2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
杨浦区2016学年度第一学期期末高三年级质量调研
数学学科试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
1、若“a b >”，则“33a b >”是 命题。（填：真，假）
2、已知(],0A =-∞，(),B a =+∞，若A B R =，则a 的取值范围是 。
3、294z z i +=+（i 为虚数单位），则z = 。
4、若ABC ?中，4a b +=，o 30C ∠=，则ABC ?面积的最大值是 。
5、若函数()2log 1
x a f x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a = 。 6、过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是o 60，则该
截面的面积是 。
7、抛掷一枚均匀的骰子（刻有12345,6,,,,）三次，得到的数字以此记作,,a b c ，则a b i +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是 。
8、设常数0a >，9(x
展开式中6x 的系数为4，则()2l i m n n a a a →∞+++= 。
9、已知直线l 经过点()0且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 。
10、若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 。
11、平面直角坐标系中，给出点()1,0A ，()40B ，，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是 。
12、函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2.0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，
且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值
为 。
二、选择题（本大题满分20分）
13、若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ?=?”是“()a b c ⊥-”的（ ）
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分也非必要条件
14、行列式147
258369
中，元素7的代数余子式的值为（ ）
A 、-15
B 、-3
C 、3
D 、12 15、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两位员工数据不清楚。那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A 、5800
B 、6000
C 、6200
D 、6400
16、若直线a b a c ?=?过点a b a c ?=?，则下列不等式正确的是（ ）
A 、221a b +≤
B 、221a b +≥
C 、22111a b +≤
D 、22111a b +≥
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5小题
17、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中o 60=∠BAC .
（1）求半径PB 的长度；
（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每一个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）（h s V ?=底柱）
A P C
B o 60
18、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
如图所示，21l l 、是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点B A 、在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，CN NM BM AM ===.
（1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；
（2）若四面体ABCN 的体积9=ABCN V ，求异面直线21l l 、之间的距离.
19、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分 如图所示，椭圆14
:22
=+y x C ，左右焦点分别记作21F F 、，过21F F 、分别作直线21l l 、交椭圆于CD AB 、，且21//l l .
（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：21k k ?为定值；
（2）求四边形ABCD 面积的最大值.
20、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
数列{}n a ，定义{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中n n n a a a -=?+1，()
*∈N n .
16．若n n a n -=2，试判断{}n a ?是否是等差数列，并说明理由； A B C N
2l M 1
l
17．若11=a ，n n n a a 2=-?，求数列{}n a 的通项公式；
18．对（2）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n n n n n n
a C
b C b C b =+++ 2211对一切*∈N n 都成立，若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.
21、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()(
)f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”。 （1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；
（2）若函数()sin f x k x π=+是“2
π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由。