苏科版数学九年级上册知识梳理

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第一章一元二次方程

1.1一元二次方程

1、概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

2、一元二次方程的一般形式

（1）形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数

（2）特殊的一元二次方程

ax2=0（a≠0，b=0，c=0）

ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0）

ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0）

注意：二次项系数a≠0

（3）化一元二次方程为一般形式的方法：

整理一元二次方程的常用手段是去分母、去括号、移项、合并同类项等

（4）一元二次方程的一般形式的特征：

等号的左边是按x的降幂进行排列，右边等于0

3、根据实际问题列出一元二次方程

从实际问题中抽象一元二次方程的一般步骤：

（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系

（2）设出合适的未知数

（3）确定相等关系

（4）根据等量关系列出方程

1.2一元二次方程的解法

直接开平方法

1、如果一个一元二次方程的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解

2、直接开平方法的使用范围和理论依据：

（1）直接开平方法适合解形如x2=b和（x-a）2=b的方程，其中b≥0，因为若b＜0，方程无解

（2）直接开平方法的实质是吧一个一元二次方程降次为两个一元一次方程来求方程的根，因此要注意方程应该有两个根

配方法

配方法是通过配方将一元二次方程左边化为完全平方的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以a2±2ab+b2=（a ±b）2为依据，其基本步骤为：

（1）在方程两边同除以二次项系数a，把二次项系数化为1；

（2）把常数项移到等式的右边；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；

（5）利用直接开平方法解方程。

公式法

用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x=

a2

ac 4-

b

b-2

±

（b2-4ac≥0）。把

x=

a2

ac 4-

b

b-2

±

叫做一元二次方程的求根公式

一般步骤：

（1）把一元二次方程化为一般形式；

（2）确定a、b、c的值

（3）求出b2-4ac的值，若b2-4ac＜0，则方程无解；（4）若b2-4ac≥0，代入求根公式求出x1，x2

根的判别式

（1）把b 2

-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式

（2）当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根，反过来也成立

（3）根据判别式可以判别一元二次方程的情况；由一元二次方程根的情况可确定参数的取值范围

因式分解法

将一元二次方程右边化为0，左边进行因式分解化成两个因式的积。根据两个因式积为0的充分必要条件是至少有一个因式为0，解出方程的根，这种方法叫做因式分解法。

（1）因式分解法的理论依据：若两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0

（2）常用的因式分解法的基本思想：化一元二次方程为一元一次方程，基本方法就是降次，通过分解因式，可以化二次式为一次式，达到2降次的目的，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解

（3）一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；将方程左边因式分解为两个一次因式的积；令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根

1.3一元二次方程的根与系数的关系

1、根与系数的关系

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=a b -

，x 1x=a c ； 特殊的，若一元二次方程x 2+px+q=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x=q

2、利用根与系数的关系计算对称式的值

2

221x x +；2

1x 1x 1+；（x 1-5）（x 2-5）；21x -x

1.4用一元二次方程解决实际问题

平均增长率问题、营销问题、动点问题、商品销售获利问题、方案优化问题

第二章对称图形——圆

2.1圆

1、圆的运动定义

在平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径

2、圆的集合定义

在同一平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点叫做圆心，定长叫做半径3、圆的内部和外部

圆的内部：圆的内部可以看做是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部：圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点的集合

4、点与圆的位置关系

圆的半径为r，点到圆心的距离为d

点在圆外，d＞r

点在圆上，d=r

点在圆内，d＜r

5、圆的相关概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中有无数条弦，其中最大的弦是直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。直径将圆分成的两条弧叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧

