全国初中数学竞赛精彩试题及问题详解(00002)
中国教育学会中学数学教案专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试卷
题号 一 二 三
总分 1~5 6~10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人
答题时注意:
1.用圆珠笔或钢笔作答;
2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1(甲).如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数22||()||a a b c a b c -++-+可以化简为().
A .2c a -
B .22a b -
C .a -
D .a
1(乙).如果22a =-+111
23a
+
+
+的值为().
A .22.2 D .22
2(甲).如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b
y b x
=≠的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为()32--,,那么另一个交点的坐标为().
A .()23,
B .()32-,
C .()23-,
D .()32,
2(乙).在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式2222x y x y ++≤的整数点坐标()x y ,的个数为().
A .10
B .9
C .7
D .5
3(甲).如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().
A .1
B .214a -
C .12
D .1
4
3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,ABC △是等边三角形.30ADC ∠=°,3AD =,
5BD =,则CD 的长为()
. A .32B .4 C .25D .4.5
4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是().
A .1
B .2
C .3
D .4
4(乙).如果关于x 的方程20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是().
A .5
B .6
C .7
D .8
5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是()
. A .0p B .1p C .2p D .3p
5(乙).黑板上写有111
123100
, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数
a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是()
. A .2012 B .101 C .100 D .99
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487?>”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值围是.
6(乙). 如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,
11110
9
a b b c c a ++=
+++,那么a b c
b c c a a b
++
+++的值为.
7(甲).如图,正方形ABCD 的边长为15E 、F 分别是AB 、BC 的中点,AF 与DE 、DB 分别交于点M 、N ,则DMN △的面积是.
7(乙).如图,O ⊙的半径为20,A 是O ⊙上一点。以OA 为对角线作矩形OBAC ,且12OC =.延长BC ,与O ⊙分别交于D E ,两点,则CE BD -的值等于.
8(甲).如果关于x 的方程2
239
3042
x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2011120122x x 的值
为.
8(乙).设n 为整数,且12012n ≤≤. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为.
9(甲).2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为.
9(乙).如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z (,,)是三角形数.若a b c (,,)
和111a b c ??
???
,,均为三角形数,且a b c ≤≤,则a c 的取值围是.
10(甲).如图,四边形ABCD 接于O ⊙,AB 是直径,AD DC =. 分别延长BA ,CD ,交点为E . 作BF EC ⊥,并与EC 的延长线交于点F . 若AE AO =,6BC =,则CF 的长为.
10(乙).已知n 是偶数,且1100n ≤≤.若有唯一的正整数对a b (,)使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11(甲).已知二次函数232y x m x m =+
+++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m ++++=()的两个实数根的倒数和小于9
10
-.求m 的取值围.
11(乙).如图,在平面直角坐标系xOy 中,8AO =,AB AC =,4
sin 5
ABC ∠=.
CD 与y 轴交于点E ,且COE ADE S S =△△. 已知经过B ,C ,E 三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解读式.
12(甲).如图,O ⊙的直径为AB ,1O ⊙过点O ,且与O ⊙切于点B .C 为O ⊙上的点,OC 与1O ⊙交于点D ,且OD CD >.点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O ⊙交于点F ,求证:1BOC DO F △∽△.
12(乙).如图,O 的接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是ABD △的心. 求证:
(1)OI 是IBD △的外接圆的切线; (2)2AB AD BD +=.
13(甲).已知整数a ,b 满足:a b -是素数,且ab 是完全平方数. 当2012a ≥时,求a 的最小值.
13(乙).凸n 边形中最多有多少个角等于150??并说明理由.
14(甲).求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ,, ,,满足122012x x x <<<,且
122012
122012n x x x +++=.
14(乙).将23n , , ,()2n ≥任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ,,(可以相同)使得b a c =,求n 的最小值.
中国教育学会中学数学教案专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题 1(甲).C
解:由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知
0b a c <<<,且b c >,
||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-.
1(乙).B
解:111111
1223a
+
=+
=+
++
111===
2(甲).D
解:由题设知,2(3)a -=?-,(3)(2)b -?-=,所以2
63
a b ==,.
