超静定结构的计算

§1.3超静定结构的计算

超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件

不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。

计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解

题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算

问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要

解决的关键问题就是求解基本未知量。

1.3.1力法

力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。

（一）超静定次数的确定一

超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用

n表示。

确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中

的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原

结构的超静定次数。

在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：

●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束；

●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束；

●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于

去掉两个约束；

●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。

（二）力法的基本原理法

现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。其中，要特别重视力法的三个基本概念。

图1-26

1、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。力法这个名称也因此而得。

2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支

座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与

原结构完全相同。由此看出，基本体系本身既是静定结构（可方便计算），又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。

3、力法的基本方程：为求多余未知力，除平衡条件外，还须补充

新的条件，即利用原结构的已知变形条件。在本例中，基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同，即

Δ1=0

（a）

由图1-26d和e可知，变形条件（a）可表示如下：

（b）

根据叠加原理，，于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为

（1-23）

这就是在线性变形条件下一次超静定结构的力法基本方程，其实质是变形条件。

（三）多次超静定结构的计算三

对于n次超静定的一般情形，力法的基本未知量是n个多余约束力X1，X2，…，X n；力法的基本体系是以原结构中去掉n个多余约束，而代之以相应的n个多余未知力后所得到的静定结构；力法的基本方程是在n个多余约束处的n个变形条件——基本体系中沿多余未知力方向的位移应与原结构中相应的位移相等。在线性变形体中，根据叠加原理，n个变形条件通常可写为

（1-24）

式（1-24）为n次超静定结构在荷载、温度改变、支座移动等因素共同作用下力法基本方程的一般形式，因为不论结构是什么型式、结构的基本未知量和基本体系怎么选取，其力法基本方程均为此形式，故常称为力法典型方程。

在方程（1-24）中，系数和自由项、、都代表基本结构的位移。位移符号中采用双下标表示，第一个下标表示位移的方位，第二个下标表示产生位移的原因。例如：

——基本结构在单独作用下，沿方向的位移；

、、——基本结构在荷载、温度改变、支座移动单独作用下，沿方向的位移；

——原结构沿方向的实际位移。

解力法方程（1-24）得到多余未知力，，…，X n的数值后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或根据叠加原理用下式计算：

（1-25）

式中、和是基本结构由于=1作用而产生的内力，、和是基本结构由于荷载作用而产生的内力。在应用式（1-25）第一式画出原结构的弯矩图后，也可以直接应用平衡条件计算和，并画出图和图。

（四）力法解题步骤

1.确定超静定次数n；

2.选择力法的基本体系；

3.建立力法典型方程（根据基本体系沿多余未知力方向的位移与原结构相应位移相等的条件）；

4.计算系数、和自由项、、（为此，须作出基本结构的各单位内力图和实际荷载内力图，由相应的位移计算公式求出）；

5.解力法典型方程，求出基本未知量；

6.作结构内力图（将已求出的视为外力，根据基本体系的平衡条件，直接求内力；或根据叠加原理，利用式（1-25）计算）；

7.校核（一般可分两步进行：一是利用平衡条件校核，这是必要条件；二是根据已知变形条件校核，这是充分条件。详见本节第五部分“超静定结构最终内力图的校核”）。

【例1-16】试用力法作图1-27a所示结构的内力图。设各杆刚度的比值为，。

图1-27

解：（1）确定超静定次数：n=1（此结构为一次超静定组合结构）。

（2）选择力法基本体系，如图1-27b所示。

（3）建立力法典型方程：

（4）计算系数和自由项：绘出基本结构的图及图，并求出DB杆的

轴力及（图1-27c、d）。计算系数及自由项时，对梁杆只考虑弯矩影响，

对桁杆应计算轴力影响。

由位移计算公式可求得

（5）解力法方程，求：将以上和值代入力法方程，可解得

()

