九年级上册数学知识要点

第21章 一元二次方程考点

1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程

（2）只有一个未知数——（一元）

（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习：

1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=

1

x

；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 .

2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．

3、若关于x 的方程0512

2

=+-+-x k x k

是一元二次方程，则k 的取值范围是

_________．

、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．

2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，

b 为一次项系数，

c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习：

1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________

3．完全平方式

a 2+2ab+

b 2 a 2-2ab+b 2 练习：

1、说明代数式2241x x --总大于224x x --

2、已知1a a

+求1a a

-的值.

3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，

若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 。若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

4．整体运算

思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。 练习：

1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为

2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________

5．方程的解 练习：

1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．

2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。

6．方程的解法

⑴ 方 法：①接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；

⑵关键点：降次 a

ac b b x 242-±-=

练习：

1、直接开方解法方程

(x-6)2 -3=0 21

(3)22

x -=

2、用配方法解方程

2210x x +-= 2430x x -+=

3、用公式法解方程

03722=+-x x 210x x --=

4、用因式分解法解方程

3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+

5、用十字相乘法解方程

2900x x --= 22100x x +-=

7．一元二次方程根的判别式：2b 4ac ?=- 练习：

1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是

8．韦达定理

1212,b c x x x x a a

+=-=(a ≠0, Δ=b 2

-4ac ≥0)

使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；

（2）定理成立的条件0?≥ 练习：

1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值

12

11x x + 22

12

x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+

14

m 2

－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．

9．一元二次方程与实际问题

1、病毒传播问题

2、树干问题

3、握手问题（单循环问题）

4、贺卡问题（双循环问题）

5、围栏问题

6、几何图形（道路、做水箱）

7、增长率、折旧、降价率问题

8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、数字问题 10、折扣问题

第22章 二次函数考点 1、二次函数的定义

定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：

1、y=-x 2，y=2x 2-2/x ，y=100-5 x 2，y=3 x 2-2x 3+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

2、二次函数的图像及性质

表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、 练习：

1、已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。 （3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？

2、直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……

m m -22

3212-+=x x y

（）

考点3、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a≠0)

2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a ≠0)

3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

练习：

1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；

(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；

(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。

4、a，b，c符号的确定

抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：

(1)a的符号：上正下负（2）b的符号：左同右异（3）C的符号：上正下负原点零

（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x

轴的交点个数确定

（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。

(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

(7)4a+2b+c的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时，对应的y值决定。

(8)4a-2b+c的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

以此类推.

练习：

１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0

C、a<0,b<0,c>0

D、a<0,b<0,c<0

2、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a>0,b>0,c=0 B 、a<0,b>0,c=0 C 、a<0,b<0,c<0 D 、a>0,b<0,c=0

3、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 、 △的符号为（ ） A 、a>0,b=0,c>0,△>0 B 、a<0,b>0,c<0,△=0 C 、a>0,b=0,c<0,△>0 D 、a<0,b=0,c<0,△<0

要点：熟练掌握a ，b ， c ，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)

4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限， 判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0.

5.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，

则a 、b 、c 满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.

6.二次函数y=ax2+bx+c 中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限

要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）

7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移

左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。 练习：

⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2

（3）由二次函数y=x2-5x+6的图象.

y=x2-5x+6

41

25(2--=x y=x

41

25(2--=x y

6二次函数与一元二次方程的关系 、一元二次方程根的情况与b 2-4ac 的关系

我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.

2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点– 4ac > 0 (2)有一个交点– 4ac= 0 (3)没有交点– 4ac< 0

若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点– 4ac ≥0 练习：

(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.

(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿.

