2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题
【方法技巧与总结】
1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
【题型归纳目录】
题型一：周长问题
题型二：面积问题
题型三：长度问题
题型四：转化为角范围问题
题型五：倍角问题
题型六：角平分线问题
题型七：中线问题
题型八：四心问题
题型九：坐标法
题型十：隐圆问题
题型十一：两边夹问题
题型十二：与正切有关的最值问题
题型十三：最大角问题
题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题
题型十五：托勒密定理及旋转相似
题型十六：三角形中的平方问题
题型十七：等面积法、张角定理
【典例例题】 题型一：周长问题
例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
sin cos()6
a C c A π
=-．
(1)求A ；
(2)从三个条件：①ABC
b =a =ABC 周长的取值范围．
例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；
(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．
例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.
例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21
()cos sin 2
f x x x x ωωω=-+
，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2
π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；
(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．
题型二：面积问题
例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
. (1)求C 的值；
(2)若ABC 为锐角三角形，记2
S
m a =，求m 的取值范围.
例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；
(2)若点D 满足3
4
AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．
例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，3
2,2cos cos2()2
AD C A B =-+=． (1)求角C ；
(2)求ABC 面积的取值范围．
例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24
a c
b C ==-，
.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.
题型三：长度问题
例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．
(1)求角C 的大小；
(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．
例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，
4c =，
a b +=．
(1)求ABC
S ；
(2)求11
a b
-的取值范围．
例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC
的面积S . (1)求边c ；
(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.
例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()(
)
cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1
2
f A =，且a =22b c +的取值范围.
例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=
⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，且x y ；②π
2sin 3c A ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；
(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．
(1)求角A ；
(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a
-的取值范围．
例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()
222
sin 2sin B
c a C b c a b
-=+-，②
2
3cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．
例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，
sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．
例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34
A π
=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．
例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2
()
a c a
b -的取值范围是________.
例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，
则2()a b ab
+的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[4,6]
C ．[4,2
D ．[4,2
题型四：转化为角范围问题
例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.
(1)求A ；
(2)求cos cos B C -的取值范围.
例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
()cos cos a b c B A -=-．
(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．
例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π
4
B ∠=
，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的取值范围.
例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()22
3sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．
(1)求函数()f x 的最大值；
(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224
B c a
f a π++⎛⎫=
⎪⎝⎭
，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．
例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；
(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.
例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______
例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π
3
A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,
,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.
例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．
例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12
ABC BC π
∠=
=千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6
DBE π
∠=
，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．
例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．
例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A
-+的取值范围为__________.
例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A
+的最小值为（ ）
A
．1 B ．3 C ．2 D ．4
例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则b
b c
+的取值范围是（ ） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．
题型五： 倍角问题
例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b
的取值范围为______.
例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c b
b a
+的取值范围为______.
例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则a
b b
a
+的取值范围是_________.
例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则a
b
的取值范围是_____.
例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，
若2A B =，则2
2c b b a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的取值范围为______
例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，若2A B =，则2
2ac b ab
+的取值范围为__________．
例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b a
c b
+最
小值是 ．
例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c b
b a
+的取值范围为 ．
题型六： 角平分线问题
例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 2cos b C c B a A +=.
(1)求A 的大小；
(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.
例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；
(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.
题型七： 中线问题
例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.
(1)求角A ；
(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.
例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为
,,cos sin a b c B a B =+.
(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.
例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
tan tan .cos a
B C c B
=+ (1)求角C 的大小；
(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．
例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos 2sin cos C a A B =．
(1)求A ；
(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．
例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①
3(cos )sin b c A C
-，②1tan (
1)2tan a C
b B =+，③π
sin cos()6
c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；
(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．
例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②
cos cos 2B b
C a c
=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；
(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.
例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（ ） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=
C ．3
cos 15
A ≤<
D ．∠BAD 的最大值为60°
题型八： 四心问题
例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外
心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭
．
(1)求角A ；
(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，
例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B C
C C A
++=.
(1)求A ；
(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.
