高考高中数学第52炼证明等差等比数列

第52炼等差等比数列的证明

在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识：

1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），

n n

a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）

（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）

（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）

（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *

?∈，均有：

122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=? （等比）

二、典型例题：

例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521

n n a a a n N a *+=

=∈+．求证：数列11n a ??

???

为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在

a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121

213n n n n n n

a a a a a a +++=

?=+

即

112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111

111333n n n a a a +??-=+-=- ???

即数列11n a ??-?

???

是公比为1

3的等比数列

思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1

1n n

b a =

-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明解：令11n n b a =

-，则1

n n a b =+ ∴ 递推公式变为：113

1131

1113

211

n n n n n b b b b b +++=?=+++?++

111

3333

n n n n b b b b ++?+=+?=

{}n b ∴是公比为1

3的等比数列。即数列11n a ??-????

为等比数列

小炼有话说：

（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用

（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换1

1n n

b a =

-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。

例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，213

1(*)22

n n S a n n n N +=-

-+∈（*）

．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式

思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解

解：213

122n n S a n n +=-

-+ ① ()()()2

11131112,22

n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②

∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--?=--

()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-?+=

+-???? 即11

n n b b -= {}n b ∴是公比为1

2的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：

11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 11

b ∴=

11122n n n b b -??

??∴=?= ?

???

?? 12n

n n a b n n ??

∴=-=- ???

小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：

① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）

（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）

（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来

例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *

--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ??

?-??

为等差数列解：设13n n b a =

-，则1

3n n

a b =

+代入11690n n n a a a ---+=可得：

11111336390n n n b b b --??????

++-?++= ??? ???????

1111336

91890n n n n n b b b b b ---?

+++--+= 111330n n n n b b b b --?

-+=11

n n b b -?-= {}n b ∴为等差数列，即13n a ????-??

为等差数列

例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为1

n n k x =-

+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中

1117

x =

. （1）求n x 与1n x +的关系式；（2）令11

n n b x =

+-，求证：数列{}n b 是等比数列；解：（1）曲线1

:C y x

()1:2n n n l y y x x x -=--+

()11111

121n n n n n n n n

n y x

y y x x x y x ++++?=??

?∴-=--?+?

?=??

12n n n x x x +∴=+

（2）111

21233

n n n n b x x b =

+?=+--，代入到递推公式中可得：

1111

2222111

333n n n b b b +???? ? ?+?+=++ ? ? ? ?---

????

11111112211111133422=411133333333

n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++

+????????

?=+?++-+-- ??? ???????????---

()()1111121144

4439339

n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++?+++=-+-++

()()11124

33n n n n n b b b b b +++?+=-+ 12n n b b +?=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列

小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解

例5：已知数列{}n a 满足()()11

46410,21

n n n a n a a a n N n *

++++==

∈+，判断数列221n

a n +??

+??

是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()2

21221

n n n n a b a n b n +=

?=+-+ 代入到()146410

n n n a n a n ++++=

+可得：

()()()146212410

23221

n n n n b n n b n +++-++????+-=

()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +?++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +?++=++

12n n b b +?=

而112233

a a

b ++=

∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列

② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +??

?+??

为等比数列 1

1222213

n n a a n -++∴

=?+ ()()1221223n n a n a -++∴=?-

例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111

,1,33,n n n a n n a a a n n +?+?==??-?为奇数

为偶数

，求证：

数列232n a ?

????

是等比数列思路：所证数列为232n a ??

???

，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可

证明：由11

,33,n n n a n n a a n n +?+?=??-?为奇数

为偶数

可得：

()2211

213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-?-

()2221

322213

n n a a n n -∴=--+-???? 2222211

2221133

n n n a a n n a --∴=-++-=+

222223111323232n n n a a a --??∴-

=-=- ???

∴数列232n a ?

?-???

