《高等工程数学》科学出版社吴孟达版习题答案(18章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：第一章习题（P26） 1．略

2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基

a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T

a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2

×2

中，求矩阵12A=03??

???

，在基 111B =11??????，211B =10??????，311B =00??????，410B =00??

????

下的坐标。解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T

4．试证：在R 2×

2中，矩阵

111B =11??????，211B =01??????，311B =10??????，410B =11??????

线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000??

????

，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。余略。

5．已知R 4中的两组基：

T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα

和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－

求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量

1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2

0561

33611211

013?????

???

－向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：

1234205612

927331336112923x 11219

00181

373926x x x x ??????????????

??????????????????

????

－－－－－1＝

－－27－－

6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －

在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －

1}的坐标。解：所求的坐标是：（3，1

1112,...,2, (2)

n n n n C C C ----）T

7．已知T T T T

1212=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1],=[1,-1,3,7]ααββ，

求V 1＝12212{,}V ={,}span span ααββ与的和与交的基和维数。

解：V 1＋V 2的一组基为T T T

121=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1]ααβ，所以维数为3 V 1∩V 2的一组基是：123[5,2,3,4]T

ββ-+=-，所以维数为1。

8．设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，对某个ξ∈V ，有T k －

1（ξ）≠0，

T k （ξ）＝0。试证：21

,(),(),...,()k T T T

ξξξξ-线性无关。

证明：设21

123()()...()0k k x x T x T x T ξξξξ-++++=………………（*）

下证123...0k x x x x =====即可。

对（*）两边的向量作线性变换：T k －

1，根据T k －

1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到

10x = 由此（*）变为

2123()()...()0k k x T x T x T ξξξ-+++=…………….. （**）

对（**）两边作线性变换：T k －

2，根据T k －

1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到

20x =

依次进行，得到123...0k x x x x =====，即2

,(),(),...,()k T T T ξξξξ-线性无关。

9．设n 维线性空间V 上线性变换T ，使对V 中任何非零向量ξ都有T n －

1（ξ）≠0，

T n （ξ）＝0。求T 在某一基下的矩阵表示。

解：任取V 中一非零向量ξ，因T n －

1（ξ）≠0， T n （ξ）＝0，所以由第8题的结果，有

21,(),(),...,()n T T T ξξξξ-是V 中的一组基。则T 在此基下的矩阵：

0,0,......,0,01,0,.......,0,00,1,.......,0,0.................0,0,......,1,00,0,......,0,0?? ? ? ? ? ? ? ? ???

10．设T 是线性空间R 3的线性变换，它在R 3中基123{,,}ααααB =下的矩阵表示是：

A ＝123103215??

??-??????

求T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示。解：T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示是：

B ＝244346238????---??????

11．设T 在基123{[1,1,1],[1,0,1],=[0,1,1]}T T T

ααααB ==-=-下的矩阵表示是：

A ＝101110121????????-??

（1）求T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T T

εεεεB ===下的矩阵表示。

（2）求T 的核和值域。

（3）求T 的特征值和特征向量。

解：（1）T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T T

εεεεB ===下的矩阵表示是：

B ＝110101111112101110011220111121101302-----????????????????-=????????????????--????????

（2）核空间N （T ）＝{(0,0,0)T }

值域 R （T ）＝R 3。

（3

）特征值为：1232,(1)/2,(1)/2λλλ===

对应的特征向量是：

1230332,44166x x x ????--??

? ? ?

=== ? ? ? ? ? ???????

12．求矩阵A 的列空间R （A ）＝{y ∈R 3|y ＝Ax ，x ∈R 3}和核空间N （A ）＝{x ∈R 3

|Ax ＝0}。其中：

（1）A ＝116042116??????????

（2）A ＝0

241453170510-????--????

-??

解：（1）列空间为R （A ）＝11{0,4}11span ???? ? ?

? ? ? ?????，

核空间为N （A ）＝11{1}2span -?? ?

- ? ???

（2）列空间为R （A ）＝0214

{,}3105span ???? ? ?-- ? ? ? ? ? ?????

，

核空间为N （A ）＝3{2}1span -?? ?

? ???

13．设V 是一线性空间。123{,,}ααααB =是V 的一组基，线性变换T 在基123{,,}

ααααB =在的矩阵B 分别如下，求T 的特征值和特征向量，并判断T 是否可对角化。

（1）010440216??????????－－, (2)01110110??????????1 ,（3）00101000??????????1，（4）0

210330??????????

－2－1－解：（1）特征值为： 1232λλλ===

特征向量是： 12102,001x x ???? ? ?

== ? ? ? ?????

不可对角化

（2）特征值为：1232,1λλλ===-

特征向量是： 1231101,0,1111x x x -?????? ? ? ?

===- ? ? ? ? ? ???????

可对角化

（3）特征值为：1231,1λλλ=-==

特征向量是： 1231100,0,1110x x x ?????? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?-??????

