“兴趣”这一老师的引导下，容易体验成功的喜悦，必然又促进他们学习的热情。这种良性的循环就是人人都能获得必需的数学。

数学的魅力

数学至今魅力不减是因为，一是数学理论一经确立，基本上不会被推翻，以后只是深化和推广而已，不象其它自然科学分支经常发生新理论取代旧理论的现象。二是它的高度抽象性使它居于比自然界及至其他自然科学更高的层次，自然规律和谐用数学结构表示出来时，已经抓住了最本质的特征，由“形似”到了“神似”的地步。数学史的魅力在于，它是人类文明史中一个非常重要的部分，波澜壮阔，源远流长，奔腾不息。它博精深，令人临川浩叹：“逝者如斯夫!”它精英荟萃。令人心驰神往：“大江东去，浪淘尽千古风流人物”它是数学与哲学、历史等学科的综合，在这个意义上说，它也是最早的边缘科学、交叉科学之一。数学无处不在，我们更赞叹的是它的奇妙和独特——数学魅力。

一、初尝数学的“甜”

刚上小学三年级时，我就看了《算得快》一书，而且看了不只一遍。《算得快》一书是图文并茂。内容简练、单纯、易懂。至从看过这本书后，我做算术题时。总会很快得到答案。正确率也很高。每天放学回家第一件事就是先解决了算术题。那时，在其它同学眼里算术最让他们头疼，我却在算术方面略占了点优势。之后的每天上学。奶奶总会额外的送我一袋饼干，我也觉得每天过得很开心。其实，是那本《算得快》给我带来的“幸运”和快乐。那也是我每一次感到数学的“奇妙”。

二、从兴趣中体验数学美

兴趣是最好的老师。当你对某一事物产生极大兴趣时，即使你没有多大建树，也能对其有更深刻的认识。数学中的数和形是现实世界数量关系和空间形式的抽象，如同形式美和自然美的抽象。这就需要你的关注。在我们自然界中的形式美如：

(1)累积状之美。如崇山峻岭、花丛灌木。

(2)射线状之美。如日月星辰的光芒，孔雀开屏的尾羽。

(3)回旋状之美。如蜗壳、螺壳。

(4)对称状之美。如雪花、晶体。

(5)排列状之美。如鱼鳞、鸟羽。

(6)网目状之美。如龟甲、叶脉。

(7)斑文状之美。如虎皮、豹皮。

(8)平行线之美。如垂柳、雨丝。

在我们几何图形中的形式美如：

(1)圆。人类的知觉对简单的圆形是偏爱的。其原因在于它的绝对完美性，和谐、稳定，使人称心舒畅，在心理上达到满足的最佳状态。

(2)抛物线。阿基米得在名著《抛物线的求积》中，利用力学和穷竭法，算出物弓形的面积，是微积分思想的先导。他还巧妙地用抛物线帮助作出正七边形。

(3)椭圆和双曲线。这两种圆锥截线也是后来在天体力学中找到了应用。古代希腊有椭球面音乐厅，乐队配臵在个焦点的位臵处，以得到良好的声音反射效果。比例美。即我们常常说的“黄金分割”。这是大家很熟悉的。公式美。数学公式的丛林、公式的海洋。公式是智慧的结晶、公式是简练的语言，因此，它给人们的印象是睿智、简洁、浩瀚。数字美。如

99 =9801

999 =998O01

9999 =99980001

99999 =99998000O1

又如，(运算了的和谐，组建数字金字塔 )

1×9+2 = 11

12 ×9 +3= 111

123×9 +4 = 111 1

1234 ×9 +5= l11 11

12345 ×9 +6 = 11l 111

123456X9+7 =111 111 1

1234567×9+8= 111 111 11

12345678×9+9= 111 111 111

123456789×9+ 10= 111 111 111 1

再请大家看下面这个数阵，

123456789 X9= lll lll l0l

l23456789 X2 X9=222 222 220 2

123456789 X 3 X9=333 333 330 3

l23456789 X4 X9=444 444 44 0 4

l23456789 X9 X9=999 999 990 9

“九宫图”的奇妙，让人不得不为数学感到敬佩。这里就作简单介绍。把龟背上的数填人 3 X 3的正方形方格中，不管把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的 3个数相加其和都等于 l5。

4 9 2

3 5 7

8 l 6

三、数学应用及数学美

数学在其它学科中的应用不仅是相互爱好，主要还是相互需要。

l、数学在音乐中的应用。

例如我国春秋时用“三分损益法”确定弦长与音的关系，就是在基音弦上去一分 (即乘以 2／3)或加一分(即乘以 4／3)以定另一律的弦长，依此类推，直到“高八度”或“低八度”。这方法是近似的。

2、数学在绘画中的应用。

达?芬奇在著作中多处记有作透视图的例子，他最早谈到远景的比例，给全景透视奠定了基础，解释了立体视感的原因，提出了阴影分割理论、反射的特性和物体色彩变化。

3、数学在雕塑中的应用。

被尊为男性美典范的别尔维杰尔的阿波罗雕像为标准，人们发现它的腰部、膝盖、喉结、面部、手臂等处都是“黄金分割”点。我国古代雕塑有独特的风格，其中一些小巧的玩意闪烁着数学的智慧，例如由六块小木头雕成而能拼接为空间十字形的组合件，被外国人称为“中国益智玩具”，由于其别出心裁的构思和外形，显得很美。