例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若
2||||
2()
||||
AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．34
B ．35
C ．23
D ．12
例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()
22AC AB
AB AO AC AO m AO AB AC
⋅+⋅=，
且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．3
5
C ．75
D ．32
例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
a （B 4
π
+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ）
A 1
B
C 1
D
例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22
A B C
-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（ ）
A ．1
2 B ．1 C ．2 D
例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是
ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．45⎡⎢⎣⎭
C ．⎫
⎪⎪⎝⎭
D ．4,15⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7
cos 25
A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）
A ．16
B ．24
C ．25
D ．36
题型九： 坐标法
例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2
BAC π
∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，
3
cos 5
AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．
例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为 ．
例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AM
MC
的最小值为 ．
例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足21
33
AQ AP AC =
+，则||BQ 的最小值是 ．
例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222
()(1)(1)(2)
f x x y x y x y
=-++++++-的最小值为()
A．2B．3C．23
-D．23
+
例64．（2022•唐山二模）在等边ABC
∆中，M为ABC
∆内一动点，120
BMC
∠=︒，则MA
MC
的最小值是(
)
A．1B．3
4
C．
3
2
D．
3
3
例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2
，6)3
B ．1
(2
，1)
C ．4
[5，6)3
D ．4
[5
，1)
例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．3
34
B ．43
C ．
534
D ．3
例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为 ．
题型十： 隐圆问题
例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．
例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则1
2
CB CD +的最小值为 ．
例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．
例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是 ．
例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，
C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3
[2
，5]3
B ．4
[5，6)3
C ．6
[5，)+∞
D ．5[6，5]3
例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )
A ．
223
3
B ．
523
16
C ．
354
D ．
335
16
例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为(
) A ．2 B ．1 C ．3 D ．2
例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4
sin 5
A =
，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25
例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞
题型十一：两边夹问题
例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1
cos()cos 2
A C
B --=，延长B
C 至
D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．
例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1
cos()cos 2
A C
B --=，延长边B
C 到
D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．
例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3
cos()cos 2
A B C -+=
． （Ⅰ）求角C ；
（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．
2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题 【方法技巧与总结】 1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2.解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：倍角问题 题型六：角平分线问题 题型七：中线问题 题型八：四心问题 题型九：坐标法 题型十：隐圆问题 题型十一：两边夹问题 题型十二：与正切有关的最值问题 题型十三：最大角问题 题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 题型十五：托勒密定理及旋转相似 题型十六：三角形中的平方问题 题型十七：等面积法、张角定理
【典例例题】 题型一：周长问题 例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 sin cos()6 a C c A π =-． (1)求A ； (2)从三个条件：①ABC b =a =ABC 周长的取值范围． 例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域； (2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围． 例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________. 例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21 ()cos sin 2 f x x x x ωωω=-+ ，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2 π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心； (2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 题型二：面积问题 例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ . (1)求C 的值； (2)若ABC 为锐角三角形，记2 S m a =，求m 的取值范围. 例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；
解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向22 解三角形 【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+； (2)若25 5,cos 31 a A ==，求ABC 的周长． 【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23 C π = ，求B ； (2)求22 2 a b c +的最小值． 解答三角高考题的策略： （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化． 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解． 1．方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b > a b ≤ 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=． 1．基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ==2sin sin sinC a b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-； 2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-． 常见变形 （1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =； （2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2c R =； 222 cosA 2b c a bc +-= ； 222 cosB 2c a b ac +-= ； 222 cosC 2a b c ab +-= ．
