线性代数考试题及答案3

2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。

评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A

-=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a

【】5.设矩阵A 与B 等价，则有

___

系_

___

专业_

___

_班级

姓名_

___

_____

学号__

___

……

…

（

密

）

…

（

封

）

…

……

…

（

线

）

…

【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解

的充分必要条件是

(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >

【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是

(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量

(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例

(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示

【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是

(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值

(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵

二、填空题。(每小题3分,共15分)

1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。

2.设矩阵方程??????-=????

??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组

0=Ax 的基础解系，

则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组0S 的秩=0s R 。

5.设λ是方阵A 的特征值，则是2

A 的特征值

三、计算题(每小题8分,共40分).

1．计算行列式2431

1012

3121

5201

---。

2.已知矩阵??????????-=814

312

201

A ，求其逆矩阵1-A 。

3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量且

???

???????=54321η，????

????????=+432132ηη，求该方程组的通解。

4.求矩阵??????=21

A 的特征值和特征向量。

5.用配方法化二次型3231212

3222162252x x x x x x x x x f +++++=成标准型。

四、综合体(每小题8分,共16分)

1. 解下列非齐次线性方程组 ??

???=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x

2. 已知向量组

????

??????-=??????????=??????????=1613,132,321321a a a 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

五、证明题（5分）证明：设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并

求1-A 及1

)2(-+E A 。

一、单项选择题。(每小题3分,共24分

1 A

2 B

3 C

4 B

5 C

6 C

7 D

8 C

二、填空题。(每小题3分,共15分)

1. 4

2.??

????-6412 3. ),(212211R c c c c x ∈++=*ηξξ 4. r n - 5.

三、计算题(每小题8分,共40分).

1. 解：243110123121520

1---=?????

???????----72301141023205201………………（2分） =?????

???????-----40100020500114105201………………（2分） =????????????----000

020500114105201………………（2分） =0………………（2分） 2.已知矩阵????

??????-=814312201A ，求其逆矩阵1-A 。解：????

??????-=100814010312001201),(E A ………………（2分） ??????????----1161001040102211001~r

………………（4分）

则????

??????----=-11610422111A ………………（2分） 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量且

?????

???????=54321η，????

????????=+432132ηη，求该方程组的通解。解：由已知可得：对应的齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的秩为134=-，因此齐次线性方程组0=Ax 的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分）

令)(2321ηηηξ+-=

则022)](2[321321=--=--=+-=b b b A A A A A ηηηηηηξ

所以0)6,5,4,3(≠=T

ξ为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系。………（3分）由此可得非齐次线性方程组b Ax =的通解为： )(54326543R k k k x ∈????

???????+????????????=+=*ηξ………………（2分） 4.求矩阵??

????=2112A 的特征值和特征向量。解：A 的特征多项式为： )3)(1(2112--=--=

-λλλλ

λE A

所以A 的特征值为3,121==λλ。………………（4分）

（1）当11=λ时，对应的特征向量满足

??????=????????????00111121x x ，解得：21x x -=

则11=λ对应的特征向量可取??

????-=111p ………………（2分）

??????=????????????--00111121x x ，解得：21x x =

则31=λ对应的特征向量可取??????=1121p ………………（2分）

5.用配方法化二次型32312123222162252x x x x x x x x x f +++++=成标准型。解：32232231212165222x x x x x x x x x f +++++=

322

322232144)(x x x x x x x +++++=

2322321)2()(x x x x x ++++=………………（4分）

令?????=+=++=33

32232112x y x x y x x x y 则把f 化成标准型得：2221y y f +=…………（4分）四．综合题（每小题8分,共16分)

1.解下列非齐次线性方程组

???=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x

解：对增广矩阵B 作初等行变换

??????????----=111122122411112B ????

??????-000000100010112~r ………………（5分）由上式可写出原方程组的通解为：

),(0010011000212

1214321R c c c c x x x x ∈????????????+????????????+????????????-=?????

???????………………（3分）

????

??????-=??????????=??????????=1613,132,321321a a a 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

解：??????????-=1613132321A ????

??????-000510701~r ………………（2分）则2=A R ，………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知2

1,a a 为向量组的一个最大无关组。………………（2分）

且21357a a a +-=………………（2分）

五、证明题（5分）

证明：设n 阶方阵A 满足022

=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A 。

证明：

（1）由已知可得：E E A A E E A A )](2

[2)(-?=-，知A 可逆，)(2

11E A A -=-………………（2分）（2）由已知可得E E A E A E A A 4)3)(2(62-=-+=--, E A E E A =-+?)]3(4

1)[2( 知E A 2+可逆，

)3(41)2(1A E E A -=+-………………（3分）