同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆

等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧

2.2圆的对称性

1、圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是对称中心

圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴

圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与原来的圆重合

2、圆心角、弧、弦之间相等关系的定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

3、圆心角的度数与它所对的弧的度数关系

1°的弧：将顶点在圆心角的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧；

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

4、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

2.3确定圆的条件

1、确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆

2、三角形的外接圆

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形

2.4圆周角

1、圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

2、圆周角定理

同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半

3、圆周角定理的应用

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

4、圆内接四边形的对角互补

圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角

2.5直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系

直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交

直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线

直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离

如果圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么：

直线与圆相交，d＜r

直线与圆相切，d=r

直线与圆相离，d＞r

2、切线的判定

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

一条直线是圆的切线必须同时具备两个条件：经过半径的外端；垂直于这条半径

切线的判定方法有三种：

（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线

（2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线

（3）判定定理

3、切线的性质

圆的切线垂直于过切点的半径

（1）经过圆心切垂直于切线的直线必经过切点

（2）经过切点切垂直于切线的直线经过圆心

（3）切线与圆有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径

4、三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。

三角形的内心与外心的区别：

外心：三角形三条边的垂直平分线的交点

性质：（1）到三角形三个顶点的距离相等

（2）等一定在三角形内部

内心：三角形的三条角平分线的交点

性质：（1）单三角形三边的距离相等

（2）圆心和顶点的连线分别平分三个顶角

（3）一定在三角形内部

5、切线长的概念及性质

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角

2.6正多边形与圆

1、正多边形的有关概念

（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形

（2）如果一个正多边形有n （n ≥3）条边，就叫正n 边形

（3）将一个圆n （n ≥3）等分，顺次连接各个等分点得到的多边形是正n 边形，这个n 边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做正n 边形的外接圆

（4）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心

（5）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径

（6）正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角

（7）正多边形的边心距：正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距

2、正多边形的性质

（1）各边都相等

（2）各角都相等

（3）正多边形的对称性

3、作正多边形

要作正n 边形，只要把一个圆n 等分，然后顺次连接各等分点即可

（1）用量角器等分圆先用量角器画除一个等于n

360。

的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的n 1，然后在圆上截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，从而作出正n 边形

（2）用尺规等分圆

对于一些特殊的正n 边形，还可以用圆规和直尺作出图形

2.7弧长及扇形的面积

1、圆周长及弧长公式

周长公式：C=2πr

弧长公式：l=

180

r n π

2、扇形面积公式

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 公式1：圆心角为n °的扇形面积计算公式为S 扇形=360

r n 2

π 公式2：弧长为l 的扇形面积的计算公式为S 扇形=2

1lr

2.8圆锥的侧面积

1、圆锥的相关概念

圆锥店面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥得到母线

连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高

圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形

2、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长

这个扇形的半径等于圆锥母线长l=22r h +

这个扇形的圆心角ɑ=??360l

r

这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S 圆锥侧=S 扇形=πrl

第三章 数据的集中趋势和离散程度

3.1平均数

（1）算术平均数：对于n 个数x 1，x 2·····x n ，我们把

n x x x n 21+???++叫做n 这个数的算术平方根，简称平均数，记作x

（2）平均数的意义：平均数反映了一组数据的集中趋势，它体现了这一组数据的平均水平

（3）加权平均数：加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。加权平均值的大小不仅取决于总体中各单位的数值（变量值）的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），由于各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权

（4）平均数的综合应用：求平均数应根据数据的特点选择适当的计算方法。当数据比较大且大部分数据在某一常数左右波动时，可建立新数据求平均数。建立新数据的方不唯一，一般取接近平均数的较整的数，当一组数据中有不少数据重复时，则可用加权平均数公式计算

3.2中位数与众数

（1）中位数：将一组数据按照从小到大的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据的个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均数就是这组数据的中位数

众数：一组数据中出现次数最多的数据

（2）平均数、中位数、众数三者比较

联系:三者都是描述一组数据集中趋势的统计量

区别：①个数不同；②统计意义不同

3.3用计算器求平均数

3.4方差

概念：n 个数据分别与它们的平均数的差的平方的平均数，用来衡量数据的波动性大小 公式：

标准差

概念：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作s

标准差的单位与原数据单位一致

3.5用计算器求方差

第四章 等可能条件下的概率

4.1等可能性

等可能性：（1）设一个试验的所有可能发生的结果有n 个，它们都是随机事件，每次试验有且只有一个结果出现，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n 个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性

（2）设一个试验的所有可能发生的结果有无穷多个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么我们说这个试验的结果具有等可能性

4.2等可能条件下的概率（1）

基本事件

古典概型：P （A ）=所有可能出现的结果数

可能出现的结果数事件A 列举法：包括列表和画树状图

4.3等可能条件下的概率（2）几何概型