?是公比为13的等比数列

例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数

(),m n m n >均有： ()221

m n m n m n a a m n a a +-++--=

+ （1）求02,a a

（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式解：（1）令m n =可得：

202011m m a a a a +-=?=

再令0n =可得：

()201

212

m m a m a a +-=

+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==

（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式证明：在()221

m n m n m n a a m n a a +-++--=

+中令1n =得： ()11221

m m m a a m a a +-++-=

+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+

由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：

11222442m m m a a m a m +-∴++-=+

()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=?---=

∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列

()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-

()-1222m m a a m --=-

212a a -=

()()121211m a a m m m ∴-=++

+-=-????

()11m a m m ∴=-+

例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,

n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数

列的充分必要条件是：对n N *

?∈都有

1223

111

1n n n n

a a a a a a a a +++++

思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑

11111111111n n n n n n n n a a a a a a d a a ++++????=-?=- ? ?-????

，然后恒等式左边进行求和即可证明。再

证明充分性，即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减，进而左边消去大量的项，可得：

121211

11n n n n n n

a a a a a a +++++=-，通过化简可得：

211n n n n a a a a +++-=-，从而利用等差中项完成等差数列的证明

证明：先证必要性：

{}n a 是等差数列 ∴当0d =时

121n n a a a a -====

∴左边2

2211111n a a a =

= 右边2

1n a = 当0d ≠时，考虑

11111111111n n n n n n n n a a a a a a d a a ++++????

=-?=- ? ?-????

∴左边11122311111

11111111111n n n n n a a d a a a a a a d a a d a a ++++??????????-=

-+-++-=-=?

?? ? ? ? ??????????? 1111

1n n nd n d a a a a ++=

?==右边 ∴所证恒等式成立

再证必要性：

1223111

111n n n n

a a a a a a a a +++++

= ①

1223

11212

11111

n n n n n n a a a a a a a a a a +++++∴

+++

+= ②

①-②可得：

121211

11n n n n n n

a a a a a a +++++=-

两边同时乘以112n n a a a ++得：

()1121n n a n a na ++=+- ③

同理：()111n n a na n a +=-- ④

③-④可得：()121222n n n n n n na n a a a a a ++++=+?=+

{}n a ∴为等差数列

小炼有话说：（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用

（2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。

例9：若数列{}n a 的各项均为正数，2

12,n n n n N a a a t

*++?∈=+（t 为常数），且3242a a a =+ （1）求

a a a +的值（2）求证：数列{}n a 为等差数列

解：（1）令1n =，则有2

213a a a t =+ ① 令2n =，则有2

324a a a t =+ ②

①-②可得：

()()2222231324224313224313a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-?+=+?+=+

1324

2a a a a a a ++∴

== （2）思路：所给的递推公式中含有t ，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。

解：212n n n a a a t ++=+ ③ 2

213n n n a a a t +++=+④

∴③-④可得：

22221221311322n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++-=-?+=+

()()11322n n n n n n a a a a a a +++++?+=+

132

n n n n n n a a a a a a +++++++∴

从而

13211

213

2n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a +++-+++++++===

= 2

211

22n n n n n n a a a a a a +++++∴

=?+= 1+21n n n n a a a a ++∴-=-

∴ 数列{}n a 为等差数列

例10：在数列{}n a 中，10a =，且对任意k N *

∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ，

若2k d k =，求证：22122,,k k k a a a ++成等比数列

思路：由21221,,k k k a a a -+的公差为2k d k =，而2121,k k a a -+表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即21214k k a a k +--=，从而可以求出{}n a 奇数项的通项公式，再利用2121,k k a a -+可求出2k a ，进而22122,,k k k a a a ++均可用含k 的式子表示，再从定义出发即可证明其成等比数列解：

21221,,k k k a a a -+成等差数列且

2k d k =

21214k k a a k +-∴-=

()212341k k a a k --∴-=-

314a a -=

[]()21141221k a a k k k +∴-=+++=+

()()211121k a k k a k k +∴=++=+ ()2121k a k k -∴=-

21221,,k k k a a a -+成等差数列

()222121122

k k k a a a k +-∴=

+= ()2

2221k a k +=+ ()2

222122

21222221

41k k k k k k k a a a a a k k a a +++++∴=?=+?

= 22122,,k k k a a a ++∴成等比数列一、光速解题——学会

9种快速解题

技法

技法1 特例法

在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.

