2020年秋苏科版九年级上册第二章《对称图形—圆》期中难题训练(三)(有答案)

2020苏科版九上第二章《对称图形—圆》期中难题训练

（三）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

1. 如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为

AN

?上一点，且AC ?=AM ?，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD =BD ；②∠MAN =90°；③AM ?=BM ?；④∠ACM +∠ANM =∠MOB ；⑤AE =1

2

MF.其中正确结论的个数是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 如图，已知A(2,6)、B(8,?2)，C 为坐标轴上一点，且△ABC 是直角三角形，则满

足条件的C 点有( )个．

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

3. 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是AB

?(异于A.B)上两点，C 是MN ?上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E.当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是( )

A. √2

B. π

2C. 3

2

D. √5

2

4.如图，点B是⊙O上一点，以OB为对角线作矩形OABC，

直线AC与⊙O分别交于E，F两点．若⊙O的半径为10，

OC=6，则CE?AF的值是

A. 2.8

B. 2√2

C. 3

D. 4.8

5.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC

内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最

小值为()

A. 3

2B. 12√13

13

C. 8√13

13

D. 2

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A(4,0)、

B(0,4)，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上

的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切

线长PQ的最小值为()

A. √7

B. 2√2?1

C. 2

D. 3√2

7.如图，点A，B的坐标分别为(0,8)，(10,0)，动点C，D分别在OA，OB上且CD=8，

以CD为直径作⊙P交AB于点E，F.动点C从点O向终点A的运动过程中，线段EF长的变化情况为()

A. 一直不变

B. 一直变大

C. 先变小再变大

D. 先变大再变小

8.已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是()

A. 32

B. 34

C. 27

D. 28

9.如图，等边三角形ABC中，边长为6，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，将

△ADE绕点A顺时针旋转α°得到△AMN，其中D，E的对应点分别是M，N，直线BM与直线CN交于点P，若α=360，则点P经过的路径长是()

A. 8√3

3π B. 8√3 C. 4√3

3

π D. 4√3

二、填空题

10.如图，点C为AB?的三等分点(BC?

CD⊥OB，则图中阴影部分的面积为______．

11.如图，点A1的坐标为(2,0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：

y=√3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交

x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，

以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；….按此作法进行下? 的长是______．

去，则A2019B2018

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=8，点D是BC上一点，BC=

3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为PD?的中点，连接

AM，则AM的最小值为______．

13.如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于

⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积

是．

14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(1?a,0)，

C(1+a,0)(a>0)，点P在以D(4,4)为圆心，1为半径的

圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是

______．

15.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，

它的两个相对的顶点A，C分别在边长为

1的正六边形一组平行的对边上，另外两

个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，

则正方形边长a的取值范围是______．

16.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC

边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.

当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．

17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上

一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是____________．

三、解答题

18.如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连结BD，过点A作AE//BD交

射线CB于点E．

(1)求证：AE是⊙C的切线．

(2)若半径为2，求图中线段AE、线段BE和AB?围成的部分的面积．

(3)在(2)的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使∠DAF=15°，求点F到直线AD

的距离．

19.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．

(1)如图1，求证：∠DAC=∠ABO；

(2)如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF=∠BAD，在弧AB取点G，使AG//OB，

若∠BAC=60°，求证：GF=GD；

(3)如图3，在(2)的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE=1：9，

求sin∠ADG的值．

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，

N，若60°≤∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．

(1)当⊙O半径为1时，

①在P1(1,0)，P2(1,1)，P3(0,2)中，⊙O的环绕点是______；

②直线y=2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕

点，求b的取值范围；

(2)⊙T的半径为1，圆心为(0,t)，以(m,√3

3m)(m>0)为圆心，√3

3

m为半径的所有

圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．

21.问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽

象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释。

(1)如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：

(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，

以RtΔABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想

S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论

(3)如图3，如果以RtΔABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第(2)问的结

论是否成立?请说明理由。

(4)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三

边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积。

22.我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=

∠A)，则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．

(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2√2，AB=4.试判断点D是

不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．

(2)如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的

“理想点”，求CD的长．

(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2)，B(0,?3)，C为x轴正半轴上一点，

且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1. D

解：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，

∴AD =BD ，AC ?=AM ?，∠MAN =90°(①②③正确) ∵AC

?=AM ?， ∴AC

?=AM ?=BM ?， ∴∠ACM +∠ANM =∠MOB(④正确) ∵∠MAE =∠AME ，

∴AE =ME ，∠EAF =∠AFM ， ∴AE =EF ，

∴AE =1

2MF(⑤正确)，

正确的结论共5个．

2. C

解：分三种情况考虑：

①当A 为直角顶点时，过A 作AC ⊥AB ，交x 轴于点C 1，交y 轴于点C 2，此时满足题意的点为C 1，C 2；

②当B 为直角顶点时，过B 作BC ⊥AB ，交x 轴于点C 3，交y 轴于点C 4，此时满足题意的点为C 3，C 4；

③当C 为直角顶点时，以AB 为直径作圆，由A(2,6)、B(8,?2)，可得此圆与y 轴相切， 则此圆与y 轴有1个交点，与x 轴有2个交点，分别为C 5，C 6，C 7． 综上，所有满足题意的C 有7个．