(4)已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．

(5)若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值．

7二次函数的综合运用 已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1

又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:

(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可. 练习：

1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）

()有两个不相等的实数根方程时当00,0422

≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b

（A ）k ＜31 （B ）3

1

＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k

＜1 2、若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:

(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线

3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，2

5

），（1，

6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式； （2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；

（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；

（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解； （3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．

第23章 旋转考点

1．

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 练习：

1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度 2．旋转的性质：

1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；

3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；

4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等； 练习：

1、如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。（1）求旋转角大小；

（2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。

2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少？

3、如图，在△ABC 中,

70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC

绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 求/BAB ∠ 的度数。

4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ?是由ADE ? 逆时针旋转得到的图形。 （1）旋转中心是点__________；

（2）旋转角是________度，EDM ∠=_________度；

（2）若45EDF ∠=?，求证EDF MDF ??≌.并求此时BEF ?的周长.

5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3.（1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。

A O

B A 'B ' A

C B

B '

C '

图6

6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF 交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数

量关系？并证明你的结论．

7、如图，在Rt△ABC中，AB AC

=，D、E是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90?后，得到△AFB，连接EF，证明①△AED≌△AEF②222

+=

BE DC DE

8、如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO

为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．

（1）求∠AEB的大小；

（2）如图（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.

3．旋转对称：

一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样

的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

练习：

1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一

个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．

2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形

的中心O旋转___ ___度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

4．中心对称和中心对称图形

中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。练习：

1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.下列图形中不是中心对称图形的是（）

A、①③

B、②④

C、②③

D、①④

5．作图

1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。结合直角坐

标系写出对称后坐标

2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）

练习：

1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）

(1)作△A

1B

1

C

1

，使它与△ABC关于原点O中心对称；

写出A

1 ，B

1，

C

1

点坐标；

(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90o后得到△A

3B

3

C

3

，画出△

A 3B

3

C

3

，并写出A

3

，B

3

，C

3

的坐标

2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．

（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；

（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有条；

这个整体图形至少旋转度与自身重合

6．旋转割补法

练习：

如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE⊥BC 于E ，若线段AE=5，求ABCD S 四边形（提示：将四边形ABCD 割补为正方形）

7．关于对称

1、两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ）

2、两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）

3、两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ）

练习：

填空：⑴点A （－2，1）关于x 轴的对称点为A ′（ ， ）； ⑵点B （1，－3）与点B （1，3）关于 的对称。 ⑶C （－4，－2）关于y 轴的对称点为C ′（

， ）； ⑷点D （5，0）关于原点的对称点为D ′（ ， ）。

第24章 圆考点

1】和圆有关的概念 练习：

（1）等弦对等圆心角（ ）（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）（3）等弧对等弦( )（4）等弦对等弧（ ）（5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）

2】垂径定理及其推论 如果一条直线满足

(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优弧和劣弧） （5）平分圆心角

知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。 练习：

(1)平分弦的直径垂直于弦. （ ） (2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）

1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求

E

D C B A

O

B A

C

D N

M 弦CD 长．

2、如图，⊙O 中，OE ⊥弦AB 于E ，OF ⊥弦CD 于F ，OE=OF ，(1)求证：AB ＝CD (2) 如果AB>CD ，则OE OF

3．如图所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C 为圆心，CA 为半径画圆交AB 于点D ，求AD 的长

3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：

（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角） 练习：

1.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． 求证：AM =BN

（连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）

2、如图15，AB 、CD 是⊙O 的直径，DE 、BF 是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B 。

F

E

O

B

A D

C

3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：⌒

AD=3⌒CB

(连接OC、OD，外角，圆心角证弧)

