《单元10 函数模型及其应用》系列测试卷(A)
《单元10 函数模型及其应用》A佳H系列测试卷（A）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共10小题，每小题4分，共40分）
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）．
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100D．y＝100x
2.如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是（）．
A．x＞0 B．x＞2 C．x＜2 D．0＜x＜2
3. 已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（）．
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1
4.已知某工厂8年来某种产品的产量c与时间f（单位：年）的函数关系如图所示，则下面四种说法中，正确的是（）．
①前三年中产量增加的速度越来越快；
②前三年中产量增加的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，这种产品产量保持不变
A.②③B．②④C．①③D．①④
5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均
仓储时间为
8
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数的是（ ）．
A ．S ＝800＋ 8x
B ．S ＝800x ＋8x
C ．S ＝x 800＋ 8x
D ．S ＝x
800＋x
6.若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则蜡烛燃烧剩下的髙度h （cm ）与燃烧时间t （小时）的函数关系用图象表示为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
??
?
??>≤<+≤≤=1005.1100101021014x x x x x x y ，，，
，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数
为60人，则该公司拟录用人数为（ ）．
A ．15人
B ．40人
C ．25人
D ．70 人
8.有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是（ ）．
A ．y ＝log a x （a ＞1）
B ．y ＝ax ＋b （a ＞1）
C ．y ＝ax 2＋b （a ＞0）
D ．y ＝log a x ＋b （a ＞l ）
9.某商场在国庆促销期间规定商场内所有商品按标价的80%出售，同时，
当顾客在该商
场内消费满一定金额后，按如下方案可以再获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110（元）．若顾客购买一件标价为1000元的商品，则获得的优惠额为（）．
A．130元B．330元C．360元D．800元
10.在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮资0.80元，超过20g而不超过40g时付邮资1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮资0.80元（信重在100 g以内）．如果某人所寄的一封信的重量为82.5 g，那么他应付邮资（）．
A．2.4元B．2.8元C．3.2元D．4元
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.某汽车在同一时间内速度v（km/h）与耗油量Q（L）之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为km/h时，汽车的耗油量最少．
12.大气温度y（℃）随着距离地面的高度x（km）的增加而降低，到高空11 km处为止，在更高的上空气温几乎不变．设地面气温为22℃，大约每上升1 km大气温度降低6℃，则y与x的关系为．
13.如图是抛物线形拱桥，当水面位于l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降
1米后，水面宽．
14.为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为．
三、解答题（本大题共4小题，每小题11分，共44分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个．为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x．已知日利润＝（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y．（1）写出y与x的关系式；
（2）为使日利润最大，问x应取何值？
16.（2014?清华附中月考）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不髙于800元/件．经试销调查发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似满足一次函数y＝kx＋b的关系（图象如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元，求该公司可获得的最大毛利润以及此时的销售单价．
17.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层．臭氧含量Q呈指数型函数变
化，满足关系式Q ＝400
0t e
Q -
，其中Q 0是臭氧的初始量．
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
18.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y ＝k ·a x ()0≠k ．若牛奶在0℃的冰箱中保鲜时间约是192 h ，而在22℃的厨房中保鲜时间约是42 h ．
（1）写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式； （2）如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏的牛奶保鲜时间较长？为什么？（参考数据：93.032
7
22≈）
附加题（每小题10分，共20分）
19.某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一类型餐桌报价每张200元，餐椅报价每把50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的8.5折销售．那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？
20.如图，河流航线AC 段长40千米，工厂B 位于码头C 正北30千米处，原来工厂B 所需原料需由码头A 装船沿水路到码头C 处，再改陆运到工厂B ，由于水运距离太长，运费颇高，工厂B 与航运局协商在AC 段上另建一码头D ，并由码头D 到工厂B 修一条新公路，原料改为按由A 到D 再到B 的路线运输，设|AD |＝x 千米（0≤x ≤40），每10吨货物总运费为y 元，已知每10吨货物每千米水路运费为1元，每千米公路运费为2元．
（1）写出y 关于r 的函数关系式； （2）要使运费最省，码头D 应建在何处？ 参考答案：
1.【答案】D
【解析】由于指数型函数的增长是爆炸式增长， 则当x 越来越大时，函数y ＝100x 的增长速度最快． 故选：D ． 2.【答案】D
【解析】由所给图象数形结合可知．
故选：D ． 3.【答案】B
【解析】画出函数图象，
知y 1＝2x 与y 2＝x 2的交点为（2，4）与（4，16）， 而y 3＝log 2x 始终在y 1，y 2下方， 如图所示．
当2＜x ＜4 时，，y 2＞y 1＞y 3．
故选：B ． 4.【答案】B
【解析】由图可知，前三年产量曲线的斜率在变小， 故前三年中产量增长的速度越来越慢，
第三年后产品并没有停止生产，而是产量保持不变， 故选：B ． 5.【答案】C
【解析】由题意知，每件产品的生产准备费用是x
800元，仓储费用是（8x
×1）元，
所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝（x
800＋8x
）元，
故选：C ． 6.【答案】B
【解析】由题意得，h ＝20－5t （0≤t ≤4）， 故选：B ． 7.【答案】C
【解析】当 1≤x ≤10 时，y ≤40； 当 x ＞100 时，y ＞150， 因此 10＜x ≤100，
由 2x ＋10＝ 60，得 x ＝25， 故选：C ． 8.【答案】C
【解析】通过所给数据可知，
s 随t 的增大而增大，其增长速度越来越快， 而A ，D 中的函数增长速度越来越慢， B 中的函数增长速度保持不变， 故选：C ． 9.【答案】B
【解析】根据题意，消费金额为800元， 所以优惠额为1000×0.2＋130＝330（元）， 故选：B ． 10.【答案】D
【解析】所需邮资为0.8×5＝4（元）． 故选：D ． 11.【答案】35
【解析】Q ＝0.0025v 2－0.175v ＋4.27＝0.0025（v 2－70v ）＋4.27 ＝0.0025[（v －35）2－352]＋4.27＝0.0025（v －35）2＋1.2075． ∴v ＝35 km/h 时，耗油量最少． 故答案为：35．
12.【答案】?
