2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一(下)调研数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一（下）调研数
学试卷
一、单选题（共8小题）.
1．设集合M＝{x|x＞﹣1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）2．已知命题p：?x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（）
A．?x＞1，x2﹣4≥0B．?x≤1，x2﹣4＜0
C．?x≤1，x2﹣4≥0D．?x＞1，x2﹣4≥0
3．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（）A．B．C．D．
4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后与函数g（x）的图象重合，则函数g （x）为（）
A．B．C．D．
5．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝sin x
6．已知a＝log20.4，b＝log0.40.5，c＝20.4，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
7．函数的定义域为（）
A．[﹣2，0]B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）8．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）
A．6B．3C．D．
二、多选题（共4小题）.
9．设函数，下列说法正确的是（）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）是奇函数
C．函数f（x）有最大值1
D．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减
10．已知a＞b＞c，且ac＜0，则下列不等式恒成立的有（）
A．B．C．D．
11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．
C．D．
12．下列说法中，正确的有（）
A．e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝2
B．幂函数y＝xα图像过原点时，它在区间（0，+∞）上一定是单调增函数
C．设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件
D．“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件三、填空题（共4小题）.
13．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则该函数的解析式为f（x）＝．14．已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为．
15．若x＞1，则9x+的最小值等于．
16．不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数的单调递增区间是．
四、解答题
17．已知，且．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
18．集合A＝{x|＜2x＜8}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若B?A，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）＝2x，x∈R．
（1）若函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；
（2）若，求3x+3﹣x的值．
20．为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务．研究发现，一亩脐橙树的产量w（单位：吨）与肥料费用x（单位：千元）近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w＝1.7+，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w＝﹣．此外，还需投入其他成本2x千元．若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．
21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求出函数f（x）的函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在上的最值．
22．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0；
（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．设集合M＝{x|x＞﹣1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）解：M＝{x|x＞﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴M∩N＝（﹣1，1）．
故选：B．
2．已知命题p：?x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（）
A．?x＞1，x2﹣4≥0B．?x≤1，x2﹣4＜0
C．?x≤1，x2﹣4≥0D．?x＞1，x2﹣4≥0
解：命题是特称命题，
则否定是全称命题，即?x＞1，x2﹣4≥0，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（）A．B．C．D．
解：角α的终边经过点P（1，﹣2），即x＝1，y＝﹣2，则r＝＝．∴sinα＝＝＝﹣．
故选：D．
4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后与函数g（x）的图象重合，则函数g （x）为（）
A．B．C．D．
解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y ＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）．
则函数g（x）为：y＝3sin（2x+）．
故选：D．
5．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝sin x
解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．
B．函数在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数，满足条件，
C．函数的定义域为（0，+∞）为非奇非偶函数，不满足条件．
D．函数是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
故选：B．
6．已知a＝log20.4，b＝log0.40.5，c＝20.4，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解：∵a＝log20.4＜log21＝0，
0＝log0.41＜b＝log0.40.5＜log0.40.4＝1，
c＝20.4＞20＝1，
∴a＜b＜c．
故选：A．
7．函数的定义域为（）
A．[﹣2，0]B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）解：要使函数有意义，则1﹣log2（x+2）≥0得log2（x+2）≤1，即0＜x+2≤2，得﹣2＜x≤0，
即函数的定义域为（﹣2，0]，
故选：C．
8．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）
A．6B．3C．D．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（log23）＝f（log23+1）＝
＝3×2＝6．
故选：A．
二、多选题
9．设函数，下列说法正确的是（）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）是奇函数
C．函数f（x）有最大值1
D．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减
解：根据题意，，则f（x）的定义域为R，
有f（﹣x）＝（）|x|＝f（x），是偶函数，A正确，B错误，
＝，在区间（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单
调递减，