2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型三三角函数中的范围、最值问题(原卷版)
类型三三角函数中的范围、最值问题 【方法总结】 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 1.[2021安徽省示范高中联考]将函数f(x)=2sIn(x+π3)图象上的各点横坐标缩短为原来的12,并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x 1)h(x 2)=-4,其中x 1,x 2∈[-π,π],则|x 1-x 2|的最大值是 ( ) A.π2 B.π C.54π D.32 π 2.已知函数f(x)=asIn ωx+cos(ωx-π6)(a>0,ω>0),对于任意的x 1,x 2∈R,都有 f(x 1)+f(x 2)-2√3≤0,若f(x)在[0,π]上的值域为[√32 ,√3],则实数ω的取值范围为 ( ) A.[13,12] B.[13,23] C.[14,23] D.[14,12] 3.[2019全国卷Ⅱ,8,5分]若x 1=π4,x 2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= ( ) A.2 B.32 C.1 D.12 4.[2021贵阳市四校第二次联考]将函数f(x)=sIn(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x 的图象,则a 的最小值为 ( ) A.π3 B.5π12 C.2π3 D.π 5.[2020全国卷Ⅰ,7,5分][理]设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]的图象大致如图4-3-1, 则f(x)的最小正周期为( ) A. 10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 6.[2020全国卷Ⅲ,16,5分][理]关于函数f(x)=sin x+1sinx 有如下四个命题:
专题24 解三角形中的最值范围问题备战2022年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 【热点聚焦与扩展】 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵敏利用三角形的边角关系进展“边转角〞“角转边〞，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，那么考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式〞，其中的核心是“变角〞，即注意角之间的构造差异，弥补这种构造差异的根据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原那么为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.假如齐次那么可直接进展边化角或是角化边，否那么不可行 例如：〔1〕222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= 〔2〕cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=〔恒等式〕 〔3〕22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 变式：()()2 221cos a b c bc A =+-+ 此公式在,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值 4、三角形中的不等关系 〔1〕任意两边之和大于第三边：在断定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 〔2〕在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： 其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 〔1〕转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域〔最值〕 〔2〕利用均值不等式求得最值
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项五第2课时最值与范围问题北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习： 高考解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题 第2课时 最值与范围问题 1.已知椭圆M : x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为1的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆M 的方程; (2)求|AB|的最大值. 2.焦点在x 轴上的双曲线C 的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C 过点(2√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设双曲线C 的左、右顶点分别是A 1,A 2,点P 为双曲线C 上任意一点,直线PA 1,PA 2分别与直线l :x=1交于M ,N 两点,求|MN|的最小值. 3.(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求抛物线C 的方程; (2)已知点O 为坐标原点,点P 在抛物线C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值. 4.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆E 的离心率为√32,且通径长为1. (1)求椭圆E 的方程; (2)直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点(点M ,点N 在x 轴的同侧),当F 1M ∥F 2N 时,求四边形F 1F 2NM 面积的最大值. 5.(2021北京,20)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4√5. (1)求椭圆E 的标准方程; (2)过点P (0,-3)的直线l 斜率为k ,交椭圆E 于不同的两点B ,C ,直线AB 交直线y=-3于点M ,直线AC 交直线y=-3于点N ,若|PM|+|PN|≤15,求k 的取值范围.
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题 教学设计 一、教学内容分析 在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。 近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。 二、学情诊断分析 授课对象为高三平行班学生。本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，
具有一定的基础。本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。 三、教学目标分析 1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用； 2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。 四．教学重难点分析 重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。 难点：正弦定理和余弦定理的灵活应用，掌握解三角形中处理不等关系的方法，对解三角形中面积和周长问题知识间的关联理解和应用，领悟其中蕴含的数学思想方法。 五、教学过程分析 （1）高考考点分析
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题
第三课时 最值、范围问题 题型一 距离与面积的最值(范围) 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE →＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3， a 2＝ b 2＋ c 2. 联立以上3个式子，可得a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1， x 24＋y 23＝1， 得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE →＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，
所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1， S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m . 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92. 法二 由OE →＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB . 当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1）， x 24＋y 23＝1， 得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k 4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32 |y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 2 4k 2＋3. 令4k 2＋3＝m ，则m >3， S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.