解方程组23
6y x y x ?=????=??
,,得32x y =-??=-?
,;32.x y =??
=?, 所以另一个交点的坐标为()32,.
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为()32,.
2(乙).B
解:由题设2222x y x y ++≤,得0≤22(1)(1)2x y -+-≤. 因为x y ,均为整数,所以有
22(1)0(1)0x y ?-=??-=??,;22(1)0(1)1x y ?-=??-=??,;22(1)1(1)0x y ?-=??-=??,;2
2
(1)1(1) 1.x y ?-=??-=??
,
解得
11x y =??=?,;12x y =??=?,;10x y =??=?,;01x y =??=?,;00x y =??=?,;02x y =??=?,;21x y =??=?,;20x y =??=?,;22.x y =??
=?,
以上共计9对x y (,)
.
3(甲).D
解:由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为
1(1)(1)(2)34244
a a
b a b a b
+++++++++=
, 中位数为(1)(1)44224
a a
b a b
++++++=
, 于是4423421444
a b a b ++++-=.
3(乙).B
解:如图,以CD 为边作等边CDE △,连接AE . 由于AC BC =,CD CE =,
BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 所以BCD ACE △≌△,BD AE =.
又因为30ADC ∠=°,所以90ADE ∠=°. 在Rt ADE △中,53AE AD ==,,
于是224DE AE AD =-,所以4CD DE ==.
4(甲).D
解:设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ,均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-??
+=-?
,
, 消去x 得()274y n y -=+,
(27)1515
212727y n y y -+=
=+
--. 因为1527
y -为正整数,所以27y -的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11.从
而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.
4(乙).C
解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负.由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即39p q +<. 由于p q ,都是正整数,所以1p =,15q ≤≤;或2p =,12q ≤≤,此时都有240p q ?=+>. 于是共有7组p q (,)符合题意.
5(甲).D
解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是
0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以012398910
36363636
p p p p ====,,,,因此3
p 最大.
5(乙).C
解:因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则
1111(11)11123100x ??????
+=++++ ??? ???????
,
解得1101x +=,100x =.
二、填空题
6(甲).719x <≤
解:前四次操作的结果分别为
32x -,()332298x x --=-,()39822726x x --=-,()3272628180x x --=-
由已知得
2726487
8180487
x x -??
->?≤ 解得719x <≤.
容易验证,当719x <≤时,32487x -≤98487x -≤,故x 的取值围是 719x <≤.
6(乙).7
解:由已知可得
999a b c b c c a a b
b c c a a b b c c a a b
------++=++
++++++ 9993b c c a a b =++-+++ 10
9379=?-=.
7(甲).8
解:连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知BFN △∽△DAN ,所以
2
1
AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以2
3
AN AF =.
在Rt ABF △中,因为2AB a BF a ==,,所以 225AF AB BF a =+=, 于是25
cos AB BAF AF ∠=. 由题设可知ADE BAF △≌△,所以AED AFB ∠=∠,
18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=°°.
于是25
cos AM AE BAF =?∠=,
245
3MN AN AM AF AM =-=-=,
4
15
MND AFD S MN S AF ==△△. 又21(2)(2)22AFD S a a a =??=△,所以248
1515
MND AFD S S a ==△△.
因为15a =8MND S =△.
7(乙).
28
5
解:如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥.因为
22201216OB =-,所以
161248
205OB OC OM BC ??=
==, 223664
55
CM OC OM BM =-==
,. 所以CE BD EM CM DM BM -=---()()643655BM CM =-=-28
5
=
.
8(甲).2
3
-
解:根据题意,关于x 的方程有
223
943042k k k ???=--+ ???≥,
由此得()2
30k -≤.
又()2
30k -≥,所以()2
30k -=,从而3k =. 此时方程为29304x x ++
=,解得123
2
x x ==-. 故2011120122x x =21x =2
3-.
8(乙).1610
解:因为22(3)(3)n n n n -+++=4259n n ++=22(1)(1)(1)510n n n n -++++.
