正多边形和圆同步练习(含答案)

正多边形和圆

知识点

相等，______________也相等的多边形叫做正多边形.

2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________.

3.一个正多边形的外接圆的____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.

4.正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，

（1）中心角的度数为：______________.

（2）每个内角的度数为：_______________________.

（3）每个外角的度数为：____________.

（4）周长为：_________，面积为：_________.

5.正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是_______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A.各边相等的多边形是正多边形

B.各角相等的多边形是正多边形

C.各边相等的圆内接多边形是正多边形

D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）

A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2

3.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为

( )

A．6，32B．32，3 C．6，3 D．62，32

4. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，

则∠ADB的度数是（）．

第4题

A ．60°

B ．45°

C ．30°

D ．22．5°

5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为 （ ） A.1:2:3 B.3:2:1 :2:1 :2:3

6. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，

则∠APB 的度数是（ ）．

A ．36°

B ．60°

C ．72°

D ．108°

7.（2013?自贡）如图，点O 是正六边形的对称中心，如果

用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处），

把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的

个数是（ ）

.5 C D. 7

8.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O

的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是 （ ）

° ° ° °

二、填空题

9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________.

10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度.

11.若正六边形的面积是243cm 2，则这个正六边形

的边长是__________.

12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______.

13.点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM

=BN ，点O 是正八边形的中心，则∠MON =_____________.

14.边长为a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.

15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm .

16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是__________. 第6题

第7题 第8题 第13题

17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.

18.(2013?徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH中，四

边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为

________cm2.

三、解答题

19.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.

正五边形正六边形

例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.

它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.

相同点：（1）____________________________________________________________________;

（2）___________________________________________________________________.不同点：（1）____________________________________________________________________;

（2）____________________________________________________________________.

20.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距

r6、面积S6.

第18题

第20题

21.如图，⊙O 的半径为

2，⊙O 的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、

面积.

22.已知⊙O 和⊙O 上的一点A .

（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；

（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.

23.如图1、图2、图3、…、图n ，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM =CN ，连结OM 、ON .

(1)求图1中∠MON 的度数；

(2)图2中∠MON 的度数是_________，图3中∠MON 的度数是_________；

(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案). 第21题

第22题

参考答案

知识点

1.各边 各角

2.正多边形 正多边形每一边所对的圆心角

3.圆心 半径 圆心角 距离

4.360(2)180360(1)(2)(3)(4)(5)2

n nar na n n n ?-??g 轴对称图形

一、选择题

解：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．

360÷30=12；

360÷60=6；

360÷90=4；

360÷120=3；

360÷180=2．

因此n 的所有可能的值共五种情况，

故选B ．

二、填空题 9. 2S

na

11.4cm ° :2:3 15. 16.四 :3

三、解答题

19.相同点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；

（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.

不同点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；

（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条. 20. 222266266.=606=6

,116322

6333166335432

6,33,543.

OA,OB.

O OG AB G AOB OA OB

AOB OA OB R OA OB OG AB

AG AB Rt AOG r OG OA AG S R cm r cm S cm ⊥∠?=∴?∴===⊥∴==?=∴?==

-=-==???=∴===Q Q 解：连接过点作于，是等边三角形

即在中， 21.

解：连结OB

∵在Rt △AOC 中，AC =2221OA OC -=

-=1 ∴AC =OC ∴∠AOC =∠OAC =45°

∵OA =OB OC ⊥AB

∴AB =2AC =2 ∠AOB =2∠OAC =2×45°=90°

∴这个内接正多边形是正方形.

∴面积为22=4

∴中心角为90°，边长为2，面积为4.

22. (1)作法：

①作直径AC ;

②作直径BD ⊥AC ;

③依次连结A 、B 、C 、D 四点,

四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形; ④分别以A 、C 为圆心，以OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G ; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.

第22题

六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形.

(2)证明：连结OE 、DE .

∵∠AOD ＝4360?＝90°，∠AOE ＝6

360?＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝90°－60°=30°. ∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.

23.(1)方法一：连结OB 、OC .

∵正△ABC 内接于⊙O ，

∴∠OBM =∠OCN ＝30°，

∠BOC =120°.

又∵BM =CN ，OB =OC ，

∴△OBM ≌△OCN （SAS ）.

∴∠BOM ＝∠CON .

∴∠MON =∠BOC =120°.

方法二：连结OA 、OB .

∵正△ABC 内接于⊙O ，

∴AB =AC ，∠OAM =∠OBN =30°, ∠AOB =120°.

又∵BM ＝CN ，

∴AM =BN .

又∵OA =OB ,

∴△AOM ≌△BON （SAS ）.

∴∠AOM =∠BON .

∴∠MON =∠AOB =120°.

(2)90° 72°

(3)∠MON =n ?360.