??≥-<≤-=1144110622x x x y ，，
【解析】由题意可知其为分段函数，x ＝11为分界点， 易得其解析式为
??
?≥-<≤-=11
44110622x x x y ，，
． 故答案为：??
?≥-<≤-=11
44110622x x x y ，，
．
13.【答案】26
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0，0）， 设l 与抛物线的交点为A ，B ．
根据题意，知 A （ －2，－2），B （2， －2）． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2， 则有－2＝a ×（－2）2，a ＝－2
1
． ∴抛物线的解析式为y ＝－
2
1x 2
．水位下降1米， 则y ＝－3，有x ＝6或x ＝－6， ∴此时水面宽为26米．
故答案为：26． 14.【答案】71元/担
【解析】由于农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关， 且a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，
则7月份的收购价格为函数y ＝（a －71）2＋（a －72）2 ＋（a －70）2取最小值时的a ， 则a ＝
3
73
7271++，
从而7月份的收购价格为71元/担． 故答案为：71元/担．
15.【答案】（1）y ＝ 2000（－4x 2＋3x ＋10）（0＜x ＜1）； （2）0.375 .
【解析】（1）由题意可知，
y ＝[60×（1＋0.5x ）－40×（1＋x ）]×1 000×（1＋0.8x ）＝2000（－4x 2＋3x ＋10）（0＜x ＜1）； （2）要保证日利润最大， 则当且仅当x ＝)4(23-?-
＝8
3
＝0.375时，y 取最大值．
16. 【答案】（1）y ＝－x ＋1000（500≤x ≤800）；
（2）销售单价为750元时，该公司可获得最大毛利润625 00元． 【解析】（1）由图可知，所求函数图象过点（600，400），（700，300），
所以，
?
??+=+=b k b k 700300600400 解得??
?=-=1000
1
b k ．
所以y ＝－x ＋1000（500≤x ≤800）．
（2）由（1）可知，S ＝xy －500x ＝（－x ＋1000）（x —500）＝－x 2＋1500x －500 000＝－（x －750）2＋62500（500≤x ≤800）． 故当x ＝750 时，S max ＝ 625 00．
即销售单价为750元时，该公司可获得最大毛利润625 00元． 17.【答案】（1）随时间的增加，臭氧的含量减少． （2）278年以后将会有一半的臭氧消失． 【解析】（1）解：∵Q 0＞0，—400
1
＜0，e ＞1， ∴Q ＝400
0t
e
Q -为减函数．
∴随时间的增加，臭氧的含量减少． （2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，
则400
0x
e Q -＝2
10Q ，即21
400
=
x e ，
两边取自然对数，－400
x ＝ln 21
，
解得x ＝400ln2≈278．
∴278年以后将会有一半的臭氧消失． 18.【答案】（1）y ＝192×0.93x ；
（2）把牛奶储藏在5℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长．
【解析】（1）解：因为保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x ，
由题意可得，
???==42·
192·22
a k a k 解得??
?
??
≈==93.032719222a k ．
∴所求函数解析式为y ＝192×0.93x ． （2）解：令f （x ）＝y ＝192×0.93x ． ∵0＜a ＝0.93＜1， ∴f （x ）是单调减函数． 又 10＞5，f （10）＜f （5），
∴把牛奶储藏在5℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长． 附加题：
19.【答案】当购买的餐椅少于32把时，到甲商场更优惠．
【解析】设学校计划购买x 把餐椅，在甲、乙两商场购买需要的费用分别为y 1，y 2 依题意有： y 1＝200×12＋50（x －12）＝50x ＋1800， y 2 ＝ （200×12＋50x ）×85％＝ 2
85
x ＋2040． 令y 1＜y 2，得 50x ＋1800＜2
85
x ＋2040， 解得x ＜32．
故当购买的餐椅少于32把时，到甲商场更优惠． 20.【答案】（1）y ＝ x ＋2
()2
23040+x －，0≤x ≤40；
（2）当码头建立在AC 段上与A 相距（40－103）千米时，可使运费最少． 【解析】（1）解：由题意，|BD | ＝ ()223040+x － ，
易得每10吨货物总运费y ＝ x ＋2()2
23040+x －，0≤x ≤40．
（2）由（1）得：y －x ＝2
()2
23040+x －，
两边平方得（y －x ）2＝4（2500—80x ＋x 2）． 整理得3x 2 —2（160－y ）x ＋10000－y 2 ＝ 0．①
＝4（160－y）2－4·3·（1000 0－y2）≥0．
解得y≥40＋303或y≤40－303（舍去），
此时，将y＝40＋303代入方程①，
得x＝40－103∈[0，40]．
∴当x＝40－103时，y取最小值，
即当码头建立在AC段上与A相距（40－103）千米时，可使运费最少．