九年级上册数学知识点总结
九年级上册知识点总结
（数学）
2015年2月2日第二十一章一元二次方程
22.1一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
22.2降次——解一元二次方程
22.2.1配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 .
（2）直接开平方法适用于解形如p x =2或)0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程，
如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
22.2.2公式法
知识点一公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，如果042≥-ac b ，那么方程的两个根为a
ac b b x 242-±-=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的过程。
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，一般a 化为正值
②确定公式中a,b,c 的值，注意符号；
③求出ac b 42-的值；
④若042≥-ac b 则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，042<-ac b ，则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子ac b 42-叫做方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即ac b 42-=?,
22.2．3因式分解法一元二次
方程根的
判别式△=0，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根
△＜0，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根
0>?，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根
知识点一因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称
理论依据适用范围直接开平方法
平方根的意义形如p x =2或)0(2≥=+p p n mx ）（配方法
完全平方公式所有一元二次方程公式法
配方法
所有一元二次方程因式分解法当ab=0，则a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次
因式的积的一元二次方程。22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（了解）
若一元二次方程02=++q px x 的两个根为1x ,2x 则有q x x p x x =-=+2121, 若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根
1x ，2x 则有
a c x x a
b x x =-=+2121, 22.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
（2）设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4）解：就是解方程，求出未知数的值。
（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c.
（2）增长率问题
设初始量为a ，终止量为b ，平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长
或降低后的等量关系为b
x a =±2)1(（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
第二十二章二次函数
知识点一：二次函数的定义
1.二次函数的定义：
一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
知识点二：二次函数的图象与性质2.二次函数()2
y a x h k =-+的图象与性质
（1）二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小
（2）2y ax c =+的图象与性质：上加下减
（3）()2
y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2
y a x h k =-+的图象与性质
3.二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质
（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a
=-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
=-时，y 有最小值244ac b a
-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值244ac b a
-．4.二次函数常见方法指导
（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法
①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）
利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
②画草图
抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移
平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
②可以由抛物线2ax y =经过适当的平移得到。具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：
.已知图象上三点或三对）（y x ,，的值，通常选择一般式.②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+??? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b x 2-=.②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶
点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
（5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a
b x 2-
=，故如果0=b 时，对称轴为y 轴；
如果