高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
一．考试内容：
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.
双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.
二．考试要求：
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.
三．基础知识:
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |
这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .
2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b x a y （a ＞b ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2
x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）.
⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对
称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.
线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a
c
e =
叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a
c
e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程
为c a x 2±=.对于椭圆122
22=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，
即c
a y 2
±=.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M
（x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2
c 、a
c
e =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?
（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a
b
=
；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b
y a x 与三角恒等式1sin cos 2
2=+θθ相比较
而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的参数方
程是cos sin x a y b θθ=??=?
.
5.椭圆的的内外部
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00
221x y a b ?
+<.
（2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部2200
22
1x y a b ?
+>.
6. 椭圆的切线方程
(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b
+=.
（2）过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c
+=
(三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于
|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.
若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）.这里2
22a c b -=，
其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2
y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质
1.双曲线12222=-b
y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c
e =＞1，离心率e 越大，双
曲线的开口越大.
2. 双曲线12222=-b
y a x 的渐近线方程为x a b
y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的
渐近线方程是x n
m
y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：
k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1
的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122
22=-b
y a x ，它的焦点坐标是（-c ，
0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c
a x 2
=.双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2
2|()|a PF e x c
=-.
4.双曲线的内外部
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22
00
2
21x y a b ?
->.
(2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200
2
21x y a b
?
-<.
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与122
22=-b
y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）.
6. 双曲线的切线方程
(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b
-=.
（2）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
-=.
（3）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是
22222A a B b c -=.
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。 需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例
（1）范围：x ≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）； （4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；
（5）准线方程2
p
x =-
；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：
221122112:;2:22
2:;2:22
p
p y px PF x y px PF x p
p x py PF y x py PF y ==+=-=-+==+=-=-+
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜
角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能
用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：
x 2
+bx+c=0，当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
4.抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
οοy p
y 或或)2,2(2
pt pt P P (,)x y o o ，其中
22y px =o o .
5.二次函数22
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a
--=.
6.抛物线的内外部
(1)点00(,)P x y 在抛物线2
2(0)y px p =>的内部2
2(0)y px p ?<>.
点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部2
2(0)y px p ?>>.
(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部2
2(0)y px p ?<->.
点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部2
2(0)y px p ?>->.
(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部2
2(0)x py p ?<>.
点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部2
2(0)x py p ?>>.
(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部2
2(0)x py p ?<>.
点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部2
2(0)x py p ?>->.
7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线px y 22
=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.
（2）过抛物线px y 22
=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）
抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2
2pB AC =.
(六).两个常见的曲线系方程
(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22
2
21x y a k b k
+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.
(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =
1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点
A ),(),,(2211y x
B y x ，由方程??
?=+=0
)y ,x (F b kx y 消去y 得到02
=++c bx ax ，0?>,α为直线
AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.
（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是
2222
2()2()
(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-
-=++.
四．基本方法和数学思想
1.椭圆焦半径公式：设P （x 0,y 0）为椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则0201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）
；
2.双曲线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为双曲线1222
2
=-b
y a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则:
（1）当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；
（2）当P 点在左支上时，0201,ex a PF ex a PF -=--=；
（e 为离心率）；
另：双曲线1222
2=-b
y a x （a>0,b>0）的渐进线方程为02222
=-b y a x ；
3.抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则
20p x PF +
=；y 2
=2px(p ＜0)上任意一点，F 为焦点，2
0p x PF +-=；
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
5.共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2
222
=-b y a x 为参数，λ≠0）；
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ]
4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ]4)[()11(1
1212
212
122
y y y y k y y k -+?+
=-?+
=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a
b 2
2，焦准距为p=c
b 2
，抛物线的通径为2p ，焦准距为
p; 双曲线12
222
=-b y a x （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax 2+Bx 2＝1；
9.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：
（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2，x 1x 2=4
2p ;
10.过椭圆12222=+b
y a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=；
11.对于
y 2=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（p
y 22
，y 0）,以简化计算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆
12
2
22=+b
y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22
a b -；对于双曲线1
2
222
=-b y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB .K OM =22a b ；对于y 2=2px(p ≠0)抛物线有K AB ＝2
12y y p
+
13.求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
（5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为
1=+b
y
a x 。
∵（2，1）在直线上，∴11
2=+b
a ， ①
又4ab 2
1
＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对
截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
21b a ，而不是2
1
ab 。
故所求直线方程应为：
x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例题2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =
6
336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ?+-1AB =)1(01)
1(0-?+--=1.
