函数的单调性与奇偶性 练习题 基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x
x f 3
)(=
在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞)
2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1
B ．x y 2
=
C ．y ＝x 2－4x ＋5
D ．y ＝｜x －1｜＋2
3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2
1≥
a B ．2
1≤
a C ．2
1>
a D ．2
1<
a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )
A ．必是增函数
B ．不一定是增函数
C ．必是减函数
D ．是增函数或减函数 (二)填空题
5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．
6．若函数x
a
x f =
)(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4
3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______．
(三)解答题
10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：
甲说f (x )在定义域上是增函数；
乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
11．已知函数.21
)(-=
x
x f (1)求f (x )的定义域；
(2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．
12．已知函数|
|1)(x x f =
． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；
(2)画出函数f (x )的图象，并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性．
2 函数单调性(二)
(一)选择题
1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5)
B ．(5，＋∞)
C ．),5
3
(+∞
D ．)5
3,(-∞
3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( ) A ．(3，8) B ．(－2，3) C ．(－3，－2) D ．(0，5) 4．已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中 ①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D
③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (二)填空题
5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6．函数])2,1[(1
2∈-
=x x
x y 的值域是______． *7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有
)
()(<--y
x y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)．
8．若函数y ＝ax 和x b
y -
=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x a
b y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．
9．若函数???<-≥+=)
1(1)
1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______．
(三)解答题
10．某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时，计算出f (1)＝2，f (4)＝6，就直接得值域为[2，6]．他的答案对吗，他这么做的理由是什么？
11．用max {a ，b }表示实数a ，b 中较大的一个，对于函数f (x )＝2x ，x
x g 1
)(=
，记F (x )＝max {f (x )，g (x )}，试画出函数F (x )的图象，并根据图象写出函数F (x )的单调区间．
*12．已知函数f (x )在其定义域内是单调函数，证明：方程f (x )＝0至多有一个实数根．
3 函数的奇偶性 (一)选择题
1．下列函数中：
①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1
)(x
x x f +
=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＜0 D ．f (x )·f (－x )≤0
3．函数?
??<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x f
A ．是奇函数不是偶函数
B ．是偶函数不是奇函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 4．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (二)填空题
5．下列命题中， ①函数x
y 1
=
是奇函数，且在其定义域内为减函数； ②函数y ＝3x (x －1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数； ③函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3，0)上为减函数；
④函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0，2)上为增函数； 真命题是______．
6．若f (x )是偶函数，则=--+)2
11
(
)21(f f ______．
7．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝______．
8．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝_______． 9．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－2)与f (a 2－2a ＋3)(a
∈R )的大小关系是______．
(三)解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)24
13)(x
x x f +
= (2)x
x
x x f -+-=11)
1()( (3)x x x f -+-=11)( (4)2211)(x x x f -+-=
11．函数f (x )，g (x )都不是常值函数，并且定义域都是R ．
①证明：如果f (x )，g (x )同是奇函数或同是偶函数，那么f (x )·g (x )是偶函数；
②“如果f (x )·g (x )是偶函数，那么f (x )，g (x )同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？
*12．已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x )是增函数，求使f (2a －1)＋f (1－a )＞0成立的实数a 的取值范围．
答案 1 函数单调性(一)
1．C 2．D 3．D 4．B 5．－8 6．a ＜0 7．[2，＋∞)，(－∞，2]
8．f (a 2－a ＋1))4
3(f ≤ 9．a ∈(－∞，0]
10．甲错，乙和丙都对
11．(1)解：f (x )的定义域是{x ∈R ｜x ≠0}； (2)证明：
设x 1，x 2是(0，＋∞)上的两个任意实数，且x 1＜x 2， 则?x ＝x 1－x 2＜0，
?211
2
2
1112111)21(21)()(x x x x x x x x x f x f y -=-=---=
-=． 因为x 2－x 1＝－?x ＞0，x 1x 2＞0，所以?y ＞0． 因此21
)(-=
x
x f 是(0，＋∞)上的减函数． 12．解：(1)???????<->=)0(1)0(1
)(x x
x x
x f
(2)图象如图所示，在区间(－∞，0)上是增函数，在区间(0，＋∞)上是减函数。
2 函数单调性(二) 1．B 2．A 3．B 4．A
5．(3，＋∞) 6．]2
7,1[ 7．减函数 8．增函数 9．(0，3] 10．他的答案是正确的，因为函数y ＝x 和x y =
在[1，4]上都是增函数，所以
]4,1[,)(∈+=x x x x f ，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出最
大值和最小值就可以得到值域了．
11．解：图象如图所示，单调区间为：
在]2
2,(-
-∞和]
22,0(上都是单调递减区间； 在)0,22[-和),2
2[+∞上都是单调递增区间． 12．证明：假设方程f (x )＝0有两个不相等的根x 1，x 2(不妨设x 1＜x 2)，则有
f (x 1)＝f (x 2)＝0…(*)
若函数f (x )在其定义域内是增函数，则应该有f (x 1)＜f (x 2)；若函数f (x )在其定义域内是减函数，则应该有f (x 1)＞f (x 2)，无论如何，都与(*)式矛盾，故假设错误，所以，方程f (x )＝0至多有一个实数根．
3 函数的奇偶性 1．B 2．D 3．C(提示：易知f (－0)≠－f (0)，所以f (－x )＝－f (x )并不能对定义域内的任意实数成立。所以选C)
4．A(
提示：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，
既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )＝0[x ∈(－a ，a )]．
5．③ 6．0
7．解：任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x [1＋(－x )3]＝－x (1－x 3)，
∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即：当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为x (1－x 3)．
8．解：观察函数，可知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，令F (x )＝f (x )＋8，有F (－x )＝－F (x )，
∴F (2)＝－F (－2)＝－[f (－2)＋8]＝－(10＋8)＝－18 F (2)＝f (2)＋8＝－18，∴f (2)＝－26． 9．f (－2)≥f (a 2－2a ＋3)
10．解：(1)∵函数定义域为{x ｜x ∈R ，且x ≠0}
2
4
242413)(),(13)(1)(3)(x
x x f x f x x x x x f +==+=-+
-=-∴?是偶函数． (2)由
011≥-+x
x
解得－1≤x ≤1，又∵1－x ≠0，∴x ≠1， ∴函数定义域为x ∈[－1，1)，不关于原点对称， ∴x
x
x x f -+-=11)1()(为非奇非偶函数． (3)x x x f -+-=
11)(定义域为x ＝1，
∴函数为f (x )＝0(x ＝1)，定义域不关于原点对称， ∴x x x f -+-=
11)(为非奇非偶函数．
(4)2211)(x x x f -+-=定义域为，}1{0
1012
2±∈????
??≥-≥-x x x ∴函数变形为f (x )＝0(x ＝±1)，∴2211)(x x x f -+-=
既是奇函数又是偶函数．
11．证明：①如果f (x )，g (x )同是奇函数，则f (－x )·g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )·g (x )，
所以f (x )·g (x )是偶函数；如果f (x )，g (x )同为偶函数，则f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是偶函数．
②此说法不正确．例如f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1，则f (x )·g (x )＝x 2－1，显然，f (x )·g (x )是偶函数，而f (x )和g (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
12．解：易知f (2a －1)＋f (1－a )＞?f (2a －1)＞－f (1－a )，因为f (x )是奇函数，所以f (2a －1)＞－f (1－a )?f (2a －1)＞f (a －1)，又因为f (x )是增函数，