函数专题突破8二次函数与三角形

二次函数综合提升卷

【类型一】二次函数之面积最值

求与函数图像相关的三角形的面积：

（1）结合方程组用待定系数法求函数的解析式；

（2）根据坐标求出三角形面积；①公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解；②割补法：公式法无法使用是，把三角形补成矩形或梯形或直角三角形，然后根据矩形或

梯形或直角

三角形的面积公式解决；

③等积转化法；

④铅锤法；利用S=铅垂高水平宽2, 可以避免求一些比较复杂的点的坐标；

⑤特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。

*遇到动点最值问题时，需要利用未知数将实际问题中的情形代数化，利用二次函数性质解答

1.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从

这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为（）

A. x =10，y =14

B.x =14，y=10

C.x =12，y=15

D.x =15，y=12

（第 1题）（第2题）

2.如图，在平面直角坐标系中，己知点 O（0，0）， A（5，0）， B（4，

4）．（1）求过 O、B、A 三点的抛物线的解析式．

（2）在第一象限的抛物线上存在点 M，使以 O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点 M 的坐标．

（3）作直线 x=m交抛物线于点 P，交线段 OB于点 Q，当△ PQB为等腰三角形时，求 m的值．

3.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ m， m），点 B 的坐标为（ n，﹣n），抛物线经

过 A、 O、 B 三点，连接 OA、OB、 AB，线段 AB交 y 轴于点 C．已知实数 m、n（m＜n）分2

别是方程 x ﹣ 2x﹣3=0 的两根．

（2）若点 P 为线段 OB上的一个动点（不与点O、B 重合），直线 PC与抛物线交于 D、E 两点

（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD．

①当△ OPC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；②求△

BOD面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标．

【类型二】二次函数与全等三角形

在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于全等三角形对应边相等或对应角相等，

利用某一个特殊角度角展开分类讨论，将所有的情形都讨论到位.

4.★如图 , 在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为30 , 在射线 OC上取一点 A, 过点 A作 AH

x轴于点 H.在抛物线y x2( x 0)上取点 P, 在 y 轴上取点 Q,使得以 P,O,Q 为顶点的三角形与AOH全等 , 则符合条件的点A 的坐标是 _____．

5. 如图 , 抛物线y ax2bx c 的顶点为D,与y轴交于点C,直线CD的解析式为 y3x 2 3 .

(1)求 b、c 的值 ;

(2)过 C作 CE// x轴交抛物线于点 E, 直线 DE交 x 轴于点 F, 且 F ( 4,0) , 求抛物线的解析式 ;

(3)在(2) 条件下 , 抛物线上是否存在点 M,使得 CDM CEA若存在 , 求出点 M的坐标 ; 若不存

在 , 请说明理由 .

6. 如图 , 抛物线y ax2c( a 0) 与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),

ABC为等腰直角三角形 , 且面积为 4, 现将抛物线沿 BA方向平移 , 平移后的抛物线过点C 时,与 x 轴的另一点为 E, 其顶点为 F, 对称轴与 x 轴的交点为 H.

(1)求 a、 c 的值 .

(2)连接 OF,试判断 OEF是否为等腰三角形 , 并说明理由 .

(3)现将一足够大的三角板的直角顶点 Q放在射线 AF或射线 HF上 , 一直角顶点始终过点 E,

另一直角边与 y 轴相交于点 P, 是否存在这样的点 Q,使以点 P、Q、E 为顶点的三角形与 P OE 全等 ?若存在 , 求出点 Q的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .

【类型三】二次函数与等腰三角形

（1）数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定

（2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用

（3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：

①利用“两圆一线法”；

②万能法：分别表示A、 B、 P 的坐标，在表示出线段AB、 BP、 AP 的长度，再进行分类：①AB=AP；②AB=BP;③ BP=AP,列出方程进行求解.

7.如图，抛物线 y x2bx c 与 x 轴交于点A和点B(3，0) ，与y轴交于点C( 0，3) 。

（1）求抛物线的解析式。

（2）若点 M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作 MN// y轴交直线 BC于点 N，求线段 MN 的最大值。

（3）在（ 2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

8.如图（ 1），矩形 ABCD的一边 BC在直角坐标系中x轴上，折叠边 AD，使点 D落在x轴上点

F 处，折痕为 AE，已知 AB 8， AD 10，并设点 B 坐标为(m,0)，其中m 0 。

（1）求点 E、F 的坐标（用含m的式子表示）。

（2）连接 OA，若OAF是等腰三角形，求m 的值。

（3）如图（2），设抛物线y a( x m 6) 2h 经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM

90，

求a 、h、 m 的值。

【类型四】二次函数与直角三角形

（1）直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理的正定理与逆定理；同时注意直角三角形内的特殊角度；（2）直角三角形与函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题注意平面直角坐标系的作用；

（3）找动点使之与已知两点构成直角三角形的方法：

①利用“两线一圆”法；

②万能法：分别表示出 A、B、P 的坐标，再分别表示出线段AB、AP、BP的长度，由①AB

2BP 2AP2;

② BP2AB 2AP2;③ AP2AB 2BP 2列方程求解。

9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角

形，ACB 90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛

物线 y x2bx c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D。

（1）求b，c的值。

（2）点 E 是直角三角形 ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作x轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点E的坐标。

（3）在（ 2）的条件下：

①求以点 E、B、 F、 D 为顶点的四边形的面积。

②在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由。

10. 如图，抛物线y x22mx（ m0 ）与x轴的另一个交点为A，过 P(1, m)作 PM x轴于点 M，

交抛物线于点 B, 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C。

（1）若m =2，求点 A 和点 C 的坐标。

（2）令m1，连接CA，若ACP为直角三角形，求m 的值。

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得 PEC是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。

【综合练习】以下 8 题中，二次函数解析式均为 : y x22x 3

1. 在抛物线上找一点

5

P，使S ABP S ABC.

3

A B

C

2.在线段 BC上有一动点 P，设 P 的横坐标为 x ，过点 P 作 x 轴垂线交抛物线于点 E，设 PE的长

为 h.

①求 h 关于 x 的函数关系式，并求 h 的最大值；

②设 S BEC的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式和 y 的最大值。

A B

C

3.在抛物线上找一点 P，使得△ CBP是以 BC为一条直角边的直角三角形。

A B

C

4.在抛物线对称轴上找一点 P，使得△ PAC为等腰三角形。

A B

C

5.在抛物线对称轴上找点 Q和点 N，分别使得 AQ+CQ值最小、｜ NB－NC｜值最大。

A B

C

6.点 D 在抛物线上，点 E 在 x 轴上，求点 D、E 坐标，若以点 B、C、D、E 四点为顶点的四边

形为平行四边形。

A B

C

7.★（拓展）求△ ABC的外接圆的半径。

A B

C