3. A

解：如图，连接EB.设OA=r．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵E是△ACB的内心，

∴∠AEB=135°，

∵∠ACD=∠BCD，

∴AD?=DB?，

∴AD=DB=√2r，

∴∠ADB=90°，

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF?，点C的运动轨迹是MN

?，∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α

∴MN?的长

GF?的长=

2α?π?r

180

α?π?√2r

180

=√2．

4.A

解：如图，设EF的中点为M，连接OM，则OM⊥EF．

∵在Rt△AOB中，OB=10，AB=OC=6，

∴OA=√OB2?AB2=√102?62=8，

∴OM=OA·OC

AC =8×6

10

=4.8，

在Rt△OCM中，

CM=√OC2?OM2=√62?4.82=3.6，

∵AM=AC?CM=10?3.6=6.4，

∴CE?AF=(EM?CM)?(FM?AM)=AM?CM=6.4?3.6=2.8．5.D

解：如图所示：

∵∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠PBC=90°，

∵∠PAB=∠PBC，

∴∠BAP+∠ABP=90°，

∴∠APB=90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，

∴OC=√BO2+BC2=5，

∴PC=OC=OP=5?3=2．

∴PC最小值为2．

6.C

解：如图，连接OP、OQ．

∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ；

由勾股定理知PQ2=OP2?OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A(4,0)、B(0,4)，

∴OA=OB=4，

∴AB=√OA2+OB2=4√2，

∴OP=1

2AB=1

2

×4√2=2√2，

∵OQ=2，

∴PQ=√OP2?OQ2=√(2√2)2?22=2．7.D

解：如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．∵CD=8，∠COD=90°，

∴OP=1

2

CD=4，

∴点P的运动轨迹是以O为圆心OP为半

径的⊙O，

∵PH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2FH=2√PF2?PH2=

√16?PH2，

观察图形可知PH的值由大变小再变大，

∴EF的值由小变大再变小，

8.D

解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是内切圆与△ABC的切点．

，

设AB=a，BC=b，则有2=a+b?12

2

∴a+b=16，

∴a2+2ab+b2=256，

∵a2+b2=122=144，

∴2ab=112，

ab=28．

∴1

2

∴△ABC的面积为28．

9.A

解：设正△ABC的外心为O点，由题意结合图形可知：M、N在以A点为圆心AE长为半径的圆上运动，当N点与E点重合时，P点在A点处；当N点运动到D点时，P点运动到F点，此时F点在OD的延长线上；当N点运动到CA的延长线上时，P点运动到A点；当M点运动到E点时，P点运动到G点，此时G点在OE的延长线上；当N点回到E点时，P点运动到A点，当△BAM与△CAN存在，易证△BAM≌△CAN，则∠MBA=∠NCA，则∠BPC=∠BAC=60°，

∴可以得出P点的运动路线是以正△ABC的外心为圆心，正△ABC的外接圆半径为半径，圆心角为120°的弧GF，

即当将△ADE绕点A顺时针旋转360°时，P点正好在弧GF上运动一个往返：A→F→A→G→A，

∴点P经过的路径长是弧GF长的2倍．

∵正△ABC 的外心为O 点，边长为6，D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴∠GOF =120°，半径OA =2√3， ∴弧GF 的长

，

∴点P 经过的路径长是．

10. 3π2?9

8√3

解：连接OC ，AC ，

∵点C 为AB

?的三等分点，∠AOB =90°， ∴∠COD =30°，∠AOC =60°， ∵CD ⊥OB ， ∴S △OCD =S △ACD ，

∵∠COD =90°，∠DOC =30°，OC =OA =3， ∴CD =3

2

，OD =3√32

， ∴图中阴影部分的面积=S △ACD +S 弓形AC =1

2

×

3√32

×3

2

+

60?π×32360

?1

2

×3×

3√32

=

3π2

?

98

√3，

11. 22019π3

解：直线y =√3x ，点A 1坐标为(2,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为(2,2√3)，

以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1， OA 2=√22+(2√3)2=4，点A 2的坐标为(4,0)，

这种方法可求得B 2的坐标为(4,4√3)，故点A 3的坐标为(8,0)，B 3(8,8√3) 以此类推便可求出点A 2019的坐标为(22019,0)，

则A 2019B 2018? 的长是60×π×2

2019

180

=

22019π3

．

12. 5√2

解：如图，连接OM ，CM ，过点A 作AT ⊥CM 交CM 的延长线于T ．

∵PM

?=DM ?， ∴OM ⊥PD ， ∴∠MOD =90°，

∴∠MDC =1

2∠MOD =45°， ∵∠ACB =90°， ∴∠ACT =45°， ∵AT ⊥CT ， ∴∠ATC =90°， ∵AC =10，

∴AT =AC ?sin45°=5√2， ∵AM ≥AT ， ∴AM ≥√2，

∴AM 的最小值为5√2，

13. 2?√2

解：设OE 交DF 于N ，如图所示： ∵正八边形ABCDEFGH 内接于⊙O ， ∴DE =FE ，

，DE

?=FE ?， ∴∠OEF =∠OFE =∠OED ，OE ⊥DF ，

∴△ONF是等腰直角三角形，

∴ON=FN=√2

2

OF=√2，∠OFM=45°，

∴EN=OE?ON=2?√2，∠OEF=∠OFE=∠OED=67.5°，∴∠CED=∠DFE=67.5°?45°=22.5°，

∴∠MEN=45°，

∴△EMN是等腰直角三角形，

∴MN=EN，

∴MF=MN+FN=ON+EN=OE=2，

∴△MEF的面积=1

2MF×EN=1

2

×2×(2?√2)=2?√2，

14.6

解：∵A(1,0)，B(1?a,0)，C(1+a,0)(a>0)，

∴AB=1?(1?a)=a，CA=a+1?1=a，

∴AB=AC，

∵∠BPC=90°，

∴PA=AB=AC=a，

如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A(1,0)，D(4,4)，

∴AD=5，

∴AP′=5+1=6，

∴a的最大值为6．

15.√6

2

≤a≤3?√3

解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，

正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，

∴AC=A′D=√3，

∴a=√6

2

，

②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，

设A′(t,√3

2

)时，正方形的边长最大，

∵OB′⊥OA′，

∴B′(?√3

2

,t)，

设直线MN的解析式为y=kx+b，M(?1,0)，N(?1

2,?√3

2

)，

∴{?k+b=0

?1

2

k+b=?√3

2

，

∴{k=?√3

b=?√3

，

∴直线MN的解析式为y=?√3x?√3，

将B′(?√3

2,t)代入得t=3

2

?√3，

此时，A′B′取最大值，

∴a=√(3

2?√3+√3

2

)2+(√3

2

?3

2

+√3)2=3?

√3，

∴正方形边长a的取值范围是：√6

2

≤a≤3?√3，

16.3或4√3

解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+(8?x)2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC?PC=8?5=3．

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，PB=√82?42=4√3．

17.3

2?x?7

2

解：作AC的中点E，连接BE、ME．

在直角△ABC中，

AC=√AB2+BC2=√42+32=5，∵E是直角△ABC斜边AC上的中点，

∴BE=1

2

AC=2.5．

∵M是CD的中点，E是AC的中点，

∴ME=1

2

AD=1．

∴在△BEM中，2.5?1≤BM≤2.5+1，即3

2?x?7

2

．

18.(1)证明：如图1中，连结AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又∵BD//AE，

∴AC⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．

(2)如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，

又∵AC=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵AC=2，

∴AE=AC?tan60°=2√3，

∴S

阴=S△AEC?S

扇形ACB

=1

2

×2×2√3?60?π?22

360

=2√3?2

3

π.

(3)①如图2中，当点F在AD?上时，

∵∠DAF=15°，

∴∠DCF=30°，

∴∠ACF=∠FCD，

∴点F是弧AD的中点，

∴CF⊥AD，

∴点F到直线AD的距离=CF?CA?cos30°=2?√3．

②如图3中，当点F在优弧BD?上时，

∵∠DAF=15°，

∴∠DCF=30°，

过点C作CG⊥AD于D，过点F作FH⊥CG于H，

可得∠AFH=15°，∠HFC=30°，

∴CH=1，

∴点F到直线AD的距离=CG?CH=AC?cos30°?CH=√3?1．综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2?√3或√3?1．

19.(1)证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．

∵BQ是⊙O直径，

∴∠QAB=90°．

∵AD⊥BC，

∴∠AHC=90°．

∵弧AB=弧AB，