4、数学在建筑中的应用。

约纪元前2700年的古埃及第四王朝法老胡夫的吉萨金字塔，由260万块重达 l2吨的巨石堆成，石块之间只有几丝的缝隙，高150米，重约 3100万吨，真是难以臵信的成就。建筑的数学美表现在比例上，它无需真正去丈量，立即就因其和谐协调而在人们的心灵上激起美感。

5、数学在诗歌中的应用。

如：日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人。 (苏轼)

锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年。 (李商隐)

我国著名诗人闻一多，曾经倡导过新诗的格律，他的多种尝试，有人形容为一种建筑美，其实是一种数学美。句式、字数、行数的变化。无一不是可以数量化的。而且，其实是对称、均衡、周期等要素，也隐含数学概念，这方面的探索应当说是有益的。

6、数学在抽象艺术中的应用。

例如，分数维曲线已经引起气象学家、地震学家、宇宙学家的浓厚兴趣，事实上在地质学、地理学、电工学、语言学、经济学、空气动力学乃至数学学科本身都找到了应用，分数维曲线显示的乐曲也很动听。

7、数学在现实生活中的应用。

例如，在我国，个人的劳动收入多少是与个人所做贡献的大小成比例的。中国有句俗语是：“一分钱，一分货”。看来这只是一种经济关系，但其中却隐含了数学概念。假如没有数学上的量的话，我想大家也不会在“量”的“得失”上而斤斤计较了，可数就是数，“l”就是“l”，“2”就是“2”。

8、数学成就了计算机“风行天下”

计算机中的“二进制”“十进制”都是人工智能的杰作，人们将最胖的数“0”和最瘦的数“l”进行排列、组合造就了一代代“计算机英雄”。人们的生活变得方便、快捷了，毫无疑问，数字化时代是目前最先进的“时代”。

四、数学思想助我设计出圆形元素周期表

我将化学元素放人到数学坐标系中，经过多次的排列，最后得到一张“圆形元素周期表”。即坐标中第一、第二象限是主族元素；第三、第四象限是副族元素和第Ⅷ族元素，横轴 (x轴)将主族元素同过渡元素分开，这样，所得到的周期表比现用的周期表更紧凑、更直观、更美观、使用更方便。其规律性在国际上可以通用。 (详情见附录 1、附录 2) 我只是将数学思想同化学学科相结合，便有了更新的发现。看来，数学的每一个特征都使人为之仰慕倾心。我们看它具有如此丰富多彩的外貌而击节称赏，并愿意做出更多的美的发现。

总之，在我的眼里，数学比任何学科的价值都要大，再加上它具有独特的魅力吸引着我，令我不得不为之倾心。其实，在数学方面，我根本就没有什么发言权，只是曾在数学思想方面尝到了一点“甜头”。在此，我只

是有感而发，学好数学不仅能提高个人的情商，即个人对科学的情感、态度和价值观。从过去的发展史可以看出，中国最早得到世界绝对一流研究成果的，也是在数学方面。华罗庚、陈景润就是证明。我在本论文中也举出了大量的例证，可以充分说明数学真的是魅力无穷，我们不仅要对数学产生浓厚的兴趣，更应对其威力拥有坚强的信念。让我们大力宏扬与时俱进，开拓创新的精神，将个人的智慧运用到人类社会当中去，为人类社会的发展贡献自己的力量。

注：附录：

(1) “圆形元素周期表”1份。

(2) “圆形元素周期表”说明书 1份。

镧系 h Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy HO Er Tm Yb Lu

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 锕系 Ae Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fin Md NO Lr

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 1O3

圆形元素周期表说明书

一、该表的主族元素位于上半圆 (x轴的上部分)，过渡元素位于下半圆 (x轴的下部分)。

二、该表的大小圆圈表示了元素的周期、电子层，即从内第一个圆圈向外数，周期：一周期、二周期、三周期……；电子层：从内到外是K、L、M、N、O、P、Q层。

三、该表可以根据扇形图来直观的判断族中的原子半径，即可判断同一族元素可从圆心向处的递变性。

四、该表可通过【逆】时的方向来研究学习元素的物理、化学性质。

五、该表比现用的周期表更直观的体现了元素的变化规律。具有更紧凑、

更美观的特征。

说明：“圆形元素周期表”曾获第十八届青海省科技创新大赛一等奖，“圆形元素周期表”已经获得国家专利。并被人民日报出版社出版的《中华名人大典》（当代卷II）等五部辞书收录。

【从我读书到从事数学教学工作，深深为数学的魅力所吸引。数学知识在我们的生活中随处可见，在生活的各个领域应用非常广泛。它是一门活的学科，它需要人们去发现，去体验，去观察，去理解。它要求人们的思维缜密，

真正找到了学习技巧的人，学习起来非常轻松，能体会到它的美，它的乐趣。我们教孩子的时候应该与实际生活联系起来，让孩子们深深为数学的美所折服，而不是对这门学科产生恐惧。】