轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换

轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换

变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。

一、轴对称变换

把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F 和F'关于这条直线l对称。

两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。

轴对称图形有以下两条性质：

1.对应点的连线被对称轴垂直平分；

2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。

例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。

分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。

证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。

∴ BE＋AE＞AB ①

EC'＋ED'＞C'D' ②

①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。

∴BC＋AD＞AB+CD。

注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；

(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。其证明思路也完全相同，读者试自证。

二、中心对称变换

如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F 叫做中心对称图形。

中心对称变换有以下性质：

(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。这个性质的逆命题也成立，即“如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么两个图形关于这一点对称。

(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等。

例3 如图所示，地面上有不在同一直线的A、B、C三点，一只青蛙位于地面异于A、B、C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点

P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到关于A的对称点P4，……，以下跳法类推，问青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置？

解：青蛙每跳一次，就是完成一个中心对称变换，如图，根据中位线定理，有PP22AB

P3P5①

并且由P2C=CP3，P6C=CP5，可知P3P5P2P6是平行四边形。

∴P2P6P2P。②

由①、②及平行公理可知P和P6重合，这表明青蛙每跳6步，都可以回到起点P，而1992是6的倍数，因此跳完第1992步青蛙应落在P点。

三、平移变换

把图形F上的所有的点都按一定方向移动一定距离d形成图形F'，则由F到F'的变换叫做平移变换。

一般地，题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的因素，又需要将有关线段与角由分散到相应集中，使图形中诸元素之间的联系变得明显，可以采用平移变换。

例4 设P是平行四边形ABCD内部的一点，∠PAB=∠PCB，求证：∠PBA=∠PDA。

证明：如图，∵AB CD，故可将△ABP沿AD方向平移至△DCP'处，∴AP DP'，BP

CP'。

因此四边形APP'D，BCP'P都是平行四边形，

∴∠P'DC=∠PAB，∠P'CD=∠PBA，

∠BCP＝∠CPP'，∠PDA=∠DPP'，

又∠PAB=∠PCB，∴∠CPP'=∠P'DC，

∴C、P'、D、P四点共圆，

∠DPP'=∠P'CD，

∴∠PBA=∠PDA。

例5 由平行四边形ABCD的顶点作它的高AE和AF，已知EF=a，AC=b，求点A到△AEF 的三条高的交点H的距离。

解：∵AD∥BC，AE⊥BC，过C作CG⊥AD垂足为G，(即将AE平移到CG)，得矩形AECG，

连结FG，EG，CG，得EG=AC=b，AG EC。

∵EH⊥AF，CF⊥AF，FH⊥AE，CE⊥AE。

∴EH∥CF，EC∥HF，ECFH为平行四边形，因此EC HF。

又AGEC，∴AG HF，AH FG是平行四边形，∴AH GF

又∵AH⊥EF，∵GF⊥EF，因此△EFG是直角三角形。

注：本题是经过若干平移而获得解决的。

四、旋转变换

将平面图形F绕这平面内的一个定点O旋转一个定角α而形成的图形F'，由F到F'这种变换称旋转变换。点O称旋转中心，旋转中心是旋转变换下唯一位置不变点，α称旋转角。

运用旋转变换的关键在于选好旋转中心和旋转角。

旋转变换在解题中的主要应用有以下两个方面：

(1)在题设条件与结论间联系不易沟通或条件分散不易集中利用的情形下，通过旋转变换起到铺路架桥作用。

(2)图形错综复杂，但图形中等量关系多，可通过旋转变换，移动部分图形，使题设中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径。

例6 设O是等边三角形ABC内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角。

解：以B为中心，将△BOA逆时针方向旋转60°，则点A落在点C，点O落在点D，连结OD，CD，∵OB=BD，∠OBD=60°，

∴△BOD是等边三角形；则OD=OB，

又CD=OA，

∴△COD是以OA，OB，OC为边构成一个三角形。

∴∠BOC=125°，∠BOD=60°。∴∠COD=65°。

又∵∠BDC=∠AOB=115°，而∠ODB=60°，

∴∠ODC=55°，从而∠OCD=180°-65°-55°= 60°。

故求得以线段OA，OB，OC为边构成三角形的各角为65°，55°，60°。

注：在有等边三角形的条件下考虑旋转变换，常常把旋转角度选为60°；在有正方形的条件下，考虑旋转变换，常常把旋转角度选为90°，以达到目的。