（6）作内力图：按叠加公式作原结构弯矩图,如图1-27e所示。再

根据弯矩图作出剪力图，如图1-27f所示。再由剪力图作出轴力图，如图1-27g 所示。

【例1-17】试求图1-28a所示刚架由于温度改变所产生的弯矩图。各杆截面为矩形，高度，线膨胀系数为α。设E I=常数。

图1-28

解：（1）确定超静定次数：n=1。

（2）选择力法基本体系，如图1-28b所示。

（3）建立力法典型方程：

（4）计算系数和自由项：绘出基本体系的图及图，如图1-28c、d 所示。由位移计算公式可求得

（5）解力法方程，求：将以上和值代入力法方程，可解得：

（）

（6）作最终弯矩图：，如图1-28e所示。由计算结果可知，在温度变化影响下，超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。

【例1-18】图1-29a所示结构的A支座发生了水平位移a=0.5c m（向右），b=1c m（向下），，已知各杆的抗弯刚度。试绘制M图。

图1-29

解：（1）确定超静定次数：n=1。

（2）选择力法基本体系，如图1-29b所示。

（3）建立力法典型方程：

（4）计算系数和自由项、：绘出基本体系的图及图（图1-29c、d），并求出虚设单位力作用下的支座反力（图1-29c），由图乘法及支座移动时的位移计算公式可求得

（5）解力法方程，求：将以上、、代入力法方程，可解得

（↓）

（6）作最终弯矩图：由叠加法可作出最终弯矩图，如图1-29e所示。

（五）结构对称性利用

利用结构对称性简化计算的前提条件是结构必须具有对称性，对称结构是指结构的几何形状、支承条件的刚度分布均对称于某轴，该轴为结构的对称轴。

对称结构的受力和变形特点是：在正对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。利用这些特点，计算对称连续梁或对称刚架时，只须计算这些结构的半边结构，这种方法称为等效半边梁法或等效半刚架法。取半边结构代替原结构计算，能降低超静定次数，从而达到简化的目的。

选取半边结构的基本原则是：在结构对称轴切口处，按原结构的受力和变形设置相应的支承，得到原结构的等效半边结构。其具体作法见图1-30（在正对称荷载作用下）和图1-31（在反对称荷载作用下）。

图1-30正对称荷载作用下的等效半刚架

图1-31反对称荷载作用下的等效半刚架

【例1-19】试作图1-32a所示刚架的弯矩图。设E I=常数。

图1-32

解：

此结构是一个对称结构，由于荷载是反对称的，故取半边结构如图1-32b所示（注意：将中柱的抗弯刚度减半）。再取基本体系如图1-32c所示。建立力法典型方程如下：

分别作出和图，如图1-32d、e所示，由图乘法可得

代入典型方程可解得

（↓）

由叠加公式作半边结构弯矩图，如图1-32f所示。由

对称性得原结构的弯矩图，如图1-32g所示。

（六）具有弹性支座结构的计算计

1.弹性支座是指受力后将发生位移，而外力解除后位移便可消失

的支座。在工程实际中，可见于支承在细长柔性墩上的连续梁、桥梁中

的桥面梁、建筑工程中的交叉梁楼面等实例中。

2.弹性支座的柔度系数（通常用表示）定义为，弹性支座在单

位力作用下，沿力的方向所引起的位移。例如柔性墩柱化为弹性

支座，其，其中h为墩柱的长度，E A为墩柱的刚度。

3.用力法计算具有弹性支座的结构时，可按组合结构的位移计算

公式计算，即

（1-26）

式中第一项为弯曲变形对位移的影响，第二项为弹性支座本身的变形对

位移的影响；、和分别为基本结构在各单位力和荷载作用

下，在各弹性支座中所产生的轴力，亦即等于支座反力、和，可对比具有弹性支座的位移计算公式（1-7）。

【例1-20】试作图1-33a所示连续梁的弯矩图。图中，A、B、C处

均为弹性支座，各弹簧柔度系数相同，即，梁的。

图1-33

解：（1）确定超静定次数：n=1。

（2）选择力法基本体系，如图1-33b所示。

（3）建立力法典型方程：

（4）计算系数和自由项：绘出图和图，并分别求出相应的各支座反力，如图1-33c、d所示。由位移计算公式（1-26）可得

（5）解力法方程，求：

（）

（6）作最终弯矩图，如图1-33e所示。