解三角形中的多个三角形问题(精讲)-备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)(解析版)
4.8 解三角形中的多个三角形问题 【题型解读】 【知识储备】 一、多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。 二、求解多个三角形问题解题思路： 1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型 2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。 【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质， 要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 【题型精讲】 【题型一 多三角形中基本量的计算】 例1 （2022·全国·高三课时练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值； (2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－4 5 ，求tan ∠DAC 的值．
【解析】(1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ， 得 5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55 ． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°， 所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝ 255，则tan C ＝sin C cos C ＝1 2 ． 因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝3 5，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝ －3 4 ． 从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C ＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12 ＝2 11． 例2 （2022·全国·高三专题练习）在①∆ABC 面积S ∆ABC =2，②∠ADC =π 6这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34 ABC π ∠= ，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC . 【答案】见解析 【解析】选择①：113sin 2sin 2224 ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以22BC = 由余弦定理可得 2 2 2 2cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2482222202⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭ ， 所以2025AC == 选择②：设BAC CAD θ∠=∠=，则04 π θ<< ，4 BCA π θ∠= -，
2023年新高考数学复习解答题高分秘籍06 解三角形(周长(边长)问题(含定值最值范围问题)原卷版
专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 利用基本不等式2 a b ab +≤ ，在结合余弦定理求周长取值范围； 核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形） 利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围. 二、典型例题 例题1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222ab a b c =+-． (1)求角C ； (2)若ABC ∆的面积53 4 S =，且21c =，求ABC ∆的周长． 例题2．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin b B a A b c C -=-． 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求周长，只需求出 ，再由 的面积 且 ，联立求出 解答过程： 由（1）知 且 ， 的面积 将 代入 ，联立 则周长= 将 代入已知条件
(1)求角A 的大小； (2)若ABC 的面积253 4 ABC S = ，且5a =，求b c +的值． 例题3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,3 a A π ==． (1)若5 sin 13 B = ，求sin C ； (2)求b c +的最大值． 第（2）问思路点拨：由（1）知 ，且 ， 要求 ，可利用面积公式 求出 ，再由余弦定理求出 ，联立，可求出 解答过程： 由（1）知 且 将 代入 ，联立 则 将 代入已知条件
专题15 相似三角形-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(原卷版)
专题15 相似三角形 一．选择题 1．（2022·湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m ．参考数据：2 1.4143 1.732≈5 2.236≈） A ．0.73m B ．1.24m C ．1.37m D ．1.42m 2．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．轴对称 D ．黄金分割 3．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC 的长是（ ） A ．2 3 B ．1 C ．32 D ．2 4．（2022·湖南湘潭）在ABC 中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =
（ ） A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:4 5．（2022·浙江绍兴）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能．．． 是（ ） A ．252 B ．454 C ．10 D ．354 6．（2022·甘肃武威）若ABC DEF △△，6BC =，4EF =，则 AC DF =（ ） A ．49 B ．94 C ．2 3 D ．32 7．（2022·云南）如图，在ABC 中，D 、 E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC 的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ） A ．12 B ．14 C ．34 D ．78 8．（2022·浙江舟山）如图，在Rt ABC 和Rt BDE 中，90ABC BDE ∠=∠=︒，点A 在边DE 的中点上，若AB BC =，2DB DE = =，连结CE ，则CE 的长为（ ）
人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案及参考答案
——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题 、答案及参考答案 ______年______月______日 ____________________部门
(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型 1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（ ）x sin cos sin cos y x x x x =++ A ． B ． C ． D ．1 -21 22 -+1 22+ 分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．3 π () 2 sin cos 12sin cos x x x x +=+ 解析：由，令而，得． 03x π <≤ sin cos 2sin(), 4 t x x x π =+=+7 44 12x π π π <+ ≤ 12t <≤ 又，得， 2 12sin cos t x x =+21 sin cos 2t x x -=
得，有．选择答案 D ． 2211(1)1 22 t y t t -=+=+-2(2)11 102222y -+<≤+=+ 点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．sin cos x x ±sin cos x x 解法二：，1sin cos sin cos 2sin sin 242y x x x x x x π⎛ ⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 当时，，选D 。 4 x π = max 1 22y =+ 例2．已知函数．，且．2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+(0)8,()126f f π == （1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．a b )(x f x 分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．a b 解析：函数可化为． )(x f ()sin 2cos 2f x a x b x b =++ （1）由，可得，，所以，． (0)8f = ()12 6f π =(0)28f b ==33 ()12 622 f a b π=+= 4b =43a = （2），()43sin 24cos 248sin(2)4 6f x x x x π =++=++ 故当即时，函数取得最大值为． 226 2 x k π π π+ =+ () 6 x k k Z π π=+ ∈()f x 12 点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，
专题3-2 解三角形最值范围与图形归类-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(原卷版)