当n 被5除余数是1或4时,1n -或1n +能被5整除,则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除; 当n 被5除余数是2或3时,21n +能被5整除,则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除; 当n 被5除余数是0时,22(3)(3)n n n n -+++不能被5整除.
所以符合题设要求的所有n 的个数为2010
82161010
?+=.
9(甲).8
解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知
23130a b +=,
由此得043b ≤≤.
又(1)(2)
2
m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是
0130(1)(2)43b m m =-++≤≤,
87(1)(2)130m m ++≤≤,
由此得8m =,或9m =.
当8m =时,405b a ==,;当9m =时,2035b a ==,,55
22
a b a +>=,不合题设.
故8m =.
9(乙)351a
c
-<≤
解:由题设得
111a b c c b a
+>??
?+>??,, 所以11111
c c a c b a +>+>-,
即111c c a a +>-. 整理得 2
310a a c c ????
-+< ? ?????
, 由二次函数231y x x =-+3535
a c -+<<
. 又因为1a
c
≤351a c -<≤.
10(甲)32
解:如图,连接AC ,BD ,OD .
由AB 是O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=°. 依题设90BFC ∠=°,四边形ABCD 是O 的接四边形,所以
BCF BAD ∠=∠,
所以Rt Rt BCF BAD △∽△,因此BC BA
CF AD
=
. 因为OD 是O 的半径,AD CD =,所以OD 垂直平分AC ,OD BC ∥, 于是2DE OE DC OB
==. 因此
223DE CD AD CE AD ===,.
由AED △∽△CEB ,知DE EC AE BE ?=?.因为3
22
BA AE BE BA ==,,
所以3
2322
BA AD AD BA ?=?,22BA =,故
AD
CF BC BA =?=
3222
=
10(乙). 12
解:由已知有()()a b a b n -+=,且n 为偶数,所以a b a b -+,同为偶数,于是n 是4的倍数.设
4n m =,则125m ≤≤.
(Ⅰ)若1m =,可得0b =,与b 是正整数矛盾.
(Ⅱ)若m 至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对a b (,)
满足22a b a b
m -+?=;若m 恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对a b (,)满足22
a b a b
m -+?=.
(Ⅲ)若m 是素数,或m 恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对a b (,)满足22
a b a b
m -+?=. 因为有唯一正整数对a b (,)
,所以m 的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,
共有12个.
三、解答题
11(甲).解:因为当13x -<<时,恒有0y <,所以
2
3420m m ?=+-+>()(),
即2
10m +>(),所以1m ≠-.
…………(5分)
当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即
2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,
且233(3)2m m ++++≤0,
解得m ≤5-.
…………(10分)
设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得
()121232x x m x x m +=-+=+,.
因为
12119
10
x x +<-,所以 121239
210
x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-.
因此12m <-.
…………(20分)
11(乙).解:因为4
sin 5
AO ABC AB ∠=
=,8AO =,所以 10AB =
由勾股定理,得BO =262AB AO -=.
易知ABO ACO △≌△,因此6CO BO ==. 于是()08A -,,()60B ,,()60C -,.
设点D 的坐标为()m n ,,由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△. 所以
11
22
BC |n|=AO BO ??, 11
12()8622
n ?-=??, 解得4n =-.
因此D 为AB 的中点,点D 的坐标为()34-,.
…………(10分)
因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为ABC △的重心,所以点E 的坐标为803?
?- ??
?,.
设经过B ,C ,E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为()()66y a x x =-+. 将点E 的坐标代入,解得a =
227
. 故经过B ,C ,E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为
228
273
y x =
-. …………(20分)
12(甲).证明:连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=?.又因为DC DE =,所以CBE △是等腰三角形.
…………(5分)
设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=?.又因为OC OB =,所以
22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠.
…………(15分)
又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以
BOC △∽△1DO F .
…………(20分)
12(乙).证明:(1)如图,根据三角形心的性质和同弧上圆周角的性质知
22
BAD BDA
CID CDI ∠∠∠=
+=∠,
所以CI CD =.
同理,CI CB =.