可对角化

（4

）特征值为：1230,,λλλ=== 特征向量是：略可对角化

14．略

15．设欧氏空间P 2（t ）中的内积为1

,()()f g f t g t dt <>=

（1）求基{1，t ，t 2}的度量矩阵。

（2）采用矩阵形式计算f （t ）＝1－t ＋t 2与g （t ）＝1－4t －5t 2的内积。（3）用Schmidt 正交化方法求P 2（t ）的标准正交基。解：

（1） 111

22000

1,1111,1,dt t tdt t t dt <>=<>=<>=???11

＝，＝，＝，

23 1

223224000

,,,t t t dt t t t dt t t t dt <>=<>=<>=???111

＝，＝，＝，

345 所以度量矩阵为

112311123411134

5?????????????????

（2）1

112311

119,(1,1,1)44234511134

5f g ?

??????

?<>=--=- ??? ?-?????????

（3）

所

以标准正交基是

：

12231,

)

t t t εεε==-=-+（）

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章）

P50

1．求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化

（1）110020112??????????－（2）011121213??????????－－（3）411030102??????

????

－

解：（1）特征值：

1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2

可对角化。（2）特征值：

1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1

不可对角化。（3）特征值：

123(1)λλλ＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为

不可对角化。

122222

3112233231,

111,,,2121)

,,6

,1801

t t t t t t t t t t t εβββεβεεεεββε==-<>=-<>==-=-<>-<>=-+

<>=

=-+（）

2．求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形

（1）3732524103??????????－－－－－（2）413002??????????

10－1 （3）1

2340

12300120

1??????

??????

（4）3

00001300

0001100002000112??

????

??????

－

解：（1）不变因子是：123d d d i λλλ+＝1,＝1,＝(-1)(-i)()

初等因子是：i λλλ+(-1),(-i),()

Jordan 标准形是：1000000i i ??

??????-??

（2）不变因子是：123d d d λ3

＝1,＝1,＝(-3)

初等因子是：λ3

(-3)

Jordan 标准形是：310031003??????????

（3）不变因子是：1234d d d d λ4

＝1,＝1,＝1,＝(-1)

初等因子是：λ4

(-1)

Jordan 标准形是：11000

11000110001?????

???

（4）不变因子是：12345d d d d d λλλλλ＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）

初等因子是：λλλλλ(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）

Jordan 标准形是：1

0000020000

02000003000003??

???

?????

??????

3．设（1）110A 0012??????????－＝22（2）33A 613??????????－－1＝－7－11－（3）01

0A 111011??????????

＝－－求可逆矩阵P ，使得P －

1AP 是Jordan 标准形

解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝

，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααT

＝(，0,-1)＝(0,0,1)

二级根向量是：(2)2αT

＝(-1,1,0)

(2)

122101(,,0110002102P P AP ααα--??

??=??

????

??=??

????

1)＝0-1100

（2）A 的特征值为123λλλ＝＝＝2 对应的特征向量是：11αT

＝(，2,1)

二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,ααT T

＝(1,3,3)＝(0,2,2)

(2)(3)111110(,,3232102102P P AP ααα-??

??=??

????

??=??

????

1)＝21200

（3）此题数据不便于求解特征值，A 的特征多项式是：

3210()|A|11121011f I λλλλλλλλ-????=---=-??

??-??

＝－＋

4．试求第2题最小多项式。

解：（1）最小多项式是：A m ()i λλλλ=+(-1)(-i)() （2）最小多项式是：A m ()λλ=3

(-3)

（3）最小多项式是：A m ()λλ=4

(-1)

（4）最小多项式是：A m ()λλλλ=(-1)(-2)(-3）

5．设10A 10??

??-??????

2＝0101，计算方阵多项式8542

()34g A A A A A I -++-＝2

解：因为：

854253232

()34

(245914)(21)(243710)

g λλλλλλλλλλλλλ-++-=+-+--++-+＝2

而3

()(21)f λλλ=-+是A 的特征多项式，所以f （A ）＝0

故有2

34826()437100

956106134g A A A I --??

?-+=- ? ?-??

＝2

6．设A 是可逆方阵，证明A －

1可表示为A 的方阵多项式。证明：设A 是n 阶方阵，其特征多项式是：

1011()...n n n n f a a a a λλλλ--=++++

因A 可逆，所以0n a ≠（为什么？自己证明）

由1

011()...0n n n n f A a A a A a A a I --=++++= 得

112011(...)/n n n n A a A a A a I a ----=+++

所以A －1

可表示为A 的多项式。

7．设0A ≠，0(2)k

A k =≥，证明A 不能与对角矩阵相似。

证明：由题设知，A 的最小多项式是：2

()A m λλ=，有重根，所以不能相似对角化。

8．已知()p

A I p =为正整数，证明A 与对角矩阵相似。

证明：由题设知， ()1p

g λλ=-是A 的零化多项式，而多项式()1p

g λλ=-没有重根（为什么？自己证！！），所以A 的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似

9．设2

A A =，试证A 的Jordan 标准形是diag{1,1,...,1,0, 0

证明：因为2

()g λλλ=-是A 的零化多项式，且是最小多项式，所以A 的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A 的Jordan 标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0} 10．

设方阵A 的特征多项式()f λ和最小多项式()m λ分别为：

（1）4

()(2)(3),()(2)(3)f m λλλλλλ=--=-- （2）3

()(3)(5),()(3)(5)f m λλλλλλ=--=-- 试确定A 的所有可能的Jordan 标准形解：（1）A 的可能Jordan 标准形为

22212313?????????????????? 或21221

2313??

