最新初高中数学衔接校本教材

初高中数学衔接教材

如何学好高中数学

一高中数学与初中数学特点的变化

1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、以及函数语言等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。有数学1、2、3、4、5，还有选修课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：

第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。

第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。

第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。

第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。

二科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，

而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。

一 数 与 式 的 运 算

知识要点：

1.绝对值的代数意义，绝对值的几何意义，两个数的差的绝对值的几何意义。

2.乘法公式：平方差公式：2

2

()()a b a b a b +-=-；平方差公式：2

2

2

()2a b a ab b ±=±+． 立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+；立方差公式：2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-； 三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； 两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-．

3.

4.分式的意义,繁分式。

自学评价：

1．如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．化简：|x －5|－|2x －13|（x <5） 3. 计算：2

2

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

4．已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，2

2

2

a b c ++= 5

(x =-x 的取值范围是_ _ ___； 6．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．

精选题型：

1. 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．

2. 计算： （1）42(2)(2)(416)a a a a +-++（2）22222

(2)()x xy y x xy y ++-+

3. 已知2

310x x -+

=，求3

31

x x

+的值．

4 化简：（1

； （2

1)x

<<

． 5.设x y ==

，求33

x y +的值．

6. 化简：（1）11x

x x x x

-+

- （2）232396127962x x x x x x ++-+---+

记住它，多想它：22()()

a b a b a b +-=- 222()2a b a ab b ±=±+．

2233()()a b a ab b a b +-+=+ 2233()()a b a ab b a b -++=-

拓展练习:

1． 解不等式

327x x ++-<

2．

设

x y =

=，求代数式22

x xy y x y +++的值．

3． 当2

2320(0,0)a

ab b a b +-=≠≠，求

22a b a b b a ab

+--的值．

4．

设x =，求42

21x x x ++-的值．

5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-

6．化简或计算：

(1)

(2)

(3) -

(4) ÷

7．（1）已知0a b c ++=，

求111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值．

（2

）若2

x =，

8.

( ) （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a << 9.

计算 （ ） （A

（B

（C

） （D

）10．解方程2

2112()3()10x x x x

+-+-=．

11．计算：111

1

1324

35

911

++

++

????．

12．试证：对任意的正整数n ，有

11

1

123234

(1)(2)

n n n ++

+

????++＜14 ．

二 因 式 分 解

知识要点：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法②运用公式法③分组分解法④十字相乘法⑤一般二次三项式

2ax bx c ++型的因式分解：

2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++⑥其他常用的因式分解的方法：配方法，拆、添项法

自学评价：

1．平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式

33a b += 33a b -=

2． 分解因式：（1）x 2－3x ＋2= （2）x 2＋4x －12 （3）2

2

()x a b xy aby -++ （4）1xy x y -+-

3．分解因式：32

933x x x +++ （2）2

2

2456x xy y x y +--+-

4．分解因式：2

21x x +- 5．分解因式： 2

53x x -+

6．分解因式：23x --

精选题型：

1.分解因式（1）2

2

222b c ab ac bc ++++； （2）2

2

35294x xy y x y +-++-．

2 ABC ?三边a ，b ，c 满足222

a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状．

3. 分解因式(

)

2

2

331x x x

x +++-

4.分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

5. 分解因式()6114(31)2a a b b b +++--

6.分解因式32

34x x -+

7. 分解因式4

3

2

23532x x x x +-++ 8. 分解因式()()

22535236m m m m -+---

9. 分解因式5

1x x ++

记住它，多想它：

22()()a b a b a b -=+- 2222()a ab b a b ±+=±．

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++

拓展练习:

1．分解因式2222()()ab c d cd a b -+-

2. 分解因式22

484x mx mn n -+-

3．分解因式4

64x +

4．分解因式32

113121x x x -+-

5．分解因式3223

428x xy x y y --+

6．已知2

,23

a b ab +==，求代数式

22222a b a b ab ++的值．

7．现给出三个多项式，

12

12

-+x x ，13212++x x ，x x -22

1

，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.

8.已知0a b c ++=，求证：

3

2

2

3

0a a c b c abc b ++-+=．

9. 分解因式()()()2

221x y xy x y xy +-+-+- 10. 分解因式

3222

(21)(21)1x a x a a x a ++++-+-

11. 分解因式3292315x x x +++

12. 分解因式4

3

2

564x x x x ----

三 一元二次方程根与系数的关系

知识要点：

1．一元二次方程的根的判断式 2．一元二次方程的根与系数的关系

自学评价：

1．一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：

24b ac ?=-， （1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根：

（2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： （3）当Δ 0时，方程没有实数根．

2．定理：若方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：12x x +=

12x x = 此定理称为”韦达定理”，其成立的前提是0?≥．

3．特别地：对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，因此有： 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．

精选题型：

1. 已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

2 . 已知实数x 、y 满足22

210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．

3 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +；

(2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

4.若 x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数

k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－3

2

成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12

x x λ=，试求λ的值．

5．已知关于x 的方程2

2

(2)04

m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．

6．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．

记住它，多想它：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -

，x 1·x 2＝c a

．这

一关系也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2

＝0．