又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，
错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：不是AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=
AB
AC AB
AC k k k k ?+-1= - 1，∠A=1350。
例题3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k
2
，0），
∴5124=--
-k ，解得k = -5
1。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴
的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 例题4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解：设所求方程为
1=+a
y
a x ，将（1，1）代入得a = 2，
从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。
剖析：上述错解所设方程为
1=+a
y
a x ，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。 例题5 已知圆的方程为x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆
的切线有两条，求a 的取值范围。
错解：将圆的方程配方得： ( x + 2
a )2
+ ( y + 1 )2
= 4342a -。
∵其圆心坐标为C （－2a ，－1），半径r ＝4
342
a -。
当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。
即2
2)12()21(+++a ＞4
342a -。即a 2 + a + 9 ＞ 0，解得a ∈R 。
剖析：本题的“陷阱”是方程x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条
件得出AC ＞ r ，即a 2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a 2 ＞ 0。
事实上，由a 2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a 2 ＞ 0可得a 的取值范围是（33
2
,332-
）
。
例题6 已知直线L ：y = x + b 与曲线C ：y =21x -有两个公共点，求实线b 的取值范围。
错解：由??
?
??21,
x y b x y -=+=消去x 得：2y 2 - 2by + b 2 – 1 = 0。 （ * ）
∵ L 与曲线C 有两个公共点， ∴ ?= 4b 2 – 8 ( b 2 －1 ) > 0，解得－2＜b ＜2
剖析：上述解法忽视了方程y =21x -中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出
了错误的结论。
事实上，曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。
????
?????
≥-=>=+>=?0
21022b --y y 0 1)-8(b -4b 2
212
221b y y 解得1≤ b ≤2。
例题7 等腰三角形顶点是A （4，2），底边的一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程。
错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：
AC =AB ，即：22)2()4(-+-y x =2
2)52()34(-+-
∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。
这是以A （4，2）为圆心、以为半径的圆。
剖析：因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即B 、C 不能重
合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。
事实上，C 点的坐标须满足???≠≠53
y x ，且?????≠+≠+22
5423
y x ，
故端点C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠3,y ≠5；x ≠5,y ≠－1)。
它表示以（4，2）为圆心，以10为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。
例题8 求z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件： ??
?
??≤-+≤≤+351
y 153y 5x y x x
错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L 0：3 x + 5 y = 0 。
由于经过B 点且与L 0平行的直线与原点的距离最近，
故z = 3 x + 5 y 在B 点取得最小值。解方程组??
?
??=+=-153535y x y x ，得B 点坐标为（3，0），
∴ z 最小＝3?3＋5?0=9。
由于经过A 点且与L 0平行的直线与原点的距离最大， 故z = 3x + 5y 在A 点取得最大值。
解方程组??
?=++=15351y x x y ，得A 点坐标为（23，25
）。
∴ z 最大＝3?
23＋5?2
5
= 17 。
剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L 0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z 取得最大值的点。反之，即为Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。
事实上，过原点作直线L 0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L 0的
右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L 0的
左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在A 点取得最大值，在C 点取得最小值。
解方程组??
?=-+=3
51
y x x y ，得C （－2，－1）。
∴ z 最小＝3?（－2）＋5?（－1）= －11。
例题9 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线
c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点
（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N (b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2
||21>-x x
解答：（1）设(2,2),(2,2),0
B s s D s s s +--+≠
因为 B,D 在抛物线上 所以22
2(2)(2)2(2)(2)s S b S c S S b S c
?+=-+-+?-=++++?两式相减得
282s s sb =-- 则5b =-代入（1）
得2
244105s s s s c +=-+-++ 2
88c s ∴=-<
故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。
（2）设(,),(,)0
B t s t s D t s t s s +--+≠
同上22
()()(1)
()()(2)
t s t s b t s c t s t s b t s c ?+=-+-+?-=++++?L L L L
（1）-（2）得1
2
b t +=-
(3)L L
（1）+（2）得2
2
(1)0(4)
s b t t c +-++=L L
（3）代入（4）消去t 得22
2
1(1)024
b b s
c -+=-->
得2
(1)44b c --> 又()f x x =即2
(1)0x b x c +-+=的两根12,x x 满足
121x x b +=- 12x x c
?=
222121212||()4(1)44x x x x x x b c ∴
-=+-=--> 故12||2x x ->。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
例题10 已知双曲线两焦点12,F F ，其中1F 为21
(1)14
y x =-
++的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
解答：（1）由21
(1)14
y x =-
++得：2(1)4(1)x y +=--，故1(1,0)F -
（2）设点2(,)F x y ，则又双曲线的定义得1212||||||||||||0
AF AF BF BF -=-≠
又21||||AF AF ==Q
22||||AF BF ∴=
或2211||||||||F A F B AF BF +=+=
点2F 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆
10x += 除去点(1,0),(1,4)--或
22
(1)(2)184
x y +-+=除去点
(1,0),(1,4)-- 图略。
（3）联列：2(1)(2)18
4y x t x y =+?
?
?+-+=?
?消去y 得
2
2
(1)2(2)8x x t +++-= 整理得：22
3(46)2810
x t x t t +-+-+=
当0=V 时
得3t =±
从图可知：(,3(3)t ∈-∞-?++∞，
又因为轨迹除去点(1,0),(1,4)-- 所以当直线过点(1,0),(1,4)--时也只有一个交点，即1t =或5
(,3(3){1,5}t ∴∈-∞-?++∞?
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点2F 的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
例题11 已知圆1:2
2
1=+y x O ，圆:2O 09102
2=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆
圆心的轨迹方程。
错解：圆O 2：09102
2=+-+x y x ，即为16
)5(2
2
=+-y x
所以圆O 2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,
而圆1:2
2
1=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r ,
设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r
则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O
即3
)5(2
222=+--+y x y x ，
化简得064980162
2=+--y x x
即144
9)25(22
=--y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析：上述解法将||||21M O M O -=3看成3||||||21=-M O M O ,误认为动圆圆心的轨迹
为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。
事实上，|3|||21=-M O M O 表示动点M 到定点1O 及2O 的距离差为一常数3。
且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)
4(144
9)25
(22
≥=--x y x
例题12 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P 与定点)
3,4
5
(1P 距离的最值。
错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ，则
,3
1
||=d PF
即3
1
|8|)2(22=
-+-x y x
两边平方、整理得29)49()45
(222
y x +
-=1 （1）
由此式可得：2
22)
4
9()921()45(?-=-y x
因为221)3()45(||-+-=
y x PP 2
22)3()4
9
()921(-+?-=y y
16
1377
)24(812+
+-=
y 所以|
|1PP 1534
3
161377max
==
剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是
有限制的，上述错解在于忽视了22
3
223≤≤-
y 这一取值范围，由以上解题过程知，||1P P 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决
即：当223-
=y 时，22
33||max 1+=PP
例题13 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率e=332
, 过点A
（b -,0）和B(a,0)的直线与原点的距离为
2
3
,直线y=kx+m )0,0(≠≠m k 与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。
错解
由已知，有2
2413b e a ???=+=
? ??????=??
解之得：1
,32
2==b a
所以双曲线方程为13
22
=-y x
把直线 y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得：0
336)31(2
2
2
=----m kmx x k
所以0312
2
>-+=?k m (1)
设CD 中点为),(00y x P ，则AP ⊥CD ，且易知：2
2031,313k m
y k km x -=-=
所以k
k
km k m
k AP
13131312
2-=-+-= 1432+=?m k (2)
将(2)式代入(1)式得042
>-m m 解得m>4或0 故所求m 的范围是) ,4()0,(+∞-∞∈Y m 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系， 将3 1 42 += m k 代入(1) 式时，m 受k 的制约。 因为02 >k 所以41->m 故所求m 的范围应为m>4或0 4 1<<-m 例题14 椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23= e ,已知点P （2 3 ,0）到椭圆上 的点最远距离是7，求这个椭圆的方程。 错解 设所求椭圆方程为) 0(122 22>>=+b a b y a x 因为2 22a c a a b -=2112 =-=e ，所以a=2b 于是椭圆方程为1 422 22=+b y b x 设椭圆上点M （x,y ）到点P )2 3 ,0( 的距离为d, 则：22 2 )23(-+=y x d 493)1(42222+-+-=y y b y b 3 4)2 1(32 2+++-=b y 所以当2 1- =y 时，有1,7342 max 2==+=b b d 所以所求椭圆方程为14 22 =+y x 剖析 由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x 得b y b ≤≤- 由(1)式知2 d 是y 的二次函数，其对称轴为2 1 - =y 上述错解在于没有就对称轴在区间],[b b -内或外进行分类， 其正解应对f(y)=34)2 1(32 2+++-b y 的最值情况进行讨论： （1）当21- ≤-b ，即2 1≥b 时 34)2 1(2 max 2 +=-=b f d =71=?b ,方程为1422=+y x （2）当b -<-21, 即2 1 7)(max 2=-=b f d ?7=b 2123>- ，与2 1 综上所述，所求椭圆方程为14 22 =+y x 例题15 已知双曲线12 2 2 =-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、) ,(22y x Q 则??? ????=-=- )2(12)1(122 2222 121y x y x （1）)2(-得))((2121x x x x +-)3())((2 1 2121y y y y +-= 因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以???=+=+) 5(2)4(22121y y x x 将(4)、(5)代入（3）得)(2 1 2121y y x x -=- 若21x x ≠，则直线l 的斜率2 2 12 1=--= x x y y k 所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为0 12=--y x 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由?? ???=--=121 222 y x x y 得03422=+-x x 根据08<-=?,说明所求直线不存在。 例题16 已知椭圆13 4)1(: 2 2=+-y x C ，F 为它的右焦点，直线l 过原点交椭圆C 于A 、B 两点。求||||FB FA ?是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A 、B 两点坐标分别为),(A A y x 、) ,(B B y x 因为3,42 2 ==b a ， 所以12 2 =-=b a c ，4, 212 ===c a a c e 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以 2 1 5||=-A x FA 即)5(21||A x FA -= ， 同理) 5(21 ||B x FB -= 所以||||FB FA ?)1(])(525[4 1 B A B A x x x x ++-= 设直线l 的方程为y=kx ，代入椭圆方程得0 96)43(2 2 =--+x x k 所以= +B A x x 2 2439 ,436k x x k B A +-=+ 代入(1)式得||||F B FA ?)4339 25(412 k +-= 所以4 25 ||||3 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l 的斜率不存在时， 有||||FB FA ?4 25 2525=?= 所以FB FA ?||有最小值为 3，最大值为25/4 课后练习题 1、圆x 2 + 2x + y 2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于2的点共有（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导致错选（ D ）。 事实上，已知圆的方程为： （x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以22为 半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d= 2 1 21+--=2， 这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8 和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为2的平行直线即可。 如图2所示，图中三个点A 、B 、C 为所求，故应选（C ）。 2、过定点（1，2）作两直线与圆2 2 2 2150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是 A k>2 B -3 C k<-3或k>2 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑22 40 D E F +-> 3、设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点 到直线L 的距离为 3 4 C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 23 3 C 2 D 233 解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。 4、已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的 A B C D 解 答： D 易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。 5、若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范 围是 A 01k ≤≤ B 304k ≤≤ C 3 14 k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C 易错原因：将曲线y = 224x y -=时不考虑纵坐标的范围； 另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 6、已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱O P ︱·︱OQ ︱=( ) A 1+m 2 B 2 15 m + C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。 7、双曲线92x －4 2y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 8、已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α= 5 1则方程x 2sin α－y 2 cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α= 5 1 判断角α为钝角。 9、过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、 2 9 B 、4 C 、5 D 、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。 11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42 =仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1 42kx y x y ，得()x kx 412=+， 即：01)42(2 2 =+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 12、已知动点P （x ,y ）满足|3411|x y =+-，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。 13、在直角坐标系中，方程()() 02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。 14、设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，则 21PF F ?的面积是（ ）。 A.1 B. 2 5 C. 2 D.5 正解：A 14 22 =-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ① 又Θο 9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ② 联立①②解得2||||21=∴ PF PF 121=?PF F S