等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc
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等差数列与等比数列的综合问题
【知识要点】
（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质
（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k
m a a k m --.
（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.
（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，
奇
偶S S =
n
n a a 1+，
S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；
若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，
奇
偶S S =n
n 1-，S 2n －
1
=（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －k .
（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m .
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.
（二）对于等差、等比数列注意以下设法：
如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为q
a ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为
3
q a ，
q
a ，aq ，aq 3.
（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列
1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.
若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.
2.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.
当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.
当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. ●点击双基
1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n +1＞a n ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *
），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为
A.0
B.－3
C.3
D.1
3.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为4
1的等差数列，则a +b 的值是
A.8
3
B.24
11
C.24
13
D.72
31
4.在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是___________________.
5.等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数
列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________. 【典型例题】
例1 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.
（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8， 其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.
例2 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.
（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；
（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有1
1b c +
2
2
mb c +
3
23b m c +…+
n
n n b m c 1 =（n +1）
a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .
例3 在等比数列{a n }（n ∈N *）中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n =log 2a n ，且b 1+b 3+b 5=6，b 1b 3b 5=0.
（1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；
（3）试比较a n 与S n 的大小.
【经典练习】
1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是
A.a
b
B.2
2a
b
C.a
b 2 D.
2
a b
2.公差不为零的等差数列{a n }的第二、三及第六项构成等比数列，则
6
42531a a a a a a ++++=_____.
3.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则
2
12
21)(b b a a ?+的取值范围是___________________.
4.已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（2
1）n +1
.
数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－2
1a n .
（1）求证:数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.
5.设{a n }为等差{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.
6.已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n x n （x ∈R ），求数列{b n }前n 项和的公式.
7.数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式.
（2）设b n =
)
12(1
n a n （n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数
m ，使得任意的n 均有S n ＞32
m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说
明理由.
8.已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.
（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证
明）；
（2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求
∞
→n lim
'n
n S S 的值.
9.设f （k ）是满足不等式log 2x +log 2（3·2k －1－x ）≥2k －1（k ∈N *）的自然数x 的个数.
（1）求f （k ）的表达式；
（2）记S n =f （1）+f （2）+…+f （n ），P n =n 2+n －1，当n ≤5时试比较S n 与P n 的大小.
10. 已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －
a n －1），…，此数列是首项为1，公比为3
1的等比数列.（1）求数列{a n }的通
项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .