导数在实际生活中的应用

导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。

导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。

1．导数与函数的极值、最值解读

函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。

函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。

最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。

2．导数在实际生活中的应用解读

生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。

例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602

x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23

60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

，这个结论是否具有一般性？

变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？

提示：()2()2(0)2

a V x x a x x =-<< 答案：6

a x =。

评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。

例2：已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258

p q =-。求产量q 为何值时，利润L 最大。分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格。由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。

解：收入211252588R q p q q q q ??=?=-=- ??

? 利润()212510048L R C q q q ??=-=--+ ??

? ()212110002008

q q q =-+-<< '1214

L q =-+ 令'0L =，即12104

q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。

答：产量为84时，利润L 最大。

点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。

例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。

解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8.

并设AC=x (020)x << ∴CB=20x -，

于是点C 的烟尘浓度为：228(20)

k k y x x =

+- (020)x <<，其中k 为比例系数。则32'

33332162(96012008000)(20)(20)k k x x x y k x x x x -+-=-+=?--

令'0y =，有32960120080000x x x -+-=，

即2(320)(3400)0x x -+=。

解得在（0，20）内惟一驻点203

x =。由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得， ∴在惟一驻点203x =

处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处203

km 处的烟尘浓度最小。

例4：统计表明，某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 313812800080

y x x =-+ (0120)x <≤。已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（1）当x =40时，汽车从甲地到乙地行驶了

100 2.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080

?-?+?= （升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时，设耗油为()h x 依题意:3213100180015()(8)1280008012804

h x x x x x x =-+?=+- (0120)x <≤ 33

2280080()640640x x h x x x -=-= (0120)x <≤. 令'

()0h x =，得80x =。

当(0,80)x ∈时，'()0h x <，()h x 是减函数；

当(80,120)x ∈时，'()0h x >，()h x 是增函数。

∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =。

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

点评：以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数座位强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。

总之，导数座位一种工具，在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。还可以解析几何相联系，可以在知识网络交汇处设计问题。因此，在实际生活中，药学会应用导数的作用。

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

导数在实际生活中的应用

§1.4导数在实际生活中的应用目的要求：（1）巩固函数的极值与最值（2）利用导数解决应用题中有关最值问题例1．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε。外电阻R 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例4．强度分别为,a b 的两个光源,A B ，它们间的距离为d ，试问：在连接这两个光源的线段AB 上，何处照度最小？试就8,1,3a b d ===时回答上述问题（照度与光的强度例()C x ；出售x 单位产品的 ()()x C x -称为利润函数，记为( )P x 。（+，生产多少单位产品时，边际成本'()C x 最低？（2）设()5010000C x x =+，产品的单价1000.1p x =-，怎样的定价可使利润最大？作业 1．函数3|6|y x x =-，当x ?∈?时，y 的最大值为（） A. 2．已知函数32()f x x bx c =-+，若/()f x ≥3-，且/0()3f x =-，则0x = （） .3A - B.3 C.1- D.±1 3．已知函数()(),n f x x m n N *=-∈,且对任意x R ∈，都有//(3)(3)f x f x -=+，则m = ，()f x 的单调性是。 4．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是 5．若函数3232y x x m =++在[－2，1]上的最大值为92 ，则m = 6．将8分为两正数之和，使其立方和最小，则这两个数分别为 7．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点（1，0）处，则()f x 的极大值为 8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是 21400(0400)280000(400) (){x x x x R R x -≤≤>==则总利润最大时，每年生产的产品是 9．若函数4()32f x x x c =-+有最小值38-，则c= 10．已知函数32()23121f x x x x =--++在[],1m 上的最小值为17-，则m = 11．已知函数'()y x f x =的图象如右图所示 (其中'()f x 是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( ) 12．已知由长方体的一个顶点引出的三条棱长之和为1最小值和最大值。 13．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V

导数在经济学中的应用

引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多

自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间是________．解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增．又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是

新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

学习目标核心素养１．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点）２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养．２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 导数在实际生活中的应用１．最优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．２．用导数解决最优化问题的基本思路１．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）Ａ．6 m Ｂ．8 m Ｃ．４m Ｄ．２m [解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）． [答案] C ２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． [解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）

＝—x２＋２３0x—6 000， S′（x）＝—２x＋２３0，由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大． [答案] １１５面积、体积的最值问题示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）．（１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？（２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0．（１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800，所以当x＝１５时，S取得最大值．（２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）．由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0．当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0．所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．

导数的实际应用_知识讲解

导数的实际应用【要点梳理】要点一：最优化问题现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题．要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值．一般步骤为： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =； (2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=； (3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题； (2)用料最省、费用最低问题； (3)面积、体积最大或最小问题．【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角

导数在实际生活中的应用1教案

导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点理利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。于是宽为128128816x ==。

导数在实际中的应用的简单举例【最新】

答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。它有着及其丰富的背景和广泛的应用。我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下 1．研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 2．证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想

的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式. 3．求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 4．研究曲线的切线问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解. 5．解决实践问题

导数在经济学的应用

第七节导数在经济学中的应用本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回内容要点：一、边际分析在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数：根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、函数弹性函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量

导数在实际问题中的应用

导数的实际应用命题：王长德审核：朱效利 2012.2.17 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题， 1、在生活中经常会遇到求利润________、用料_________、效率_______等问题，这些问题通常称为_______________。 2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的_________，根据实际意义确定定义域。 (2)求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0在定义域内的根，确定_______. (3)比较函数在区间短点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值。 (4)还原到原实际问题中作答。小结：解应用题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导学应用）（检验作答） 3、常见的函数模型是： (1)二次函数型__________________ (2)三次函数型___________________ (3)分式型函数型c x b ax y ++= (4)指数函数型____________________ (5)对数函数型____________________ 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>? ，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。