则函数f（x）有最大值为f（0）＝1，
故C正确，D错误，
故选：AC．
10．已知a＞b＞c，且ac＜0，则下列不等式恒成立的有（）
A．B．C．D．
解：由已知可得a＞0，c＜0，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，
则b﹣a＜0，所以，故A错误；
因为b＞c，a＞0所以，故B正确；
故选：BC．
11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．
C．D．
解：∵，∴两边平方得：1+2sinθcosθ＝，∴，∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（0，π），∴，
∴sinθ＞cosθ，
∴，∴，
又∵，
∴，，
故选：ABD．
12．下列说法中，正确的有（）
A．e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝2
B．幂函数y＝xα图像过原点时，它在区间（0，+∞）上一定是单调增函数
C．设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件
D．“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件解：对于A：e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝1+lg2+lg5（lg2+lg5）＝1+lg10＝2，故A正确；
对于B：当幂函数y＝xα图像经过原点时，所以α＞0，它在区间（0，+∞）上是单调增函数，故B正确；
对于C：设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），当“log a b＝log b a”时，得到a＝b或ab＝1，所以“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件，故C正确；
对于D：“φ＝”时，函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”，当函数f （x）＝sin（2x+φ）为偶函数”则φ＝kπ+（k∈Z），
故“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则该函数的解析式为f（x）＝．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，
把点（3，）代入可得＝3α，
∴α＝，
即f（x）＝，
故答案为：．
14．已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为2．
解：由扇形的面积公式可得该扇形的面积为．
故答案为：2．
15．若x＞1，则9x+的最小值等于15．
解：由于x＞1，
所以x﹣1＞0，
则：9x+＝9（x﹣1）+，
当且仅当9（x﹣1）2＝1，
即当x＝时，等号成立．
故答案为：15
16．不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数的单调递增区间是[0，1]．
解：∵不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
∴﹣2和1是ax2+x+c＝0的两根，由根与系数的关系知﹣2+1＝﹣＝﹣1，﹣2×1＝＝﹣2，
由不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，可知a＜0，∴a＝﹣1，c＝2，
则＝，
因为函数y＝的定义域为[0，2]，
令g（x）＝﹣x2+2x，则对称轴为x＝1，则该函数的增区间为[0，1]，所以y＝
的增区间为[0，1]，
故答案为：[0，1]．
四、解答题
17．已知，且．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，且，
所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣；
（2）＝＝﹣7．
18．集合A＝{x|＜2x＜8}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若B?A，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝0时，B＝{x|﹣1＜x＜1}，
由，可知：A＝{x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．
（2）由（1）知，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，且B?A，
i）当B＝?时，a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2；
ii）当B≠?时，，解得﹣1≤a≤1．
综上所述：a的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，1]．
19．已知函数f（x）＝2x，x∈R．
（1）若函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；
（2）若，求3x+3﹣x的值．
解：（1）f（x）＝2x为R上的增函数，则f（x）在区间[a，2a]上为增函数，
∴，，
由22a+2a＝6，得22a+2a﹣6＝0，即2a＝﹣3（舍去），或2a＝2，即a＝1；
（2）若，则，即，则x＝log32，
∴3x+3﹣x＝＝．
20．为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务．研究发现，一亩脐橙树的产量w（单位：吨）与肥
料费用x（单位：千元）近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w＝1.7+，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w＝﹣．此外，还需投入其他成本2x千元．若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．
解：（1）由题意可知：
，
即f（x）的解析式为：f（x）＝；
（2）由（1）知：f（x）＝；
①当x∈[0，3]时，f（x）＝17+3x为单调递增函数，
所以当x＝3时，f（x）的最大值为26千元．
②当x∈（3，6]时，f（x）＝﹣x2+10x+5＝﹣（x﹣5）2+30，
x＝5时取得最大值为30千元．
综上所述：每亩地投入肥料5千元时，利润最大为30千元．
21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求出函数f（x）的函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在上的最值．
解：（1）由图可知：A＝2，，即T＝π，
根据，得：ω＝2，
由，得：，k∈Z，
∴，，
故函数f（x）的解析式为：．
（2）由（1）知函数f（x）的解析式为，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（3）由（2）知f（x）在上为增函数，f（x）在上为减函数，∴f（x）在时，取得最小值，
f（x）在时，取得最大值，
综上所述：f（x）在上的最小值为﹣1，最大值为2．
22．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0；
（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，
则f（0）＝＝0，解可得a＝1，
当a＝1时，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），是奇函数，
符合题意；
故a＝1；
（2）函数f（x）在R上为增函数，
证明如下：f（x）＝＝1﹣，
设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，又由x1＜x2，则（﹣）＜0，（+1）＞0，（+1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）在R上为增函数；
不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0
?f（x2﹣2x）＜﹣f（3x﹣2）?f（x2﹣2x）＜f（2﹣3x）?x2﹣2x＜2﹣3x，
解可得：﹣2＜x＜1，
则不等式的解集为（﹣2，1）；
（3）假设存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，
又由（2）的结论，函数f（x）在[m，n]上为增函数，
则有，则m、n为方程＝的两根，
令t＝4x，有t＞0，则即t2﹣（k+1）t﹣k＝0有2个不等的正根，
则有，解可得﹣3+2＜k＜0，
则k的取值范围为（﹣3+2，0）．