典例1(特殊数值)求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)=.

答案

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0°,则原式=cos20+cos2120°+cos2240°=1++=.

典例2(特殊点)点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC 于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .

答案1

解析不妨取点P,则S1=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以

S2=×2×=,所以S1∶S2=1.

典例3(特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数” f(x)的值域可以是R;

②“影子函数” f(x)可以是奇函数;

③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)·f(x2)=1,所以①错误;

对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则f(x1)·f(x2)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②正确;

对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为△AB C的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+= .

(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为.

答案(1)3 (2)2∶1

解析(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令

PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有

==.

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.

典例5(特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .

答案

解析不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=,则=.

技法2 换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y2=6,

即(x+y)2+(y)2=()2,

故设x+y=cos α,y=sin α,

即x=cos α-sin α,y=sin α.

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(cos α-sin α)·sin α

=8-4sin.

所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.

答案-1

解析设t=sin x-cos x=sin,

则sin xcos x=,

因为x∈[0,π],所以x-∈,

所以t∈[-1,],

所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y min=-1.

典例3(局部换元)设对一切实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立,求a的取值范围.

解析设log2=t,则log2=log2=3+log2=3-log2=3-t,log2=2log2 =-2t,则原不等式化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以

解得所以t<0,即log2<0,所以

0<<1,解得0

技法3 数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为.

答案1-

解析由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故a⊥b,如图所示,|a+b|=,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值,故所求的最小值为1-.

典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.

(2)设函数g(x)=x2-2(x∈R),

f(x)=则f(x)的值域是.

答案(1)6 (2)∪(2,+∞)

解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=

∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

(2)依题意知f(x)=

即f(x)=作出图象如下(加粗部分),由图象可知f(x)

的值域是∪(2,+∞).

典例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若

f(x)=则关于x的方程f(x)+a=0(0

答案1-2a

解析在平面直角坐标系中作出函数f(x)=以及y=-a的图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0

典例4(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足时,不等式x2+y2+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是.

答案

解析动点P(x,y)满足的约束条件为其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,其中x2+(y+1)2表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方,由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x2+(y+1)2的最小值,

由点到直线的距离的平方得x2+(y+1)2的最小值为=,

因此x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1的最小值为-1=-,

所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是.

典例5(解析几何问题)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为.

答案9或1

解析在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.

技法4 待定系数法

待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化

为解方程(组)的问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况,例如求函数解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题.

典例1(求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

解析(1)设f(x)=ax+b(a≠0),

则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b,

∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

∴解得∴f(x)=2x+7.

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax2+bx.

∵f(x+1)= f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

∴解得

∴f(x)=x2+x.

典例2(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.

(2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为.

答案(1)(x+1)2+(y-)2=1 (2)+y2=1

解析(1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,

因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,

所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,

所以OA=,即t=,

故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1.

(2)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).

因为e==,所以=,即a=2b.

故椭圆C的方程为+=1.

又点A在椭圆C上,所以+=1,

解得b2=1.

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

典例3(求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{a n}中,a1=0,a n+1=2a n+n(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.

解析已知a n+1=2a n+n,

设a n+1+A(n+1)+B=2(a n+An+B),

则a n+1+An+A+B=2a n+2An+2B,

即a n+1=2a n+An+B-A,

则?

∴a n+1+n+1+1=2(a n+n+1),

∴{a n+n+1}是首项为a1+1+1=2,公比为2的等比数列,

∴a n+n+1=2·2n-1=2n,

∴a n=2n-n-1(n∈N*).

技法5 构造法

构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造图形、构造方程等.

典例1(构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不等式f(x)≥ f(2 019)e x-2 019的解集是.

答案[2 019,+∞)

解析构造函数g(x)=,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=>0,所以

g(x)=在R上单调递增.不等式f(x)≥f(2 019)e x-2 019可转化为≥,即g(x)≥g(2 019),即x≥2 019,故原不等式的解集为[2 019,+∞).

典例2(构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则的最小值为.

答案6

解析构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得(a+b)2=(+)2+9,则=(+)+≥6,

高考高中数学第52炼 证明等差等比数列

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