四川省射洪中学2017届高三数学下学期入学考试试题文
第（5）题图
射洪中学2014级高三下期入学考试
文 科 数 学
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则C U )(B A =( )
A.{}134，，
B.{}34，
C. {}3
D. {}4 （2）在复平面内,复数21i
z i
=
+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（3）若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是
7
10
的事件是（ ） A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市C.至多选一个海滨城市D.两个都选海滨城市 （4）已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则|2|a b +=（ ）
A ．22
B ．5
C ．2
D ．4
（5）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．
5603 B ．580
3
C ．200
D ．240 （6）在等差数列{}n a 中，已知40,2210471=+=+a a a a ，则公差=d （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（7）直线b y x =+43与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）
A. -2或12
B. 2或-12
C. -2或-12
D. 2或12 （8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是
著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：
3 1.732
=，sin150.2588
?≈，sin7.50.1305
?≈．
A．12B．24C．48D．96
（9）已知数列{}
n
a满足
1
30
n n
a a
+
+=，
2
4
3
a=-，则{}
n
a的前10项和等于（）A．10
6(13)
-
--B．10
1
(13)
9
-
- C. 10
3(13)
-
-D．10
3(13)
-
+
（10）表面积为43
3
的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）
A．2
3
πB．
1
3
π C.
2
3
πD．
22
3
π
（11）已知函数()ln||
f x x x
=-，则()
f x的图象大致为（）
A B C D
（12）设函数
[]
2(2),(1,),
()
1||,1,1,
f x x
f x
x x
-∈+∞
??
=?
-∈-
??
若关于x的方程()log(1)0
a
f x x
-+=（0
a>且
1
a≠）在区间[]
0,5内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．()
1,3B．4(5,)
+∞C．(3,)
+∞D．4(5,3)
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）在ABC
?中，若5
b=，
4
B
π
∠=，tan2
A=，则a=___________.
（14）已知实数,x y满足不等式组
?
?
?
?
?
≤
-
+
-
≥
≥
,0
2
2
,2
,0
y
x
y
x
则2x y-的最大值是___________．
100
200300
400
游客量
（15）经过抛物线2
8y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．
（16）函数f （x ）图象上不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A 、B 两点间距离，定义φ（A ，B ）=为曲线f （x ）在点A 与点B 之间的“曲率”，
给出以下问题：
①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
②函数f （x ）=x 3﹣x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则点A 与点B 之间的“曲率”φ（A ，B ）＞
；
③函数f （x ）=ax 2+b （a ＞0，b ∈R ）图象上任意两点A 、B 之间的“曲率”φ（A ，B ）≤2a ； ④设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线f （x ）=e x 上不同两点，且x 1﹣x 2=1，若t?φ（A ，B ）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．
其中正确命题的序号为_______（填上所有正确命题的序号）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . （I ）若2c =，3
C π
=
，且ABC ?3，求a ，b 的值；
（II ）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ?的形状.
（18）（本小题满分12分）
已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单
位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；
第（19）题图
当n ∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n 300≥时，
拥挤等级为“严重拥挤”。该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
（I ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出b a ,的值，并估计该景区6月份游客人数的平均
值（同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）；
游客数量 （单位：百人）
)100,0[ )200,100[ )300,200[ ]400,300[
天数 a
10
4
1
频率
b
31
152
301
（II ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥
挤等级均为“优”的概率．
（19）(本小题满分12分)
如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，∠60BAC =?. (I)求三棱锥P ABC -的体积；
(II)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PM
MC
的值．
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的右顶点为A ，直线l 交C 于两点M 、N （异于点A ），若D 在MN 上，且AD ⊥MN ，|AD|2=|MD||ND|，证明直线l 过定点．
（21）(本小题满分12分)
已知函数()ln 1f x x kx =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：*2ln (1)(,1).1
4n
i i n n n N n i =-<∈>+∑
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方
程为11x t y t
=-+??=+?，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22
215x y -+-=，点P 的极坐标为
722,4π?? ???
．
（I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；
（II ）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ?的面积．
（23）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
射洪中学2014级高三下期入学考试文科数学答案
DDCBC CDBCA AC
210 6 3
①③．
17.（本小题满分12分） 试题解析：（I ）∵2c =，3
C π
=，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得22
4a b ab +-= (2)
分
又∵ABC ?的面积为3，∴
1
sin 32
ab C =，4ab =.……4分 联立方程组224
4a b ab ab ?+-=?=?
，解得2a =，2b =.……6分
（II ）由sin sin()sin 2C B A A +-=，得sin()sin()2sin cos A B B A A A ++-=， 即2sin cos 2sin cos B A A A =，∴cos (sin sin )0A A B -=.……8分 ∴cos 0A =或sin sin 0A B -=，当cos 0A =时， ∵0A π<<，∴2
A π
=
，ABC ?为直角三角形；……10分
当sin sin 0A B -=时，得sin sin B A =，由正弦定理得a b =，即ABC ?为等腰三角形. ∴ABC ?为等腰三角形或直角三角形.……12分 18.
19.
解：(I)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3
2.……2分
由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，……4分
所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝3
6
.……6分
(II)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N.在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM.
由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥A C. 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN.……8分