专题3-2解三角形最值、范围与图形归类 目录 讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】最值与范围1：角与对边 .................................................................................................................... 2 【题型二】最值与范围2：角与邻边 .................................................................................................................... 2 【题型三】范围与最值3：有角无边型 ............................................................................................................... 3 【题型四】最值与范围4：边非对称型 ............................................................................................................... 4 【题型五】最值：均值型 .......................................................................................................................................... 4 【题型六】图形1：内切圆与外接圆 .................................................................................................................... 4 【题型七】图形2：“补角”三角形 .................................................................................................................... 6 【题型八】图形3：四边形与多边形 .................................................................................................................... 7 【题型九】三大线1：角平分线应用 .................................................................................................................... 8 【题型十】三大线2：中线应用 ............................................................................................................................. 8 【题型十一】三大线3：高的应用 ......................................................................................................................... 9 【题型十二】证明题 ................................................................................................................................................. 10 专题训练 (10) 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ， b ， c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313 S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin A C =，求b ． 2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+； (2)若25 5,cos 31 a A ==，求ABC 的周长． 3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．(1)若23C π=，求B ；(2)求22 2a b c +的最小值． 4．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、 C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积； （2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2021·北京·统考高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23 C π =．
高考数学最新真题专题解析—解三角形(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—解三角形（新高考卷） 【母题来源】2022年新高考I 卷 【母题题文】 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B ． (1)若C =2π3 ，求B; (2)求 a 2+ b 2 c 2 的最小值． 【答案】解：(1)∵cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B ，∴cos 2A 2−sin 2 A 2 cos 2A 2+sin 2A 2+2sin A 2cos A 2 =2sinBcosB 1+2cos 2B−1且cosB ≠0， ∴ cos A 2−sin A 2cos A 2+sin A 2 =sinB cosB ∴ 1−tan A 21+tan A 2 =tanB ，∴tan(π4−A 2)=tanB ， 又A ，B ∈(0,π)，π 4−A 2∈(−π4,π 4)，∴π 4−A 2=B ． 又∵C = 2π 3 ，∴A +B =π3，∴B =π 6． (2)由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC ，得 a 2+ b 2 c 2 = sin 2A+sin 2B sin 2C = sin 2A+sin 2(π4−A 2) sin 2(A+π4−A 2 ) 1−cos 2A 2+1−cos2 (π4−A 2) 2 1−cos 2(A+π4−A 2) 2 = 1−cos 2A+1−sin A 1+sin A = 2sin 2 A−sin A+1 1+sin A ， {A ∈(0,π)π 4 −A 2=B ∈(0,π) ⇒A ∈(0,π 2)，令t =1+sinA ∈(1,2)， 则y = 2(t−1)2−(t−1)+1 t =2t −5+4 t ，t ∈(1,2)， y =2t −5+4 t 在t ∈(1,√2)时递减，在t ∈(√2,2)时递增， 因此t =√2时，y min =4√2−5． 【母题来源】2022年新高考II 卷
2023高考真题知识总结方法总结题型突破：27 三角形中最值与范围的计算问题(教师版)
专题27 三角形中最值与范围的计算问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅰ) 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23 C π =，求B ； (2)求 222 a b c +的最小值． 1．解析 (1)因为 2 cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 2cos 2cos A B B B B A B B B ===++， 即()1 sin cos cos sin sin cos cos 2 B A B A B A B C =-=+=-=， 而π 02B << ，所以π6 B =； (2)由(1)知，sin cos 0B C =->，所以ππ π,022 C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛ ⎫=-=- ⎪⎝ ⎭， 所以π2C B =+，即有π 22 A B =-． 所以 2222222 22sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B +++-= = ( ) 2 2222 2 2cos 11cos 24cos 555cos cos B B B B B -+-= =+ -≥=． 当且仅当2cos B 时取等号，所以22 2 a b c + 的最小值为5． 【知识总结】 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2．三角形面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r ，R 为别是△ABC 内切圆半径和外接圆半径)， 并可由此计算R 、r ． 3．解三角形有关的二级结论 (1)三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2． (2)三角形中的三角函数关系 ①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝－cos C ；③tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)；④sin A ＋B 2＝cos C 2；⑤cos A ＋ B 2＝sin C 2．⑥在非Rt △ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π 2 )． (3)三角形中的不等关系 ①在三角形中大边对大角，大角对大边． ②A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A 专题01 三角函数的图象与综合应用 【命题规律】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查. 3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度． 【核心考点目录】 核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：ω的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质 【真题回归】 1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛ ⎫ =+ +> ⎪⎝ ⎭的最小正周期为T ．若23 T π π<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ．1 B ．32 C ．52 D ．3 2．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭ 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点， 则ω的取值范围是（ ） A ．513, 36⎫ ⎡⎪⎢⎣⎭ B ．519, 36⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦ 3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛ ⎫ +++=+ ⎪⎝ ⎭ ，则（ ） A ．()tan 1αβ-= B ．()tan 1αβ+=2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题01 三角函数的图象与综合应用(原卷版)