故点C 是IBD △的外心.
连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA OC =, 所以OI AC ⊥,即OI CI ⊥.
故OI 是IBD △外接圆的切线.
…………(10分)
(2)如图,过点I 作IE AD ⊥于点E ,设OC 与BD 交于点F . 由BC CD =,知OC BD ⊥.
因为CBF IAE ∠=∠,BC CI AI ==,所以
Rt Rt BCF AIE △≌△,
所以BF AE =.
又因为I 是ABD △的心,所以
2AB AD BD AE BD +-==.
故2AB AD BD +=.
…………(20分)
13(甲).解:设a b m -=(m 是素数),2ab n =(n 是正整数).
因为()()22
4a b ab a b +-=-, 所以()2
2224a m n m --=,
()()22222a m n a m n m -+--=
…………(5分)
因为22a m n -+与22a m n --都是正整数,且2222a m n a m n -+>--(m 为素数),所以 222a m n m -+=,221a m n --=.
解得a =2(1)4m +,n =21
4
m -.
于是b a m =-=2
14
m -()
.
…………(10分)
又2012a ≥,即2
(1)20124
m +≥.
又因为m 是素数,解得89m ≥. 此时,a ≥2
(891)20254
+=.
当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =. 因此,a 的最小值为2025.
…………(20分)
13(乙).解:假设凸n 边形中有k 个角等于150°,则不等于150°的角有n k -个.
(1)若k n =,由()1502180n n ?=-?°°,得12n =,正十二边形的12个角都等于150°; …………(5分)
(2)若k n <,且13n ≥,由()()1501802180k n k n ?+-?>-?°°°,可得12k <,即11k ≤. 当11k =时,存在凸n 边形,其中的11个角等于150°,其余n k -个角都等于()2180111501(6)301111
n n n α-?-?=
=-?--°°°,0180α<<°°,150α≠°. …………(10分)
(3)若k n <,且811n ≤≤.
当1k n =-时,设另一个角等于α.存在凸n 边形,其中的1n -个角等于150°,另一个角()()21801150(7)30n n n α=-?--?=-?°°°.
由11n ≤可得(7)30180n α=-?<°°;由8n ≥可得(7)300n α=-?>°°,且150α≠°.
…………(15分)
(4)若k n <,且37n ≤≤,由(3)可知k ≤2n -.当2k n =-时,存在凸n 边形,其中2n -个角等于150°,另两个角都等于()215n -?°.
综上,当12n =时,k 的最大值为12;当13n ≥时,k 的最大值为11; 当811n ≤≤时,k 的最大值为1n -;当37n ≤≤时,k 的最大值为2n -.
…………(20分)
14(甲).解:由于122012x x x ,, ,都是正整数,且122012x x x <<<,所以
11x ≥,22x ≥,…,20122012x ≥. 于是12
201212
2012n x x x =
+++1220122012122012
+++=≤. …………(10分)
当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==?=?,, ,,则
122012
1220121x x x +++=. …………(15分)
当1n k =+时,其中12011k ≤≤,令1212k x x x k ===,, ,,
122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?,,,则
1220121220121(2012)2012k k x x x k
+++=+-?-1k n =+=. 综上,满足条件的所有正整数n 为122012, , , .
…………(20分)
14(乙).解:当1621n =-时,把23n , , ,分成如下两个数组:
{}8
8
16
2322121+-, , , , , 和{}8
4521-, , , . 在数组{}8
8
16
2322121+-, , , , , 中,由于3
8
82
16
32221<>-,(),所以其中不存在数a b c ,,,
使得b a c =.
在数组{}
84521-, , , 中,由于48421>-,所以其中不存在数a b c ,,,使得b a c =. 所以,n ≥162.
…………(10分)
下面证明当162n =时,满足题设条件.
不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立.故不妨设224=在第二组. 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组.
此时考虑数8.如果8在第一组,我们取8282a b c ===,,,此时b a c =;如果8在第二组,我们取16482a b c ===,,,此时b a c =.
综上,162n =满足题设条件. 所以,n 的最小值为162.
…………(20分)