4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF BF

=；

（2）若2

AD=，⊙O的半径为3，求BC的长．

4】：

直径所对的圆周角是90°

练习：

1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：点D为BC中点

5】

圆内接四边形对角互补

练习：

1、如图，AB、AC与⊙O相切

于点B、C，∠A=40o，

点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是

6】外接圆与内切圆相关概念

三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等；

三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等

练习：

1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是

2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠

C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E 、F，若∠B=50°,

∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于

6】与圆有关的位置关系

1、点和圆的位置关系有三种：点在圆_____，点在圆_______，点在圆______；

2、直线和圆的位置关系有三种：相_____、相______、相_______．

3、圆与圆的位置关系：、、、、。

练习：

1、已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，

（1）当d＝2厘米时，有d____r，点在圆______________

（2）当d＝7厘米时，有d____r，点在圆______________

（3）当d＝5厘米时，有d____r，点在圆______________

2、已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，

（1）当d＝10厘米时，有d____r，直线l与圆____

（2）当d＝12厘米时，有d____r，直线l与圆____

（3）当d＝15厘米时，有d____r，直线l与圆____

3、已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为d，

则：R＋r＝________，R－r＝____________；

7】切线的性质

切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

练习：

4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

8】切线的证明（两种方法）

1、已知圆上一点“连半径，证垂直”

2、没告诉圆与直线有交点“作垂直，证半径”。

练习：

1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O 的切线。

2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，证明⊙O与

AC相切

9】切线长定理

切线长相等，平分切线所成的夹角。

练习：

1、如图5，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，

30

BAC

∠=?，

（1）求P

∠的度数；

（2）若2

BC cm

=，求PB的长。

O P

A

B

C

图5

2、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结OC 并延长OC 至P 点，并使PC=BC ， ∠BOC = 60o

(1)求证：PB 是⊙O 的切线。

(2)若⊙O 的半径长为1，且AB 、PB 的长是一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根，求b 、c 的值。

3、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于点A 、B ，是点C 劣弧AB 上任一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 若PA=10，求△PDE 的周长

4、如图（1）所示，直线34

3

+-=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点

C （m ，n ）是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F 。所示，若⊙C 与y 轴相切于点

D ，求⊙C 的半径r 。 10】正多边形的计算

1.正n 边形的每内角= n n 0180)2(?-

2. 正n 边形的中心角=n

360

3.正n 边形的外角=n

360 4.边心距r 、半径R 、边长a 之间的关系：

222)2

(a

r R +=

5.正n 边形的周长C=na

6.正n 边形的面积S=nCr/2 练习：

1、如图，正五边形ABCDE 的顶点都在⊙O 上，P 是CD ?

上一点， 则∠BPC=____________

2、如图，小明在操场上从点O出发，沿直线前进5米后向左转0

45，再沿直线前进5米后，又向左转0

45，……照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走了___ __米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数.周长和面积。

11】圆中的有关计算

(1)弧长的计算公式：因为扇形的弧长＝()

180

(2)扇形的面积：因为扇形的面积S＝()

360

(3)圆锥：∵圆锥的侧面展开图是____________形，展开图的弧长等于___________

∴圆锥的侧面积＝____________________

练习：(答案保留π)

1、若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？

2、①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？

②若扇形的弧长为12πcm，半径为6cm，则这个扇形的面积是多少？

3、圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少

第25章概率初步考点

1、事件

确定事件（分为必然事件、不可能事件）、不确定事件（称为随机事件或可能事件）、．并能用树状图和列表法；

练习：

1：下列事件中，属于必然事件的是（）

A、明天我市下雨

B、抛一枚硬币，正面朝上

C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数

D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球

2、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为（）

A、②③

B、②④

C、③④

D、①③

2、概率

定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）

1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m/n

3、确定事件和随机事件的概率之间的关系

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

2、确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0 1概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

4、计算概率

1、列表法，适用于“二次试验”的事件

2、树状图，适用于“三次或三次以上试验”的事件

3、实验，用频率估计概率，适用于“不是有限个”可能性的随机事件

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

练习：

1、装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为________与________

2、有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A 为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝________

3、用列表的方法求下列概率：已知2

b．求|

a+的值为7的概率．

|=

|b

|

a，5

|

|=

4、画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率．

（1）都是红色（2）颜色相同（3）没有白色

5、如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；

（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

（第21题

6、甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．