例1、有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？例2、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？

导数在解决实际问题中的应用

导数在解决实际问题中的应用导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -= cm ，得箱子容积 2 60)(32 2x x h x x V -== )600(<

x x x V 2)260()(-=)300(<

导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性 (一)边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用 c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)， c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由 x o 变化到x^ x ，则： C (X o ? ：x) - C (X o ) A x 称为c(x)在(X o , X o ?厶x)内的平均成本，它表示总成本函数 c(x)在(X o , X 。?厶X )内的平均变化率。而c(x)/x 称为平均成本函数，表示在产量为 X 时平均每单位产品的成本。例1，设有某种商品的成本函数为： c(x)二 5000 13x 30、x 其中x 表示产量(单位：吨)，c(x)表示产量为x 吨时的总成本(单位：元)，当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： C (x)亠。=5000 + 13汉400 + 30汉7400 =10800(元) 、/ x￥00 c(x) J 0800 =27(元/吨) x X =400 400 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加 Ax =50吨时，相应地总成本增加量为：：c(x)二c(450) -c(400) =11468.4 -10800 =686.4 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由 13.728 元。类似地计算可得：当产量为 400吨时再增加1吨，即. ：x=1时，总成本的变化为: :c(x)二 c(401)-c(400) =13.7495 = c(x) x x =400 ,'x =500 686.4 50 = 13.728 400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本

导数及其应用

第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求:1、了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1 x 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数设函数y ＝f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0 ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数.通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、 (2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数,就是曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.

(3)函数的导函数一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx ,则f ′(x )就是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导数. 2.导数公式及运算法则 (1)导数公式表 (2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); ③?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0). (3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( ) (2)f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)????sin π3′＝cos π 3 、( )

用导数处理实际问题中的最优化问题

教学过程一、复习预习复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π 上的最大值为_____；最小值为_______. 二、知识讲解创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：

考点/易错点1注意实际问题中的定义域将实际问题抽象成数学问题之后，往往容易忽略函数的定义域，比如实际问题的人数必须是正整数等等。三、例题精析【例题1】【题干】汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？【答案】因为 w w g t G s s v t === 这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g v 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ．因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ．【解析】研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s =，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题．通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =．从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．【例题2】

导数在经济学中的应用

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/1612265884.html, 导数在经济学中的应用作者：刘君泽来源：《文理导航》2017年第23期【摘要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。【关键词】导数；经济学；边际分析 1.导数的概念导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。 2.导数概念的经济学解释 f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。 3.分析边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。 4.导数在最值问题上的应用 4.1最小平均成本问题

导数在实际生活中的应用

选修2-2 第1章导数及其应用 §1.4导数在实际生活中的应用第1课时（总第58教案）一、【教学目标】 1、通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用； 2、通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及建模能力的提高。二、【教学重点】如何建立数学模型来解决实际问题。三、【知识点】 1、导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决；（求最值的又一新方法：导数）2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先认真读题，建立目标函数后，然后用导数求解。解题中应注意实际意义； 3、解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式，这需要通过分析，联想，抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值就是它的最值，切记，切记。四、【典型例题】例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱子，当箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2、某种圆柱形饮料罐的容积一定时，它的高与底底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

例3、在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E 。当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例题4、强度分别为b a ,的两个光源A,B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上述问题。（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例5、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）若C(x)＝10005003.0102 36++--x x x ，则生产多少单位产品时，边际成本 )(x C ' 最低？（2）如果C (x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？

导数在实际生活中的应用

导数在实际问题中的应用

第 1 页共 2 页导数在实际问题中的应用教学目标： 1、在实际问题中，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义 2、能建立实际问题的数学模型，并用导数解决实际问题中的最优化问题； 3、掌握解决实际问题的基本步骤，并体会算法思想教学重点：实际问题中的导数的意义，利用导数解决实际生活中的最优化问题。教学难点：不同的实际问题背景中辨析导数的实际意义，建立实际问题的函数模型，并利用导数求最值。教学过程：一、回顾旧知：前面我们研究过实际问题中，与导数有关的问题：如：位移问题，速度问题，线密度问题、边际成本问题等都与导数有关；今天我们继续探究实际问题中与导数有关的事例。二、探究新课： 1、功与功率：例1、某人拉动一个物体前进，他所做的功W （单位：J ）是时间t （单位s ）的函数，设这个函数可以表示为t t t t W W 166)(23+-== （1）求t 从1s 变化到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；（2）求)2(),1(W W ''，并解释它的实际意义；解释：)2(),1(W W ''分别表示s t s t 2,1==时，这个人每秒做的功，在物理学中通常称为功率。 2、降雨强度：例2、如图为一次降雨过程中一段时间记录下的降雨量的数据：

第 2 页共 2 页显然，降雨量是时间t 的函数，用)(t f y =表示（1）分别计算当t 从0变化到10，50变化到60时，降雨量y 关于时间t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2）假设得到降雨量y 关于时间t 的函数的近似表达式为()f t =求)40(f '并解释它的实际意义；解释：)40(f '表示：40=t 时的降雨强度。 3、边际成本：例3、设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为 C (q ) = aq 3－bq 2 + cq ，（其中a ＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量. （2）最小平均成本及相应的边际成本. 4、最优化问题：例4、一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为C (q ) = 3+q （单位：百元），可得的总收入为R (q ) = 6q －q 2（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？例5、矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例6、在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一个三角形，问：0x 为何值时，此三角形面积最小？例7、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米／时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最少？三、小结：导数在实际生活中运用比较多，上面我们研究结果特殊事例，在现实生活中还有许多都属于和导数有关的问题。