2020年高考数学模拟试卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合A=若A B,则实数a,b 必满足
A. B. C. D. 2.设(1+i )x =1+yi ,其中x ,y 实数,则i =x y +
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n = ( )
A .9
B .10
C .12
D .13 4.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( )
A. 130
B. 170
C. 210
D. 260 5.设,则( )
A. B. C. D.
6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是线段OD 的中点,
AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF →等于( )
A. 14a +12b
B. 23a +13b
C. 12a +14b
D. 13a +2
3b 7.已知p:21
x
x - <1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p 是?q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )
{}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈?||3a b +≤||3a b +≥||3a b -≤||3a b -≥32
3log ,log 3,log 2a b c π===a b c >>a c b >>b a c >>
A.(-∞,1)
B.[1,3]
C.[1,+∞)
D.[3,+∞)
8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
A
.
6
B.
C. 3
D.2
9.奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四胜制,猜先后由一方先发球,双方轮流先发球,当一方赢得四局胜利时,该方获胜,比赛结束,现有甲、乙两人比赛,根据前期比赛成绩,单局甲先发球并取胜的概率为0.8,乙先发球并取胜的概率为0.4,且各局比赛的结果相互独立;如果第一局由乙先发球,则甲以4:0获胜的概率是( ) A .0.1024
B .0.2304
C .0.2048
D .0.4608
10.函数sin ()sin 2sin
2x
f x x
x =+是 ( )
A .以4π为周期的偶函数
B .以2π为周期的奇函数
C .以2π为周期的偶函数
D .以4π为周期的奇函数
11.以椭圆
22=1169144x y +的右焦点为圆心,且与双曲线22
=1916
x y -的渐近线相切的圆方程是 ( )
A .x 2
+y 2
-10x +9=0 B .x 2
+y 2
-10x -9=0 C .x 2+y 2+10x +9=0 D .x 2+y 2+10x -9=0
12.设函数f (x )满足x 2f′(x )+2xf (x )=e x
x
,f (2)=e 2
8
,则x >0时,f (x )( )
A .有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值 C .机油极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=
3
2
,a 与b 的夹角为60°,则|b |= 14.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -12n ,其前n 项和S n =321
64
,则项数n 等于 .
15.已知f (x )=(2x ﹣1)4
,设(2x ?1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 1+2a 2+3a 3+4a 4
= .
16.对于正整数n,设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列{a
n n+1}
的前n 项和的公式是
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)设数列}{n a 满足3
33313221n
a a a a n n =
++++-Λ,∈n N *. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项; (Ⅱ)设n
n a n
b =,求数列}{n b 的前n 项和n S .
18. (12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足(2a -c )cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B 的大小;
(Ⅱ)设的最大值是5,求k 的值.
19.(12分)如图三棱锥111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明:1AC AB =;
(Ⅱ)若1AC AB ⊥,o 160CBB ∠=,AB=Bc ,求二面角111A A B C --的余弦值.
()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>?u r r u r r
且
20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量....X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多..
有1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下关系:
800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,且过点(4,
.(1)求双曲线方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1???????? ⊥MF 2???????? (3)求△F 1MF 2的面积.
22.(12分)已知函数f (x )=e x ﹣ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为﹣1.
(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;
(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <ce x .
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
理科数学参考答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
B
D
C
A
B
C
A
B
A
A
D
13. 1
2 14. 6 15. 8 16. 2n+1
-2
17.(10分)
Ⅰ)∵3
33313221n
a a a a n n =
++++-Λ, ① ∴当2≥n 时,3
1
333123221-=++++--n a a a a n n Λ. ②
由①-②,得3131=-n n a ,n n a 31
=.
在①中,令1=n ,得3
1
1=a .
∴n n a 3
1=,∈n N *
.
(Ⅱ)∵n
n a n b =
,∴n
n n b 3?=, ∴n
n n S 33332332?++?+?+=Λ, ③ ∴1
4323333233+?++?+?+=n n n S Λ. ④A
由④-③,得
)3333(32321n n n n S ++++-?=+Λ,
即3
1)31(33
21
---?=+n n n n S ,
∴4
3
43)12(1+-=
+n n n S . 18.(12分)
解:(I )∵(2a -c )cos B =b cos C ,
∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )