2006考研数学三真题及答案解析

2006年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n

n n n -→∞

+??

=

???

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=

（3）设函数()f u 可微,且()1

02

f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.z =

（4）设矩阵2112A ??

=

?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}

max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

x

n f x e x X X X -=

-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

____.ES =

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h

→=，则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在

(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数

1n

n a

∞

=∑收敛，则级数

(A)

1n

n a

∞

=∑收敛 . （B ）

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ ]

（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.

（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]

（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.

(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ]

（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记

110010001P ??

?

= ? ???

，则

（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1

C PAP -=.

（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T

C PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

{}{}1211P X P Y μμ-<>-<

则必有

(A) 12σσ< (B) 12σσ>

(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. （16）（本题满分7分）

计算二重积分

d D

x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.

(Ⅰ) 求L 的方程；

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

3

时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）

求幂级数()()1

211

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）

设4维向量组()()()T

T

T

1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+

()T

44,4,4,4a α=+，

问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组

0Ax =的两个解.

(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

Q AQ =Λ；

（Ⅲ）求A 及6

32A E ?

?- ??

?，其中E 为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分13分）

设随机变量X 的概率密度为

()1

,1021

,024

0,X x f x x ?-<

　其他，

令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；

(Ⅲ)1,42F ??

-

???

. （23）（本题满分13分）

设总体X 的概率密度为

(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计

2006年考研数学（三）真题解析

二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n

n n n -→∞

+??

=

???

【分析】将其对数恒等化ln e

N

N =求解.

【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e

e

n

n

n n n n n n n n n n -→∞-++????

- ? ???

??

→∞

→∞

+??

== ???

，

而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+??= ???

，所以1lim(1)ln 0n

n n n →∞

+??-= ???

. 故 ()101lim e 1n

n n n -→∞

+??

==

???

.

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=

【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()

e

f x f x '=，两边对x 求导得

()()

()

2e

()e

f x f x f x f x '''==，

两边再对x 求导得 ()

()

23()2e

()2e

f x f x f x f x ''''==，又()21f =，

故 ()

323(2)2e 2e f f '''==.

（3）设函数()f u 可微,且()1

02

f '=

,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d 4d 2d .z x y =-

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为

22(1,2)(1,2)

(4)84z f x y x

x ?'=-?=?，

()

22(1,2)

(1,2)

(4)22z f x y y y

?'=-?-=-?，

所以 ()()()

1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x

y

????=+

=-?

?????

. 方法二：对()2

2

4z f x y

=-微分得

()222

222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--， 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.

（4）设矩阵2112A ??

= ?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .

【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】 由题设，有

()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11

211

A E -=

=-，所以2B =.

（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则

{}{}max ,1P X Y ≤=

19

. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度

1

,3

()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他

.

则 {}{}

{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤

{}()

2

12

011

1d 39

P X x ??=≤== ????.

【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

则 {}{}

{}1max ,11,19

S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

x

n f x e x X X X -=

-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

2.ES =

【分析】利用样本方差的性质2

ES DX =即可. 【详解】因为

()d e d 02

x

x EX xf x x x +∞

+∞

--∞

-∞

===?

?

， 22

2

220

00

()d e d e d e 2e d 2

x

x x

x x EX x f x x x x x x x x +∞

+∞+∞+∞

---+∞--∞

-∞

====-+?

?

??

2e

2e d 2e 2x x x

x x +∞

-+∞

--+∞=-+=-=?，

所以 ()2

2

202DX EX EX =-=-=，又因2

S 是DX 的无偏估计量，

所以 2

2ES DX ==.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

[ Ａ ]

【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线

()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，

00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).

（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h →=，则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在