??????????

????

（2）A 的可能Jordan 标准形为

2212555????????????

????

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章） P50

1．自己验证范数的三个条件

2．自己验证范数的三个条件

3．（1）

122

221

121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||||(11)||n n n

k k i j k k k i j

k n

k k T n

x x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+?≥=-=?=<>≤?==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有

－－(*)

另由不等式，有

－－(**)

其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：

212

||||||||x x ≤≤(

（2）

12111121111

1()||||max ||||||||()||max ||

||||||max ||||||||||||||||n n n

k k k n

k n i k k n

i k k n

i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞

=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑设，，...，，则有－－(*)

另外对，，...，的任一分量有所以有：

－－(**)

所以由(*)和(**)式有：

（3）

1221121

2()||||max ||||||()||max ||

|||||||

|||n n k k n

n i k k n

x x x x C x x x x x x x x x x x x ∞≤≤≤≤∞=∈==

≤

==≤=

≤=

设，，...

，，则有－－(*) 因对

，，...，的任一分量有

所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有： 2||||||||x x ∞∞

≤≤

4．已知1321i A i -??

?+??

试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（）解：12222||||max{2||||max{312136

5531215511655||176650(16)(1)5511

||||413

||(1)1624

1(H H A A i i i A A i i

i i

I A

A i A i

I A i

λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+??????==??????-+-??????

----==-+-=---+-=-+--=

=-+-=-----因所以)1A =

5．证明：(1)

H U U U I I U

=因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以

(2) 22

)))))H H

H H H H H H H H H H

H H H H H H H H H H H H H U U U I

UA UA A U UA A A

UA A

AU AU U A AU U A A U

A A AU AU AU

U AU U AU U A UU AU U A A U

A A U AU U AU U AU

=========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值

即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值

即

6．

||||=1

111-1

||||=max||||=max||||=1

1||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥

7． (1)

证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以

()1

()()1

A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I －A 可逆 (2)

由||||||||

||||||||1||||||||

||||||||||||1

||||1||||1||||

I A I A I I A I A A I I A I I A A I A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --?--?-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤

--1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得

证明： 1||||0.9 ()<1lim k k A A A O

ρ→∞

=∴∴=

（2）

2||(2)() ()=2||

|lim 2

k k c c

I B c

c c c B c c c c B O

λλλλρλ

→∞---=--=-+∴--∴<=当|时，

9．

(1) 解：

34(4)(1)

()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散

(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛

10．

解：

1210.10.80.60.30.90.534140.9

0771300.511773

4901

11425

3717733

1131170283537

7k k A A A A λλ∞=??=????

==-??

??-????=??????-??????-

???

??????-??????==???????

?-???

?-?

???

????

∑设的特征值为，，所以

(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t t t

At t t t e te e e e te

e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ?????

?=?????

??????=????

-??????=??-??

(2)

222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t t t

At t t

t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ?????

?=?????

?=????

?????

?=????

-??

12．解： A 的特征值为：－1，1，2

2221166

110

1102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33

sin()0

0sin 0sin 0

21cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t At t t t t t At ------??

????

=+-????

-+????

?--???

=???????

-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ??

-????

??????

13．

解： A 的特征值为：1，1，4

2ln 1110

240.5 1.50.50.50.5 2.5A -??

??=-??

??--??

-????=--??

??--??

-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）

P100 1．

524052402121212115554250412215

010270

521??

-??

??-?????

?????--??

?=?

?????--?

?--??????????-????

????

(1)

11042016

3211

1001

1100110041

2014201316126321222

101

1121224????

?????

?=????

???

????

??????????-???????

?????=-??????????????????-????????

00010100(2) 00101000 2．

121242120012201

100121031

100

???

?????????=-??????????????

-????

3．（1）

2212214611212 212403312212220H Hx ????????

????????=--=--=????????????????--????????

( 4．

430

0411115

51111000520323

4001055A ?

-??

??????????==???????????????????

解：

5．

120

15001

34000000211012015220013431A Hermite H A FG ??

??=??????

??????????????????????

????==??????????

的标准形是：1所以极大线性无关组是：2，3满秩分解是

6．

1511111000

11011111B -??

??-????=????----??

????

解：（）见第题

（2）

7．参见第三章第5题（2）的答案 8． (1)

10121

01112

(,)

A A

U AV

αα

????

=??

解：

的特征值是3，1

特征向量是

的奇异值分解是

123

(2)0

5,0

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) (,,)

000

T T T

B B

U BV

B UBV

λλλ

ααα

=??

===

==?

=??

∑

特征值是：＝

特征向量是：

的奇异值分解是：

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第五章） P113 1．

11100

110210010103050010110101010111()()010305010035201011101500152022T

T T T T A A FG F F GG A M P A G GG F F F +--??????

?==??????

????

????==?????

???-??????????==??????????????????

?????=????

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(2) 的满秩分解是：的广义逆是：

2．

《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案(18章)

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